原創(chuàng)郭洪英孫元平化學(xué)與工程
摘要
新中考模式下的選科與院校投檔模式為學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了許多困難，怎樣在困局中對(duì)中學(xué)生進(jìn)行科學(xué)素質(zhì)的培植是普通地方高校理工科教學(xué)面臨的一大問題。本文從剛體的基本定義出發(fā)，根據(jù)解決問題技巧的由繁到簡(jiǎn)，為半方形均質(zhì)薄片剛體的求解提供了六種解題技巧，兼具了對(duì)具有不同物理和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的中學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性思維訓(xùn)練的方法。在此基礎(chǔ)上，闡述了新中考模式下學(xué)院數(shù)學(xué)班主任在素養(yǎng)教育中應(yīng)有的角色。
關(guān)鍵詞均質(zhì)薄片剛體；發(fā)散性思維訓(xùn)練；新中考
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新中考“3+3”模式下的選科模式與院校投檔新政，使地方高校理工科專業(yè)新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)良莠不齊，造成了學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)班中學(xué)生“學(xué)習(xí)難”和班主任“授課難”的困局。不僅數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同，造成“兩難”困境的誘因還在于學(xué)校和學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所使用的物理手段的差別。小學(xué)數(shù)學(xué)用到的物理知識(shí)是初等物理原理，而學(xué)院數(shù)學(xué)則用到了高等物理中的矢量運(yùn)算和微積分運(yùn)算，二者相差甚遠(yuǎn)。目前，大一新生面臨的困難之一就是怎樣將高等物理微積分初步的內(nèi)容和學(xué)院數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)有機(jī)融合。好多學(xué)院生普遍反映單獨(dú)的數(shù)學(xué)思想可懂，單獨(dú)的物理微積分運(yùn)算能會(huì)，但困難的是怎樣按照化學(xué)思想進(jìn)行物理建模并解決問題。
在學(xué)院數(shù)學(xué)課程中，連續(xù)體質(zhì)心的估算是一個(gè)難點(diǎn)。該內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)中沒有涉及，是大中數(shù)學(xué)知識(shí)相悖的一個(gè)典型案例，部份中學(xué)生對(duì)該部份內(nèi)容把握欠佳。為了提高中學(xué)生對(duì)化學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)中學(xué)生開拓思路，強(qiáng)化學(xué)院數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)教學(xué)之間的聯(lián)系，本文以連續(xù)體質(zhì)心估算為例，具體說明怎樣通過問題的多種方式求解來啟發(fā)中學(xué)生進(jìn)行自主思索，迸發(fā)學(xué)習(xí)能動(dòng)性和積極性，進(jìn)而提高學(xué)院生的科學(xué)素質(zhì)培植。
1問題及學(xué)院數(shù)學(xué)的一般解法
怎么求解一個(gè)直徑為R，質(zhì)量為m的半方形均質(zhì)薄片的剛體？這是一個(gè)二維尺度上的問題，通常教材上會(huì)依據(jù)剛體的定義，借助微積分的方式分別求出剛體在x軸和y軸上的位置，如方式1所示。
方式1：構(gòu)建如圖1所示的直角座標(biāo)系。設(shè)薄片的剛體座標(biāo)為C（xc，yc），其面密度為ρ，則薄片的質(zhì)量為
。按照剛體的定義
為了估算簡(jiǎn)單，將直角座標(biāo)積分變換為極座標(biāo)積分，其中
在均質(zhì)薄片上取微元如圖1所示，其面積為dS（為極座標(biāo)圓形），則該微元的質(zhì)量為dm=ρdS=ρ·dr·rdα，故
所以，直徑為R的半方形均質(zhì)薄片剛體為
。
2其他解法
由方式1或質(zhì)量分布的對(duì)稱性可知，半方形均質(zhì)薄片的剛體必定位于y軸某一位置，即xC=0。為此，以下幾種關(guān)于剛體的估算方式都?xì)w結(jié)為求yC。
方式2：如圖2所示，在均質(zhì)薄片上選定圓形面元，其面積為dS，則該面元的質(zhì)量為dm=ρdS=ρ·dx·dy，故
方式3：如圖3所示，在薄片上取平行于x軸的面元dS大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)，則該面元的質(zhì)量為
由剛體的定義可求出
方式4：如圖4所示，在薄片上取圓心角為dθ的扇形面元dS，該面元的質(zhì)量為
。該扇形面元的剛體y′C，可由在扇形面元上取徑向厚度為dr的菱形面元求得，其質(zhì)量為dm′=ρdS′=ρ·rdθ·dr
則該均質(zhì)薄片的剛體可依照定義求出為
方式5：如圖5所示，已知直徑為r半圓環(huán)的剛體為
[1]。其中dm=ρdS=ρ·πr·dr，則按照剛體的定義可求出
方式6：借助巴普斯定律[3]。該定律的一種抒發(fā)方式提供了估算某特殊情況下物體容積的簡(jiǎn)單方式（另一種方式是拿來估算面積）：平面物體在空間運(yùn)動(dòng)所掃過的容積等于該平面面積與平面剛體經(jīng)歷路程的乘積，即V=∑Vi=S∑ΔZi，其中∑ΔZi為平面物體運(yùn)動(dòng)中剛體經(jīng)歷的路程，S為平面物體的面積。
借用該定律求容積的抒發(fā)方式，我們可以反過來求解平面物體的剛體位置。設(shè)均質(zhì)薄片的剛體C坐落y軸上，其距圓心O的距離為yC，如圖6所示。以半圓盤直邊（即x軸）為軸旋轉(zhuǎn)360°可得一圓球，容積為
；剛體在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)歷的路程為2πyC，半圓大盤積為
。依據(jù)巴普斯定律可寫出等式
解得
。
3解法的比較及學(xué)院班主任的角色思索
一題多解在處理數(shù)學(xué)問題中很常見，比如轉(zhuǎn)動(dòng)力矩、功、電場(chǎng)硬度和磁感應(yīng)硬度的估算等，正所謂“條條小路通羅馬”。從后面的求解過程可以看出：前五種方式是按照剛體的定義，通過選定不同的基本質(zhì)量元，來簡(jiǎn)化問題求解過程中的微積分估算；第六種方式直接拋棄了剛體定義法估算過程中的瑣碎微積分運(yùn)算，巧妙地借用了物理上求某種特殊情形下物體容積的方式，借助巴普斯定律間接求解平面物體的剛體，該方式通常作為小學(xué)數(shù)學(xué)大賽的拓展內(nèi)容。
方式1和技巧2為學(xué)院數(shù)學(xué)課本上的常見解法：構(gòu)建直角座標(biāo)系或?qū)⒅苯亲鶚?biāo)系轉(zhuǎn)換為極座標(biāo)系，借助雙重積分進(jìn)行問題求解。其中方式1為學(xué)院數(shù)學(xué)課本上的常見解法：通過座標(biāo)系的變換，借助極座標(biāo)系和雙重積分進(jìn)行問題求解。按照剛體的定義，質(zhì)量元在極座標(biāo)系中抒發(fā)為dm=ρ·dr·rdα。該方式化學(xué)圖象清晰，中學(xué)生可以利用高等物理教材上類似例題進(jìn)行估算，理解上去比較輕松，但估算過程稍顯繁雜。
方式2在直角座標(biāo)系中選定了圓形面元，質(zhì)量元抒發(fā)為dm=ρdS=ρ·dx·dy。這些方式符合中學(xué)生從中學(xué)獲得的經(jīng)驗(yàn)，有利于知識(shí)的銜接，而且估算過程始終涉及了雙重積分。
方式3直接在直角座標(biāo)系中借助對(duì)稱性，將薄片沿平行于x軸方向分割成無數(shù)面元，將質(zhì)量元抒發(fā)為
。該方式將剛體的估算轉(zhuǎn)換成單重積分，簡(jiǎn)化了估算過程。
技巧4考慮了圓的基本分割單元的借助，將面元取為扇形，把質(zhì)量元抒發(fā)為
。但這些技巧須要先求出面元的剛體位置y′C，須要繼續(xù)在扇形面元上取一個(gè)圓形面元。其實(shí)該方式思路比較簡(jiǎn)約，且兩次估算均只用到了單重積分，但估算過程仍顯冗長(zhǎng)。
方式5對(duì)上一種方式進(jìn)行了簡(jiǎn)化，直接借助課本上半圓環(huán)的剛體推論，選定任意直徑半圓環(huán)為面元，將質(zhì)量元抒發(fā)為dm=ρ·πr·dr。該方式進(jìn)一步簡(jiǎn)化了物理估算過程，將數(shù)學(xué)思想呈現(xiàn)的愈發(fā)明朗，推進(jìn)了對(duì)力偶概念的理解。
方式6規(guī)避了高等物理的微積分，依據(jù)巴普斯定律，直接借助初等物理求解。估算過程簡(jiǎn)約，方法性更強(qiáng)，雖然是沒有學(xué)過低等物理的學(xué)生也能輕松把握。巴普斯定律一般是被作為小學(xué)數(shù)學(xué)大賽須要把握的內(nèi)容，但該方式對(duì)于沒出席中學(xué)數(shù)學(xué)大賽的學(xué)院生來說，一直很簡(jiǎn)單。用此解法處理問題，可起到拓展知識(shí)面的作用。
本文給出的關(guān)于半方形均質(zhì)薄片剛體的六種解法，每種方式都有其優(yōu)點(diǎn)。只要認(rèn)真思索，雖然中學(xué)生的物理與化學(xué)基礎(chǔ)不同，也能得到確切的解答并可悟出：不同方式的選定能影響到解決問題的難易程度——這種多角度發(fā)散思維的訓(xùn)練正是學(xué)院素養(yǎng)教育的核心之一。中學(xué)的應(yīng)試教育一般使學(xué)生只是被動(dòng)地接受班主任的觀點(diǎn)，缺乏主動(dòng)的思索能力；加上學(xué)院化學(xué)課程的講課進(jìn)度一般很快，中學(xué)生的自主思維能力一般會(huì)遭到一定的限制。學(xué)院化學(xué)課程是一門挺好的提高中學(xué)生科學(xué)素質(zhì)的通識(shí)課，只要用心去觀察、思考，看似瑣碎紛擾的問題，總能理出頭緒。通常來說，化學(xué)思維傾向于問題的最簡(jiǎn)解法，但班主任不應(yīng)只是為中學(xué)生提供這些最簡(jiǎn)思維，而應(yīng)當(dāng)對(duì)中學(xué)生如何獲得這些思維進(jìn)行合適的引導(dǎo)。在講課過程中，班主任須要依照中學(xué)生的基礎(chǔ)和理解程度，適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)中學(xué)生從多角度剖析思索問題，培養(yǎng)中學(xué)生發(fā)散思維和獨(dú)立思索的能力，率領(lǐng)她們找尋解決問題的最簡(jiǎn)方式。因而，在學(xué)院素養(yǎng)教育過程中，班主任不但要成為課程的組織者、講授者[4]，但是應(yīng)當(dāng)成為課程的研究者[5]和引導(dǎo)者。
4結(jié)語
目前大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)，普通院校理工科專業(yè)入學(xué)新生的化學(xué)基礎(chǔ)差異較大，為了做好對(duì)中學(xué)生發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)訓(xùn)練，學(xué)院化學(xué)的任課班主任應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研究教材，深入研究講課內(nèi)容，立足中學(xué)生早已把握的知識(shí)（如小學(xué)數(shù)學(xué)、高等物理知識(shí)等），對(duì)課程的各主要知識(shí)點(diǎn)從多角度來進(jìn)行思索并打算講課學(xué)案；在中心內(nèi)容述說清楚的基礎(chǔ)上，兼具考慮不同基礎(chǔ)中學(xué)生的思維方法，多角度對(duì)中學(xué)生進(jìn)行知識(shí)理解能力的啟發(fā)與培植，引導(dǎo)中學(xué)生逐漸完善科學(xué)的思維方式，努力做好教育引導(dǎo)者的角色。一個(gè)好的學(xué)院數(shù)學(xué)班主任，應(yīng)當(dāng)通過兩個(gè)學(xué)期的學(xué)院化學(xué)課程教學(xué)，引導(dǎo)中學(xué)生脫離中學(xué)的思維模式，把握科學(xué)研究、創(chuàng)新、實(shí)踐所須要的化學(xué)思維，使學(xué)院教育真正成為素養(yǎng)教育。
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基金項(xiàng)目:長(zhǎng)春學(xué)院教學(xué)變革研究項(xiàng)目（編號(hào)：)。
作者簡(jiǎn)介:郭洪英，女，徐州學(xué)院副院長(zhǎng)，主要從事學(xué)院化學(xué)教學(xué)工作，研究方向?yàn)榘雽?dǎo)體材料的光電性質(zhì)，。
引文格式:郭洪英,孫元平.半方形均質(zhì)薄片剛體估算的六種解法——兼談學(xué)院數(shù)學(xué)班主任的"引導(dǎo)者"角色[J].化學(xué)與工程,2022,32(1):116-119.
Citethis:GUOHY,SUNYP.Sixforofsheet—Ontheroleofas[J].and,2022,32(1):116-119.(in)
END