1/12考生類別第33屆全省部份地區學院生數學大賽試題南京數學學會編撰2016年12月11日上海化學學會對本試題享有版權，未經準許，不得刊刻出版或用本試題進行商業活動，違者必究。答題說明：前14題是必做題，滿分是120分；文管組和農林醫組只做必做題；除必做題外，非數學B組限做15題，滿分140分；非數學A組限做15、16題，滿分160分；數學組限做15、17題，滿分160分。請朋友們自覺填上與準考證上一致的考生類別，若二者不符，按廢卷處理。請各組考生按上述要求做題，多做者不加分，少做者按規定扣分。一、填空題（必做，共10題，每題2空，每空3分，共60分）1.如圖所示，高、傾角30的光滑斜面頂端處有兩個質點。質點1以初速率1水平朝左拋出，質點2同時以初速率2沿斜面下降。設質點1、2同時抵達斜面底端處，則1=，2=。2.質量=0.5mg（微克）的虱子，腿長=0.4mm。開始時身體和腿都貼在地面上，起跳的過程中腿向下伸展，最終以=1m/s豎直向下的速率離開地面。過程中虱子整體向下加速度處理為常量，過程所經時間為s（秒），過程中腿的平均輸出功率為W（瓦）。（答案均取1位有效數字）3.質量、長度2的勻質細桿，開始時如圖所示，處于水平靜止狀態。
將細桿自由釋放后，細桿可繞著通過端的水平光滑固定轉軸擺動。細桿端剛抵達最低處時，轉軸提供的向下支持力=。若端抵達最高位置后頓時，細桿中央處忽然斷掉，桿的下半段繼續運動，轉過180°后端正好著地，則轉軸距水平地面高度力?=。4.參考多普勒效應示意圖，波源S的震動頻度為0?。S朝著接收者B運動，在介質參考系中速率大小為Sv；機械波在介質中的傳播速率為u，接收者B朝著S運動在介質參考系中速率大小為Bv。則當0??Svu，0?Bv時，B的接BvS?0S介質vB）））?水平地面題號一二1~分數閱卷人題號三總分分數閱卷人考場姓名準考證號所在中學*****************************密******************封*******************線*********************************2/12收頻度?1?；當0?Sv，0?Bv時，B的接收頻度?2?。5.理想二氧化碳平衡態的麥克斯韋速率分布函數(???)和速度分布函數()分別為。設大氣濕度處處為，將地面大氣浮力記為0，則距地面高度為?處大氣浮力(?)=。
6.熱力學第二定理的克勞修斯敘述為；開爾文敘述為。7.題圖所在平面為某個光滑水平面，處固定著一個負電荷如圖所示ab是圓直徑的兩個端點，空間有勻強磁場，磁感應硬度方向垂直圖平面朝里，大小為。一個比荷（電量與質量之比）為的帶正電光滑球，繞著在此平面做直徑為0的逆秒針方向勻速圓周運動，則運動速度0取值的可能范圍為。取消磁場????，若仍可以相同速度0繞著在此平面上做直徑為的順秒針方向勻速圓周運動，則=。8.如圖所示，每周長為的等腰三角形區域內有勻強磁場如圖所示ab是圓直徑的兩個端點，磁感應硬度????的方向垂直圖平面朝外。每周長為的等腰三角形導體框架，在=0時正好與磁場區的邊界重合，而后以周期繞其中心沿順秒針方向勻速旋轉，于是在框架中有感應電壓。規定電壓按???方向流動時電壓硬度取為正，反向流動時取為負。設框架的總內阻為，則從=0到1=6?時間內平均電壓硬度1=；從=0到2=2?時間內平均電壓硬度2=。9.如圖1所示，三條周長各為1、2、3的均勻長方體內阻塊，電壓從左邊表面均勻流到左邊表面，已測得其阻值為=10Ω。若將其各周長都減小一倍，則此時相應的阻值1=。如圖2所示，每周長為的勻質正圓形內阻薄平板，已測得′、′兩端間內阻′=5Ω。若將每周長都增為2，質材不變，則此時相應的內阻′2=。
10.如圖所示，一艘無人飛船和一顆慧星相對地面參考系，分別以0.6和0.8的速率面對面地運動。地面系時鐘讀數=0時，剛好飛船時鐘讀數也為=0。地面系覺得=5s（s表示秒）時，飛船會與慧星翻車。飛船則覺得=s時，自己會與慧星翻車，但是飛船在=0時覺得慧星與它相距cs（光秒）。????123圖1圖2′′0.60.8飛船慧星地面???????????????003/12二、計算題（必做，共4題，每題15分，共60分）11.（15分）如圖所示，兩塊相同的平面鏡之間的傾角為?2，其中為每一塊平面鏡與空間平面之間的傾角。在兩個平面鏡傾角的角平分面上放置單色線光源，它與兩平面鏡交線的距離為=20cm。圖中屏幕與平面平行且被放置在足夠遠處（解答時處理為無窮遠），設=0.1rad，光源發出的光線不能直射到上，試問平面鏡間距最小為多少時，在上必能有干涉圖樣？（結果保留一位有效數字）12.（15分）某單原子分子理想二氧化碳的壓縮過程如圖中左下方的過程曲線所示。將此過程每一個狀態的浮力量朝上平移0量，保持容積不變，平移所得曲線剛好是氣溫為0的等溫壓縮線。（1）試導入左下方過程曲線內含的放熱區域（定義為其中每一個無窮小過程都是放熱過程的區域）和吸熱區域（其中每一個無窮小過程都是吸熱的區域），要求這兩類區域均取坐標量的取值范圍來劃分。
（2）將吸、放熱區域的轉換點記為，它在0等溫線上對應的點已在圖中記為。從點朝右作等壓線，前者與0等溫線交于圖中點，試求圖中熱循環過程的效率。（取ln53=0.51，答案取1位有效數值）0000考場姓名準考證號所在校區*****************************密******************封*******************線*********************************4/1213.（15分）施特恩?蓋拉赫實驗裝置如圖所示，爐中的銀蒸氣經準直縫后產生銀原子細束，經過一個抽成真空的不均勻磁場區域，磁場沿垂直于原子束的z軸方向，最后抵達拍照底片產生兩條對稱的分立痕跡.銀原子由原子核與外層電子所產生的“原子實”和最內層的一個價電子組成，爐中銀蒸氣中的銀原子處于能級，原子實是球對稱的，價電子繞核運動的軌道角動量等于0，對磁矩沒有貢獻，因而銀原子的磁矩就是價電子的載流子磁矩μ?，實驗結果表明：電子載流子磁矩在z軸方向上的份量只有兩個值B??，其中B被稱為玻爾磁子。SN爐拍照底片準直縫吸鐵石z5/12設實驗中爐溫恒為T，銀原子以該氣溫下的平均速度通過準直縫，沿銀原子束方向的磁體寬度為L，縱向（即圖中z軸方向）不均勻磁場梯度的大小最大為G.忽視重力，不計拍照底片與吸鐵石間的距離，求銀原子抵達拍照底片上的痕跡偏離中心的最大距離.14.（15分）請按次序解答下邊兩個問題。
（1）質量為、半徑為、厚度可忽視的圓盤，順著它的某一半徑開成一條很窄的光滑通道。假定通道中的一個自由質點才能僅在圓盤萬有引力作用下作簡諧震動，且震動中心即為圓心，試給出圓盤的一種面密度分布。（2）保留（1）中原圓盤通道，但使質量面密度降低1倍成為質量等于2的新圓盤，再將新圓盤割分為直徑為′的小圓盤與內、外直徑分別為′、的圓環，致使二者質量均為。引入三個時間量如下：1：自由質點從（1）中原圓盤半徑通道的一個端點自靜止出發產生的震動周期；2：自由質點從新圓盤半徑通道位置的一個端點自靜止出發，在拿走圓環后，即僅在小圓盤萬有引力作用下產生的震動的周期；3：自由質點從新圓盤半徑通道位置的一個端點自靜止出發，在拿走小圓盤后，即僅在圓環的萬有引力作用下產生的震動周期。請剖析地用等號或不等號構建1、2、3間的大小關系。（做數值判定時，可用如下近似：√43≈1.59，√10≈3.16）考場姓名準考證號所在中學*****************************密******************封*******************線*********************************6/127/12三、限做題（按照考生類別選做）15.（20分）如圖所示，有一直徑=0.128m的玻璃半球，在其主光軸放一長=0.20m的條形物12。
只考慮近軸光線成像，在圖中主光軸上可同時觀察到12的兩個像，它們分別是經玻璃半球的平面和凹球面反射而得。而且，當條形物的2端與半球面中心相距2??????=0.020m時，兩個像正好無重疊地聯接在一起，試求玻璃半球的折射率。（答案取1位有效數字。）解題時，只可取用下列在近軸條件下創立的球面反射和球面折射成像公式：球面反射成像：1+1={2凹球面?2凸球面：球面直徑、：物距、：像距球面折射成像：+={?凸球面：物光所在空間介質折射率??凹球面：像光所在空間介質折射率12考場姓名準考證號所在中學*****************************密******************封*******************線*********************************8/1216.（20分）系統如圖所示，MN和PQ是兩根固定光滑豎直平行直桿，二者相距l，輕繩長Ll?，下端固定在M點，繩穿過光滑小環A后聯接在小環B上，環A、B質量同為m。圖中兩段繩長1l、2l與L的關系為12Lll??，圖中?為2l繩段與PQ桿間的傾角。（1）取23Ll?，假定系統僅在重力、繩的張力和直桿提供的水平方向支持力作用下，處于圖示?角位置時為平衡態，試求?值，并判斷該平衡態的穩定性。
為提高閱卷效率，本題全部通感中一致規定，繩段下蹲且10l?時系統所處狀態的重力勢能取為零位。（2）設Ll?，只討論A在B的上方朝下運動，B在A的下方朝上運動的過程。再設此過程中僅在重力、繩的張力和直桿提供的水平方向支持力作用下，繩段MA和AB仍然會處于下蹲狀態，即12Lll??一直創立。（2.1）確定1l可取值范圍；（2.2）將?角對應的A下行速率、加速度分別記為Av、Aa，試求此時B的上行速率、加速度Bv、Ba，答案用l、?、Av、Aa敘述。（3）取2Ll?，開始時10l?，A、B靜止，系統自由釋放后，假定系統過程能如（2）問所述。（3.1）試求系統自由釋放后頓時的Av、Bv，Aa、Ba和繩中張力T，答案用l、g和m敘述；（3.2）試求?第一次達到60o時的Av、Bv，Aa、Ba和繩中張力T，答案用l、g和m敘述；（3.3）再求?第一次無限接近90o時的Av、Bv，Aa、Ba和繩中張力T，答案用l、g和m敘述；BMQP?/12考場姓名準考證號所在中學*****************************密******************封*******************線*********************************10/1211/1217.（20分）前言：如圖1所示，某豎直平面上有水平朝內的勻強磁場B，勻質金屬圓形框架ABCD以AB邊取水平狀態在該豎直平面內自由下落。
略去空氣阻力，試問框架下落加速度是否仍為g？細致地剖析，框架下落過程中，內部自由電子和正離子分別遭到朝左和朝右的磁場力。整體所受水平力可以抵消，但自由電子必將會朝左運動，產生電壓。此電壓所受磁場安培力朝上，使框架下落加速度因而稍大于g。自由電子的遷移，在四根桿的右側面累積負電荷，左側面累積正電荷，框架內出現電場，因而影響電子的遷移速率和電壓。框架下落速率的變化也會影響自由電子的遷移速率、側面電荷的累積以及框架內的電場結構。定量討論框架下落加速度和速率的變化，困難較大。為對框架下落加速度必將會大于g的定性推論作簡單的量化討論，特用長方導體塊替代圖1中的框架，設置題目如下。題文：如圖2所示，質量密度為m?、電阻率為?的長方導體塊ABCD，0t?時刻以AB面處于水平方位的靜止狀態自由釋放，空間有垂直于導體塊前后表面朝內的勻強磁場B。略去空氣阻力，不考慮導體塊落地的可能性。再設導體塊的AD面和CD面足夠大，在討論的時間范圍內?可處理為常量，導體塊內的電場可處理為隨時間變化的勻強電場。略去導體塊內電流的磁場、略去電場變化迸發起的磁場。（1）導入可解的關于BC面上電荷面密度()t???的微分等式。
（2）引入簡化熱阻????????????（2.1）求解()t???函數，答案中只可出現熱阻g、B、?、t；（2.2）求解導體塊下落加速度和速率隨t變化的函數：()aat?，()t?vv答案中只可出現熱阻g、B、?、t。BBBBB?????????CgDA圖?????????CgDA圖2考場姓名準考證號所在校區*****************************密******************封*******************線*********************************12/121/13第33屆全省部份地區學院生化學大賽參考答案2016.121.√32√，32√2√。2.8×10?4，3×10?4。3.52，(2+23)。4.?0，+0。5.(2)32??2/2和4π2(2)32??2/2，0??/。6.不可能使熱量從高溫物體自發地傳到低溫物體而不形成任何其他影響，不可能從單一熱源吸收熱量使之完全轉化為有用功而不形成任何其他影響。7.0>0，00?00。8.√322?，22√3?。9.5Ω，5Ω。10.4，14037。
11.（15分）解：參考題解圖，發出的光經兩塊平面鏡反射后產生兩支相干光束。這兩支光束可等效為由的兩個實像1、2發出，將1、2視為兩個線光源，則問題轉化為楊氏雙縫干涉。考慮到反射機制，1發出的光束由題解圖中的射線11和射線11劃分，2發出的光束由射線22和射線22劃分。因為屏幕足夠遠，為使這兩支光束在上能相遇產生相干疊加，便要求11不能與兩平面鏡傾角的角平分線′向下相交成銳角。同理，22不能與′向上相交成銳角。即取11、22分別與′平行（即傾角分別為零）時，可保證在很遠的屏幕上必有干涉圖樣，但是平面鏡的長度又可取為最小，其值為（8分）min=2[cos(2?)]=2?sin（5分）由于小角度，故min=2?sin≈2=4cm（2分）12.（15分）解：（1）無窮小過程′題解圖2/13=+32,>0,320：0放熱區域（7分）（2）點：=320，由(+0)=0?=2500由=?=350點：由=+0?=520，=0由=?=2500點：=0，==320，由=?=2300過程效率：=32(?)=350=0ln=0ln53=?52(?)=?0?=1??+=1?135+ln53=1?10.6+0.51≈10%（8分）13.（15分）解：銀原子載流子磁矩在磁場中的勢能：BμBμWz???????（3分）z軸方向受力：B?????????????（5分）設銀原子的質量為m，z軸方向加速度：????（2分）通過磁體的時間：mkTLtπ8?（2分）痕跡偏離中心的距離：π212B2???（3分）3/1314.（15分）解：（1）質量均勻分布的圓環在其中央軸線上的萬有引力場強，可等效為將環質量平分給環上兩個對徑點（如題解圖1中、點）后在原軸線上的場強。
質量均勻分布、半徑的圓球，其質量體密度為=3/43如題解圖2所示，構建?平面，原點坐落球心，在?平面上取{、}位置附近面館元。將此面館元繞軸旋轉一周產生一細環體，它所含質量為=(2cos?)細環體上質量均勻分布，它在中央軸，即軸上的引力場強等效為將等分給兩個面館元后在軸上的引力場強。兩個面館元上的質量面密度同為=12=3cos/43用這些方式將圓球質量集中在平面上的直徑圓面上，則球與圓面在軸半徑通道上的場強分布一致，故自由質點在該通道上均作簡諧震動。為此，(、)={??2≤≤2(、?)2≤≤32（5分）（2）分步討論′的確定：新圓盤面密度降低一倍，質量便為2，′小圓盤與外環質量均為，對小圓盤有′(、)=3cos4′3?,2(、)=?即得′=√23?1的估算：同于質量為、半徑為勻質球半徑隧洞中的震動周期。如題解圖3所示，自由質點處于位置時，將圓盤還原為勻質球，則受力(1)=?2?,=433即為線性恢復力(1)=?2??簡諧震動{=√/31=2√/（4分）2與1的大小比較：題解圖1題解圖2題解圖34/13參考題解圖4，自由質點在′≤≤處受力(2)=?2??|(2)|≥|(1)|而在0≤≤′處受力(2)=?′3??|(2)|>|(1)|自由質點從=處靜止出發后，處處受力變大，加速度值也變大，速率值也處處變大。
考慮到經過|?|所需時間?=|?|||?，故必有?(2)1=2√/（2分）附注：2√2√2√43?3≈2√2√2×1.59?3=2√2√0.18>2√10>2為此3>1據上述討論最后1、2、3間大小關系為3>1>2（1分）′題解圖45/1315.（20分）解：Ι：平面反射成像取?∞，即成平面反射成像1+1=0?=?實像如題解圖所示，有實像1′2′：2′??????=2??????=0.020m2′1′???????==0.20m（5分）ΙΙ：平面折射----球面反射----平面折射成像點（1點或2點）平面折射成像?∞，即成平面折射成像11+1=0?1=?1（3分）凹球面反射成像12+12=2,2=?1=+1,2=(+1)+21（3分）平面折射成像3+13=0,3=?2=1+21,3=?1+21（3分）1點成像點1′′1=1??????=2??????+=0.22m,3=?0.128×0.220.128+2×0.22m
