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貢獻者：FFjet;addis
預備知識電路
1.定理闡明
定律1基爾霍夫電壓定理
基爾霍夫電壓定理又稱為基爾霍夫第一定理，規定在電路中所有步入某節點的電壓的總和等于所有離開這節點的電壓的總和。或則說，假定步入某節點的電壓為正值，離開這節點的電壓為負值，則所有涉及這節點的電壓的代數和等于零。以方程式抒發基爾霍夫定律怎么計算電流，對于電路的任意節點，有
begin{}sum_{k=1}^nI_k=0~.end{}
其中，$I_k$是第$k$個步入或離開這節點的電壓，是流過與這節點相聯接的第$k$個環路的電壓，可以是實數或復數。
證明
考慮電路的某節點，跟這節點相聯接有$n$個環路。假定步入這節點的電壓為正值，離開這節點的電壓為負值，則這節點的總電壓$I$等于流過大道$k$的電壓$I_k$的代數和：
begin{}I=sum_{k=1}^nI_k~.end{}
將這方程式對某段時間$[t_1,t_2]$內積分，可以得到這段時間該節點電荷的降低
begin{}q=sum_{k=1}^nq_k~.end{}
其中$q=int_{t_1}^{t_2}I(t),txrzbvzd{t}$，$q_k=int_{t_1}^{t_2}I_k(t),txrzbvzd{t}$是流過大道$k$的電荷。
若$q>0$，則說明有正電荷會累積于該節點，$q<0$表示負電荷會累積于節點。在討論電路時，我們通常假定任意一點不存在凈電荷，所以$q$和$I$都恒為零。
例1
圖1：列節點多項式
各大道電壓常常是未知量，它們的方向事先并不曉得。這時，可以先給每位大道電壓假定一個方向，并根據這一方向列舉多項式。求解多項式后，假如求得某大道電壓的數值為正，則該電壓的實際方向與假定方向相同，否則相反。這個假定的電壓方向稱作電壓的正方向。給每一支路電壓假定一個正方向然后，就可用代數目描寫每條環路的電壓，代數目的絕對值反映電壓的大小，代數目的正負則反映電壓的實際方向。正方向一經選取，節點多項式節點多項式的方式（等號左右兩側應寫什么電壓）就完全確定。諸如，為列舉中節點$A$的等式，可任意地選取與$A$有關的三個環路電壓的正方向如圖箭頭所示，因而寫出如下的節點多項式：
begin{}I_1+I_3-I_2=0~.end{}
電路中有$n$個節點的時侯，一共有$n-1$個節點多項式是獨立的。這$n-1$個獨立多項式構成基爾霍夫第一方程組。將它們與基爾霍夫第二等式組聯立后，可以按照已知電動勢及內阻求得每一支路的電壓。
定律2基爾霍夫電流定理
基爾霍夫電流定理又稱為基爾霍夫第二定理，表明順著閉合回路所有器件兩端的電勢差（電流）的代數和等于零。或則，換句話說，順著閉合回路的所有電動勢的代數和等于所有電壓降的代數和。以方程式抒發，對于電路的任意閉合回路，
begin{}sum_{k=1}^mU_k=0~.end{}
其中，$m$是此閉合回路的器件數量，$U_k$是器件兩端的電流，可以是實數或復數。
證明
按照電勢差的定義（）
begin{}U_{21}=V({{r}}_2)-V({{r}}_1)=-int_{{{r}}_1}^{{{r}}_2}{{E}}_0({{r}})\cdot,txrzbvzd{{{r}}}~.end{}
假如令路徑起點為${{r}}_1$，終點為${{r}}_N$，中途有若干點${{r}}_2,dots,{{r}}_{N-1}$。這么有可以將路徑積分界定為若干段，總電勢差等與每段電勢差之和
begin{}U_{N1}=U_{21}+U_{32}+dots+U_{N,N-1}~,end{}
其中$U_{j,I}=-int_{{{r}}_i}^{{{r}}_{j}}{{E}}_0({{r}})\cdot,txrzbvzd{{{r}}}$。假如取一個支路作為積分路徑，起點終點相接，電勢差為零。即${{r}}_1={{r}}_N$，$U_{N1}=0$。立刻可得。證畢。
例2
圖2：復雜電路中的一個回路
據，由基爾霍夫電流定理可知，
begin{}U_{ML}+U_{NM}+U_{ON}+U_{PO}+U_{LP}=0~.end{}
構想有一個觀察者從$L$點出發沿圖中方形箭頭所示的方向繞行回路一周回到$L$點，他沿途見到電勢有時下降有時增加，并且升、降的總數相等。由圖看出，電勢從$L$到$M$下降了數值$E_1$，從$M$到$N$增加了數值$$，依次類推，于是可以表示為
begin{}{E}_{1}-I_{1}R_{1}-{E}_{2}-I_{2}R_{2}+I_{3}R_{3}=0~.end{}
由以上討論不難看中每項后面的正、負號應由以下規則確定：任意選取一個繞行回路的方向（稱作繞行方向），當繞行方向從正極步入電源時（如$E_1$），其電動勢前寫$+$號，否則寫$-$號（如$$）；當繞行方向與內阻的電壓正方向相同時（如$R_1$和$R_3$），該內阻的$IR$項前寫$-$號，否則寫$+$號（如$R_2$）。再度指出電壓可正可負，正電壓表示與正方向形同，負電壓則相反，所以$IR$也可正可負。
一個電路可以包含許多回路，但它們的等式并非都是獨立的。如右圖電路所示：$$、$$及$$。
圖3：獨立回路
前兩個回路的等式似乎獨立，由于每位回路都包含一條另一回路所不包含的環路。但第三個回路的多項式就不獨立，它可由前兩個等式推出。電路中所有獨立的回路多項式構成基爾霍夫第二等式組。為了列舉獨立的回路等式，可以選擇這樣的回路，其中每位起碼包含一條其他回路所不包含的支路。一個完整電路的環路數$b$、節點數$n$和獨立回路數$m$之間的關系為
begin{}b=m+n-1~.end{}
假如全部電動勢及內阻皆已知，則電路共有$b$個未知的大道電壓。另一方面，由前述可知，這個電路必有$n-1$個獨立的節點多項式及$m$個獨立的回路多項式，即共有$m+n-1$個獨立多項式，恰與未知量個數$b$相等，因而可惟一地解出各大道電壓。其實，除東路電壓外，電動勢或內阻也可作為未知量，只要未知量個數為$b$，同樣可以求解。可見基爾霍夫等式組原則上可以解決一切線性直流電路的估算問題。
當電動勢是待求量并且連電源的極性也未知時，可以任意地給電動勢選取一個正方向（即假定一對正、負極，電動勢的正方向是指從假定的正極到負極的方向），并把電動勢作為代數目列舉基氏第二多項式，等式中$E$前的$+$、$-$號應按照繞行方向是否步入假定的正極來決定。求解后，假如$E>0$，則實際極性與假定極性相同，否則相反。
2.定理應用
首先，按照上節所述，可以總結出用基爾霍夫等式組解題的步驟如下：
任意選取各大道電壓的正方向；數出節點數$n$，任取其中$n-1$個寫出$n-1$個節點多項式；數出西路數$b$，選取$m=b-n+1$個獨立回路，任意指定每位回路的繞行方向，列舉$m$個回路多項式；對所列的$(n-1)+(b-n+1)=b$個等式聯立求解；按照所得電壓值的正負判定各電壓的實際方向。
下邊來看幾道具體的電路例題。
例3
中，已知${E}_{1}=32{V},{E}_{2}=24{V},R_{1}=5{Omega},R_{2}=6{Omega},R_{3}=54{Omega}$，求各大道的電壓。
選取$I_1$、$I_2$、$I_3$的正方向如圖實箭頭所示，虛箭頭則代表實際方向，待求解后方可確定。觀察知，節點數$n=2$，所以只有一個節點多項式：
begin{}I_{3}-I_{1}-I_{2}=0~.end{}
又因大道數$b=3$，故獨立回路數$m=b-n+1=2$.選圖中$rmI$、$rmII$兩個獨立回路，約定其繞行方向如圖方形箭頭所示，列舉回路多項式：
begin{}begin{}text{回路}{I}:&&{E}_{1}-I_{1}R_{1}+I_{2}R_{2}-{E}_{2}=0~,\text{回路}{II}:&&{E}_{2}-I_{2}R_{2}-I_{3}R_{3}=0~.end{}end{}
聯立、，解得：
begin{}begin{cases}I_{1}=1{A}\I_{2}=-0.5{A}\I_{3}=0.5{A}end{cases}~.end{}
可見$I_1$、$I_3$的實際方向與假定的正方向相同基爾霍夫定律怎么計算電流，$I_2$的實際方向與正方向相反。三個電壓的實際方向在圖中用虛箭頭標出。
例4橋式電路
已知中$R_{1}=50Omega$，$R_{2}=40Omega$，$R_{3}=15Omega$，$R_{4}=26Omega$，$R_{5}=10Omega$，求$A$、$B$之間的總內阻。
圖4：橋式電路
構想在$A$、$B$之間接入端電流為$U$的無電阻電源使成完整的電路，用基爾霍夫等式組求出從$A$流進的電壓$I$，則比值$U/I$便是$A$、$B$之間的總阻值。把惠斯通電橋中的$I_{G}$、$R_{G}$分別改為$I_5,R_5$，即可得出答案。求解可得$I=U/32Omega$，即$A$、$B$之間的總內阻為$32Omega$。
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