共1節課
2.3.2平面向量的正交點... 高中中國人民教育A版2003課程標準版
1 教學目標
構建物理知識與數學知識之間的聯系，親身體驗物理定律的實際模型，有助于理解向量正交分解的概念和意義。 通過類比一對有序實數表示的平面笛卡爾坐標系的中點，促使中學生思考如何用笛卡爾坐標系表示平面向量，培養中學生的遷移能力和創新能力意識。
2 學業情況分析
中學生基礎差，學習不積極
3 重點難點
向量正交分解和向量坐標表示概念的理解
4 教學過程 4.1 第一小時評論 (0) 新設計
（一）綜述介紹：
問題 1. 指出平面向量基本定律的內容和意義
設計意圖：為舊知識做準備，為下一步的專精基地、引新課做準備。
師生活動：中學生口頭報告、班主任點評。
平面向量的基本定律：如果在同一平面上有兩個不共線的向量，那么對于這個平面上的任意向量，存在且只有一對實數λ1，λ2使得=λ1+λ2
注：（1）我們稱非共線向量e1、e2為一組表示該平面內所有向量的基；
(2)基不唯一，鍵不共線；
(3) 根據定律，任意向量a在給定基e1和e2的條件下都可以分解；
(4) 基數給定時，分解方法唯一。 λ1, λ2 是唯一確定的數
(2) 講解新課：
1.平面向量的正交分解
問題 2. 平面矢量基本定律在化學中的作用是什么？ 嘗試一個例子。
設計意圖：建立物理知識與數學知識之間的聯系，體驗物理定律的實際模型，幫助理解向量正交分解的概念和意義。
師生活動：中學生思考并舉例。 班主任給出了向量正交分解的定義，并簡單說明了它的作用。
力的分解：如圖所示，光滑斜坡上的鐵塊受到重力作用。 這時可以分解為，即=，其中 是平行于斜面的力， 是垂直于斜面的壓力。
速度的分解：斜向上拋物體的速度可以分解為水平方向的勻速直線運動的速度和垂直方向的向上拋運動的速度，則=+。
垂直性是兩個不共線的向量的重要情況。 將一個向量分解成兩個相互垂直的向量稱為向量的正交分解。 正交分解是向量分解中常見的情況，這會給我們研究問題帶來很大的方便。
2.平面矢量的坐標表示
問題3. 在平面笛卡爾坐標系中，每個點都可以用一對有序實數（即它的坐標）來表示。 對于笛卡爾坐標平面中的每一個向量，如何表達呢？
設計意圖：類比用一對有序實數表示平面笛卡爾坐標系的中點，促使中學生思考如何在笛卡爾坐標系中表示平面向量，培養中學生的遷移能力和創新意識。
師生活動：中學生思考、猜測向量也可以用坐標表示。 根據平面向量的基本規律，分別選取與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量作為基。
問題4、如圖所示，以與x軸、y軸方向相同的單位向量 為底，用 表示向量。
設計意圖：讓中??學生體驗知識生成的過程，從具體問題中理解矢量坐標表示的含義和矢量坐標表示的方法，為學習醬油圖像坐標表示的定義做鋪墊。
師生活動：學生：；；；
師：根據定律，是的，有一對唯一的實數(2, 3)與之對應，我們稱(2, 3)為 的坐標，標記為=(2, 3)
健康：同理心
問題 5. 更一般地，如何定義平面中任意向量的坐標？
設計意圖：通過中學生自己具體建構定義的過程，加深對所學知識的理解，同時滲透從具體到具體、從特殊到普通的認知，
師生活動：中學生思考解答，班主任修整提高。
平面向量坐標表示的定義：在笛卡爾坐標系中，以與x軸、y軸同向的單位向量為底，任意向量由平面基本定律可知向量，只有一對實數 x , y ，所以 (x, y) 稱為向量的坐標。 寫成 = (x, y)。
如圖所示，在直角坐標平面中，以原點O為起點，點的位置由 唯一確定。
假設向量的坐標是點的坐標； 反之，點的坐標也是向量的坐標。 因此，在平面笛卡爾坐標系中，每個平面向量都可以由一對唯一的實數表示。
問題 6. ①寫出 , 的坐標；
②如圖所示，寫出坐標，分析它們之間的關系。
設計意圖：鞏固向量坐標表示的定義，明確相等的向量坐標是相等的，感受向量與其坐標的一一對應關系，感受向量的坐標與點的坐標相同。
師生活動：中學生思考與解答。 班主任用幾何畫板拖動矢量使其平移，坐標不變。
非常，，，。
問題7. (1) 若A(x1,y1),O為坐標原點，坐標是多少？
(2) 如果A(x1,y1), B(x2,y2)，這些向量的坐標是多少？
(1) (2)
設計意圖：讓中??學生理解一個向量的坐標與代表該向量的有向直線的起點和終點坐標之間的關系，感覺向量的坐標與具體的對象無關表示向量 的有向線段的起點和終點的位置，只與其相對位置有關。 同時滲透幾個組合的想法，特別是通常的想法。 培養中學生觀察、歸納、分析、論證的能力。
師生活動：班主任用幾何畫板拖出（1）中的A點，中學生歸納得出（1）的推論：而（2）在班主任的指導下結合（ 1）矢量加法三角定律由中學生推理完成。
從原點出發的有向線段所表示的向量的坐標就是其終點的坐標。 即：=(x,y)A(x,y)
矢量的坐標等于表示矢量的有向線段的終點坐標乘以起點坐標。 即：如果A（x1，y1），B（x2，y2）=（x2-x1，y2-y1）
(3) 課堂練習：
1. 以下三種說法： ① 平面內只有一對不共線的向量才能作為平面的基； ②一個平面內有無數對不共線的向量，可以作為該平面內所有向量的基； ③零向量不能作為基數中的向量，正確的說法是（）
A.①②B.②③C.①③D.①②③
2. 給定向量 e1 和 e2，求向量 -2.5e1+3e2。
e1
e2
3.已知i和j是兩個非共線向量。 據了解，【大榕樹實體資源網（）可能是中國最大的實體資源網。 ]=3i+2j,[大榕樹實物資源網()力的正交分解教案，可能是國內最大的實物資源網。 ]=i+λj,[大榕樹實體資源網()，可能是國內最大的實體資源網。 ]=-2i+j，若A、B、D三點共線，求實數λ的值。
4. 如果是向量，則向量的坐標為 。
5.如果=(x-2,3)等于=(1,y+2)，則()
A。 x=1,y=3B． x=3,y=1C。 x=1，y=-5D。 x=5,y=-1
6、如圖所示，寫出向量的坐標和A點的坐標。
7、如圖所示，在正矩形ABCD中，O為圓心，
和=(-1,-1)，求坐標。
.
8、已知向量a=(x+3,x2-3x-4)和【大榕樹實體資源網（）可能是中國最大的實體資源網。 ] 相等，其中A(1,2), B(3,2)，求x。
中學生練習，班主任上課批改。
（四）總結
①. 請回答矢量坐標表示的定義和含義。
②. 向量的坐標和點的坐標是什么關系？
設計意圖：讓中??學生養成歸納總結的學習習慣，不斷提高反思能力，體驗知識產生、發展和應用的過程。
師生活動：在班主任提問的基礎上，讓中學生自己得出結論，班主任補充建構。
(5) 作業：
教科書 P1141, 2, 3
教學活動
2.3.2 平面向量的正交分解與坐標表示
課程設計 課堂記錄
2.3.2 平面向量的正交分解與坐標表示
1 第一學期新設計
（一）綜述介紹：
問題 1. 指出平面向量基本定律的內容和意義
設計意圖：為舊知識做準備，為下一步的專精基地、引新課做準備。
師生活動：中學生口頭報告、班主任點評。
平面向量的基本定律：如果在同一平面上有兩個不共線的向量，那么對于這個平面上的任意向量，存在且只有一對實數λ1，λ2使得=λ1+λ2
注：（1）我們稱非共線向量e1、e2為一組表示該平面內所有向量的基；
(2)基不唯一，鍵不共線；
(3) 根據定律，任意向量a在給定基e1和e2的條件下都可以分解；
(4) 基數給定時，分解方法唯一。 λ1, λ2 是唯一確定的數
(2) 講解新課：
1.平面向量的正交分解
問題 2. 平面矢量基本定律在化學中的作用是什么？ 嘗試一個例子。
設計意圖：建立物理知識與數學知識之間的聯系，體驗物理定律的實際模型，幫助理解向量正交分解的概念和意義。
師生活動：中學生思考并舉例。 班主任給出了向量正交分解的定義，并簡單說明了它的作用。
力的分解：如圖所示，光滑斜坡上的鐵塊受到重力作用。 這時可以分解為，即=，其中 是平行于斜面的力， 是垂直于斜面的壓力。
速度的分解：斜向上拋物體的速度可以分解為水平方向的勻速直線運動的速度和垂直方向的向上拋運動的速度，則=+。
垂直性是兩個不共線的向量的重要情況。 將一個向量分解成兩個相互垂直的向量稱為向量的正交分解。 正交分解是向量分解中常見的情況，這會給我們研究問題帶來很大的方便。
2.平面矢量的坐標表示
問題3. 在平面笛卡爾坐標系中，每個點都可以用一對有序實數（即它的坐標）來表示。 對于笛卡爾坐標平面中的每一個向量，如何表達呢？
設計意圖：類比用一對有序實數表示平面笛卡爾坐標系的中點，促使中學生思考如何在笛卡爾坐標系中表示平面向量，培養中學生的遷移能力和創新意識。
師生活動：中學生思考、猜測向量也可以用坐標表示。 根據平面向量的基本規律，分別選取與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量作為基。
問題4、如圖所示，以與x軸、y軸方向相同的單位向量 為底，用 表示向量。
設計意圖：讓中??學生體驗知識生成的過程，從具體問題中理解矢量坐標表示的含義和矢量坐標表示的方法，為學習醬油圖像坐標表示的定義做鋪墊。
師生活動：學生：；；；
師：根據定律，是的，有一對唯一的實數(2, 3)與之對應，我們稱(2, 3)為 的坐標力的正交分解教案，標記為=(2, 3)
健康：同理心
問題 5. 更一般地，如何定義平面中任意向量的坐標？
設計意圖：通過中學生自己具體建構定義的過程，加深對所學知識的理解，同時滲透從具體到具體、從特殊到普通的認知，
師生活動：中學生思考解答，班主任修整提高。
平面向量坐標表示的定義：在笛卡爾坐標系中，以與x軸和y軸同向的單位向量為底，任意向量，由平面基本定律可知向量，有且只有一對實數 x , y，所以 (x, y) 稱為向量的坐標。 寫成 = (x, y)。
如圖所示，在直角坐標平面中，以原點O為起點，點的位置由 唯一確定。
假設向量的坐標是點的坐標； 反之，點的坐標也是向量的坐標。 因此，在平面笛卡爾坐標系中，每個平面向量都可以由一對唯一的實數表示。
問題 6. ①寫出 , 的坐標；
②如圖所示，寫出坐標，分析它們之間的關系。
設計意圖：鞏固向量坐標表示的定義，明確相等的向量坐標是相等的，感受向量與其坐標的一一對應關系，感受向量的坐標與點的坐標相同。
師生活動：中學生思考與解答。 班主任用幾何畫板拖動矢量使其平移，坐標不變。
非常，，，。
問題7. (1) 若A(x1,y1),O為坐標原點，坐標是多少？
(2) 如果A(x1,y1), B(x2,y2)，這些向量的坐標是多少？
(1) (2)
設計意圖：讓中??學生理解一個向量的坐標與代表該向量的有向直線的起點和終點坐標之間的關系，感覺向量的坐標與具體的對象無關表示向量 的有向線段的起點和終點的位置，只與其相對位置有關。 同時滲透幾個組合的想法，特別是通常的想法。 培養中學生觀察、歸納、分析、論證的能力。
師生活動：班主任用幾何畫板拖出（1）中的A點，中學生歸納得出（1）的推論：而（2）在班主任的指導下結合（ 1）矢量加法三角定律由中學生推理完成。
從原點出發的有向線段所表示的向量的坐標就是其終點的坐標。 即：=(x,y)A(x,y)
矢量的坐標等于表示矢量的有向線段的終點坐標乘以起點坐標。 即：如果A（x1，y1），B（x2，y2）=（x2-x1，y2-y1）
(3) 課堂練習：
1. 以下三種說法： ① 平面內只有一對不共線的向量才能作為平面的基； ②一個平面內有無數對不共線的向量，可以作為該平面內所有向量的基； ③零向量不能作為基數中的向量，正確的說法是（）
A.①②B.②③C.①③D.①②③
2. 給定向量 e1 和 e2，求向量 -2.5e1+3e2。
e1
e2
3.已知i和j是兩個非共線向量。 據了解，【大榕樹實體資源網（）可能是中國最大的實體資源網。 ]=3i+2j,[大榕樹實物資源網()，可能是國內最大的實物資源網。 ]=i+λj,[大榕樹實體資源網()，可能是國內最大的實體資源網。 ]=-2i+j，若A、B、D三點共線，求實數λ的值。
4. 如果是向量，則向量的坐標為 。
5.如果=(x-2,3)等于=(1,y+2)，則()
A。 x=1,y=3B． x=3,y=1C。 x=1，y=-5D。 x=5,y=-1
6、如圖所示，寫出向量的坐標和A點的坐標。
7、如圖所示，在正矩形ABCD中，O為圓心，
和=(-1,-1)，求坐標。
.
8、已知向量a=(x+3,x2-3x-4)和【大榕樹實體資源網（）可能是中國最大的實體資源網。 ] 相等，其中A(1,2), B(3,2)，求x。
中學生練習，班主任上課批改。
（四）總結
①. 請回答矢量坐標表示的定義和含義。
②. 向量的坐標和點的坐標是什么關系？
設計意圖：讓中??學生養成歸納總結的學習習慣，不斷提高反思能力，體驗知識產生、發展和應用的過程。
師生活動：在班主任提問的基礎上，讓中學生自己得出結論，班主任補充建構。
(5) 作業：
教科書 P1141, 2, 3
教學活動
標簽: 2.3.2, 平面, 矢量, 正交, 分解
