原創郭洪英孫元平化學與工程
摘要
新中考模式下的選科與院校投檔模式為學院數學教學帶來了許多困難，怎樣在困局中對中學生進行科學素質的培植是普通地方高校理工科教學面臨的一大問題。本文從剛體的基本定義出發，根據解決問題技巧的由繁到簡，為半方形均質薄片剛體的求解提供了六種解題技巧，兼具了對具有不同物理和數學基礎的中學生進行發散性思維訓練的方法。在此基礎上，闡述了新中考模式下學院數學班主任在素養教育中應有的角色。
關鍵詞均質薄片剛體；發散性思維訓練；新中考
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新中考“3+3”模式下的選科模式與院校投檔新政，使地方高校理工科專業新生的數學基礎良莠不齊，造成了學院數學教學班中學生“學習難”和班主任“授課難”的困局。不僅數學基礎不同，造成“兩難”困境的誘因還在于學校和學院數學學習中所使用的物理手段的差別。小學數學用到的物理知識是初等物理原理，而學院數學則用到了高等物理中的矢量運算和微積分運算，二者相差甚遠。目前，大一新生面臨的困難之一就是怎樣將高等物理微積分初步的內容和學院數學相關知識有機融合。好多學院生普遍反映單獨的數學思想可懂，單獨的物理微積分運算能會，但困難的是怎樣按照化學思想進行物理建模并解決問題。
在學院數學課程中，連續體質心的估算是一個難點。該內容在小學數學中沒有涉及，是大中數學知識相悖的一個典型案例，部份中學生對該部份內容把握欠佳。為了提高中學生對化學學習的興趣，引導中學生開拓思路，強化學院數學和高中數學教學之間的聯系，本文以連續體質心估算為例，具體說明怎樣通過問題的多種方式求解來啟發中學生進行自主思索，迸發學習能動性和積極性，進而提高學院生的科學素質培植。
1問題及學院數學的一般解法
怎么求解一個直徑為R，質量為m的半方形均質薄片的剛體？這是一個二維尺度上的問題，通常教材上會依據剛體的定義，借助微積分的方式分別求出剛體在x軸和y軸上的位置，如方式1所示。
方式1：構建如圖1所示的直角座標系。設薄片的剛體座標為C（xc，yc），其面密度為ρ，則薄片的質量為
。按照剛體的定義
為了估算簡單，將直角座標積分變換為極座標積分，其中
在均質薄片上取微元如圖1所示，其面積為dS（為極座標圓形），則該微元的質量為dm=ρdS=ρ·dr·rdα，故
所以，直徑為R的半方形均質薄片剛體為
。
2其他解法
由方式1或質量分布的對稱性可知，半方形均質薄片的剛體必定位于y軸某一位置，即xC=0。為此，以下幾種關于剛體的估算方式都歸結為求yC。
方式2：如圖2所示，在均質薄片上選定圓形面元，其面積為dS，則該面元的質量為dm=ρdS=ρ·dx·dy，故
方式3：如圖3所示，在薄片上取平行于x軸的面元dS大學物理實驗知識點，則該面元的質量為
由剛體的定義可求出
方式4：如圖4所示，在薄片上取圓心角為dθ的扇形面元dS，該面元的質量為
。該扇形面元的剛體y′C，可由在扇形面元上取徑向厚度為dr的菱形面元求得，其質量為dm′=ρdS′=ρ·rdθ·dr
則該均質薄片的剛體可依照定義求出為
方式5：如圖5所示，已知直徑為r半圓環的剛體為
[1]。其中dm=ρdS=ρ·πr·dr，則按照剛體的定義可求出
方式6：借助巴普斯定律[3]。該定律的一種抒發方式提供了估算某特殊情況下物體容積的簡單方式（另一種方式是拿來估算面積）：平面物體在空間運動所掃過的容積等于該平面面積與平面剛體經歷路程的乘積，即V=∑Vi=S∑ΔZi，其中∑ΔZi為平面物體運動中剛體經歷的路程，S為平面物體的面積。
借用該定律求容積的抒發方式，我們可以反過來求解平面物體的剛體位置。設均質薄片的剛體C坐落y軸上，其距圓心O的距離為yC，如圖6所示。以半圓盤直邊（即x軸）為軸旋轉360°可得一圓球，容積為
；剛體在旋轉過程中經歷的路程為2πyC，半圓大盤積為
。依據巴普斯定律可寫出等式
解得
。
3解法的比較及學院班主任的角色思索
一題多解在處理數學問題中很常見，比如轉動力矩、功、電場硬度和磁感應硬度的估算等，正所謂“條條小路通羅馬”。從后面的求解過程可以看出：前五種方式是按照剛體的定義，通過選定不同的基本質量元，來簡化問題求解過程中的微積分估算；第六種方式直接拋棄了剛體定義法估算過程中的瑣碎微積分運算，巧妙地借用了物理上求某種特殊情形下物體容積的方式，借助巴普斯定律間接求解平面物體的剛體，該方式通常作為小學數學大賽的拓展內容。
方式1和技巧2為學院數學課本上的常見解法：構建直角座標系或將直角座標系轉換為極座標系，借助雙重積分進行問題求解。其中方式1為學院數學課本上的常見解法：通過座標系的變換，借助極座標系和雙重積分進行問題求解。按照剛體的定義，質量元在極座標系中抒發為dm=ρ·dr·rdα。該方式化學圖象清晰，中學生可以利用高等物理教材上類似例題進行估算，理解上去比較輕松，但估算過程稍顯繁雜。
方式2在直角座標系中選定了圓形面元，質量元抒發為dm=ρdS=ρ·dx·dy。這些方式符合中學生從中學獲得的經驗，有利于知識的銜接，而且估算過程始終涉及了雙重積分。
方式3直接在直角座標系中借助對稱性，將薄片沿平行于x軸方向分割成無數面元，將質量元抒發為
。該方式將剛體的估算轉換成單重積分，簡化了估算過程。
技巧4考慮了圓的基本分割單元的借助，將面元取為扇形，把質量元抒發為
。但這些技巧須要先求出面元的剛體位置y′C，須要繼續在扇形面元上取一個圓形面元。其實該方式思路比較簡約，且兩次估算均只用到了單重積分，但估算過程仍顯冗長。
方式5對上一種方式進行了簡化，直接借助課本上半圓環的剛體推論，選定任意直徑半圓環為面元，將質量元抒發為dm=ρ·πr·dr。該方式進一步簡化了物理估算過程，將數學思想呈現的愈發明朗，推進了對力偶概念的理解。
方式6規避了高等物理的微積分，依據巴普斯定律，直接借助初等物理求解。估算過程簡約，方法性更強，雖然是沒有學過低等物理的學生也能輕松把握。巴普斯定律一般是被作為小學數學大賽須要把握的內容，但該方式對于沒出席中學數學大賽的學院生來說，一直很簡單。用此解法處理問題，可起到拓展知識面的作用。
本文給出的關于半方形均質薄片剛體的六種解法，每種方式都有其優點。只要認真思索，雖然中學生的物理與化學基礎不同，也能得到確切的解答并可悟出：不同方式的選定能影響到解決問題的難易程度——這種多角度發散思維的訓練正是學院素養教育的核心之一。中學的應試教育一般使學生只是被動地接受班主任的觀點，缺乏主動的思索能力；加上學院化學課程的講課進度一般很快，中學生的自主思維能力一般會遭到一定的限制。學院化學課程是一門挺好的提高中學生科學素質的通識課，只要用心去觀察、思考，看似瑣碎紛擾的問題，總能理出頭緒。通常來說，化學思維傾向于問題的最簡解法，但班主任不應只是為中學生提供這些最簡思維，而應當對中學生如何獲得這些思維進行合適的引導。在講課過程中，班主任須要依照中學生的基礎和理解程度，適當地引導中學生從多角度剖析思索問題，培養中學生發散思維和獨立思索的能力，率領她們找尋解決問題的最簡方式。因而，在學院素養教育過程中，班主任不但要成為課程的組織者、講授者[4]，但是應當成為課程的研究者[5]和引導者。
4結語
目前大學物理實驗知識點，普通院校理工科專業入學新生的化學基礎差異較大，為了做好對中學生發散性思維能力的培養訓練，學院化學的任課班主任應當認真研究教材，深入研究講課內容，立足中學生早已把握的知識（如小學數學、高等物理知識等），對課程的各主要知識點從多角度來進行思索并打算講課學案；在中心內容述說清楚的基礎上，兼具考慮不同基礎中學生的思維方法，多角度對中學生進行知識理解能力的啟發與培植，引導中學生逐漸完善科學的思維方式，努力做好教育引導者的角色。一個好的學院數學班主任，應當通過兩個學期的學院化學課程教學，引導中學生脫離中學的思維模式，把握科學研究、創新、實踐所須要的化學思維，使學院教育真正成為素養教育。
參考文獻
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基金項目:長春學院教學變革研究項目（編號：)。
作者簡介:郭洪英，女，徐州學院副院長，主要從事學院化學教學工作，研究方向為半導體材料的光電性質，。
引文格式:郭洪英,孫元平.半方形均質薄片剛體估算的六種解法——兼談學院數學班主任的"引導者"角色[J].化學與工程,2022,32(1):116-119.
Citethis:GUOHY,SUNYP.Sixforofsheet—Ontheroleofas[J].and,2022,32(1):116-119.(in)
END