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[!--downpath--]第一課時
一、教材剖析
（一）教材所處的地位和作用
“算術平均數與幾何平均數”是全日制普通中級學校教科書（試驗修訂本·必修）物理第二冊（上）“不方程”一章的內容，是在學完不方程性質的基礎上對不方程的進一步研究．本節內容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特征，所以本節內容是培養中學生應用物理知識，靈活解決實際問題，學物理用物理的好素材二同時本節知識又滲透了數形結合、化歸等重要物理思想，所以有利于培養中學生良好的思維品質．
（二）教學目標
1．知識目標：理解兩個實數的平方和不大于它們之積的2倍的重要不方程的證明及其幾何解釋；把握兩個負數的算術平均數不大于它們的幾何平均數定律的證明及其幾何解釋；把握應用平均值定律解決一些簡單的應用問題．
2．能力目標：培養中學生數形結合、化歸等物理思想．
（三）教學重點、難點、關鍵
重點：用平均值定律求個別函數的最值及有關的應用問題．
難點：定律的使用條件，合理地應用平均值定律．
關鍵：理解定律的約束條件，把握化歸的物理思想是突破重點和難點的關鍵．
（四）教材處理
根據新大綱和新教材，本節分為二個課時進行教學．第一課時講解不方程（兩個實數的平方和不大于它們之積的2倍）和平均值定律及它們的幾何解釋．把握應用定律解決個別物理問題．第二課時講解應用平均值定律解決個別實際問題．為了講好平均值定律這節內容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當的調整，適當降低例題．
二、教法剖析
（－）教學方式
為了迸發中學生學習的主體意識，又有利于班主任引導中學生學習，培養中學生的語文能力與創新能力，使中學生能獨立實現學習目標．在探求推論時，采用發覺法教學；在定律的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部份，主要采用講練結合法進行．
（二）教學手段
按照本節知識特征，為突出重點，突破難點，降低教學容量，借助計算機補習教學．
三、教學過程設計
6．2算術平均數與幾何平均數（第一課時）
（一）導出新課
（班主任活動）1．班主任打出字幕（提出問題）；2．組織中學生討論，并點評．
（中學生活動）中學生分組討論，解決問題．
[字幕]某種商品分兩次提價，漲價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是折銷售．試問漲價最少的方案是哪一種？
［討論］
①設物價為t元，三種漲價方案的銷售物價分別是：
方案甲：（元）；
方案乙：（元）；
方案丙：（元）．
故漲價最少的方案是丙．
②若將問題變為第一次a折銷售，第二次b折銷售．其實可推測有不方程創立，即，當時，
設計意圖：提出一個商品提價問題，要求中學生討論哪一種方案漲價最少．中學生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，進而達到說明學習本節知識的必要，迸發中學生求知欲望，合理引出新課．
（二）新課講授
【嘗試探求，完善新知】
（班主任活動）打出字幕（重要不方程），引導中學生剖析、思考，講解重要不方程的證明．點評有關問題．
（中學生活動）參與研究重要不方程的證明，理解有關概念．
［字幕］假如極化恒等式的幾何意義，這么（當且僅當時取“=”號）．
證明：見課本
［點評］
①強調的充要條件是
②解釋“當且僅當”是充要條件的抒發形式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）．
③幾何解釋，如圖。
[字幕]定律假如a，b是負數，這么（當且僅當時取“=”號）．
證明：中學生運用“”自己證明．
［點評］
①強調；
②解釋“算術平均數”和“幾何平均數”的概念，并表述它們之間的關系；
②比較上述兩個不方程的特點（指出它們的限制條件）；
④幾何解釋（見課本）；
＠強調定律可推廣為“n個（）負數的算術平均數不小干它們的幾何平均數”．
設計意圖：加深對重要不方程的認識和理解；培養中學生數形結合的思想方式和對比的物理思想，多方面思索問題的能力．
【例題示范，學會應用】
（班主任活動）班主任打出字幕（例題），引導中學生剖析，研究問題，點撥正確運用定律，建立證題思路．
（中學生活動）與班主任一道完成問題的論證．
［字幕］例題已知a，b，c，d都是負數，求證：
［剖析］
①應用定律證明；
②研究問題與定律之間的聯系；
③注意應用定律的條件和應用不方程的性質．
證明：見課本．
設計意圖：鞏固對定律的理解，學會應用定律解決個別物理問題．
【課堂練習】
（班主任活動）打出字幕（練習），要求中學生獨立思索，完成練習；巡視中學生解題情況，對正確的解法給與肯定和鼓勵，對誤差給與糾正；請甲、乙兩學生板演；點評練習解法．
（中學生活動）在電腦上完成練習，甲、動兩位朋友板演．
［字幕］練習：已知都是負數，求證：
（1）；
（2）
設計意圖：把握定律及應用，反饋課堂教學療效，調節課堂教學．
【分析歸納、小結解法】
（班主任活動）剖析歸納例題和練習的解題過程，小結應用定律解決有關物理問題的解題方式．
（中學生活動）與班主任一道剖析歸納，小結解題技巧，并記錄在電腦上．
1．重要不方程可以拿來證明個別不方程．
2．應用重要不方程證明不方程時要注意不方程的結構特點：①滿足定律的條件；②不方程一邊為和的方式，另一邊為積或常數的方式．
3．用重要不方程證明有關不方程時注意與不方程性質結合．
設計意圖：培養中學生剖析歸納問題的能力，把握應用重要不方程解決有關物理問題的方
法．
（三）小結
（班主任活動）班主任小結本節課所學的知識要點．
（中學生活動）與班主任一道小結，并記錄在電腦上．
1．本節課學習了兩個重要不方程及它們在解決物理問題中的應用．
2．注意：①兩個重要不方程使用的條件；②不方程中“=”號創立的條件．
設計意圖：培養中學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．
（四）布置作業
1．課本作業；習題．1，3
2．思索題：已知，求證：
3．研究性題：設負數，，試盡可能多的給出富含a和b的兩個元素的不方程．
設計意圖：課本作業供中學生鞏固基礎知識；思索題供學有余力的中學生完成，靈活把握重要不方程的應用；研究性題是一道推論開放性題，培養中學生創新意識．
（五）課后點評
1．導出新課采用中學生比較熟悉的問題為背景，容易被中學生接受，形成興趣，迸發學習動機．促使中學生學習本節課知識自然且合理．
2．在完善新知過程中，班主任力求引導、啟發，讓中學生逐漸追憶所學的知識，并應用它們來剖析問題、解決問題，以產生比較系統和完整的知識結構．對有關概念使中學生理解難確，盡量以多種方式反映知識結構，使中學生在比較中得到深刻理解．
3．通過變式訓練，使中學生在對知識初步理解和把握后，得到進一步推進，對所學的知識得到鞏固與提升，同時反饋信息，調整課堂教學．
4．本節課采用啟發引導，講練結合的講課形式，發揮班主任主導作用，彰顯中學生主體地位，中學生獲取知識必須通過中學生自己一系列思維活動完成，啟發誘導中學生深入思索問題，有利于培養中學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質．
作業答案
思索題證明：由于，所以
．又由于，，，所以，，所以
研究性題①．由條件得，…（A）借助公式…（B）．得，即．②．由（A）、（B）之和即得．③．可借助．再借助①，即可得．④．借助立方和公式得到：．借助①可得．借助①②可得．還有……
第二課時
（－）導出新課
（班主任活動）1．班主任打出字幕（引例）；2．設置問題，引導中學生思索，啟發中學生應用平均值定律解決有關實際問題．
（中學生活動）思索、回答班主任設置的問題，建立應用平均值定律解決實際問題的思路．
［字幕］引例．如圖，用籬笆圍一塊面積為50的一邊靠墻的圓形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少時，所用籬笆最省？此時，籬笆墻長為多少米？
[通感]
①這是一個實際問題，怎樣把它轉化成為一個物理問題？
（中學生口答：設籬笆墻長為y，則（）．問
題轉化成為求函數y的最小值及取得最值時的的值．）
②求這個函數的最小值可用什么方式？能夠用平均值定律求此函數的最小值？
（中學生口答：借助函數的單調性或判斷式法，也可用平均值定律．）
設計意圖：從中學生熟悉的實際問題出發，迸發中學生應用物理知識解決問題的興趣，通過通感，引導和啟發中學生用所學的平均值定律解決有關實際問題，引入課題．
（二）新課講授
【嘗試探求、建立新知】
（班主任活動）班主任打出字幕（課本例題1），引導中學生研究和解決問題極化恒等式的幾何意義，幫助中學生構建用平均值定律求函數最值的知識體系．
（中學生活動）嘗試完成問題的論證，建立應用平均值定律求函數最值的方式．
[字幕]已知都是負數，求證：
（1）假如積是定值P，這么當時，和有最小值；
（2）假如和是定值S，這么當時，積有最大值
證明：運用，證明（略）．
［點評］
①（l）的推論即，（2）的推論即
②上述推論給出了一類函數求最值的方式，即平均值定律求最值法．
③應用平均值定律求最值要非常注意：兩個變元都為正值；兩個變元之積（或和）為定值；當且僅當，這三個條件缺一不可，即“一正，二定，單相等”同時創立．
設計意圖：引導中學生剖析和研究問題，完善新知——應用平均值定律求最值的方式．
【例題示范，學會應用】
（班主任活動）打出字幕（例題），引導中學生剖析問題，研究問題的解法．
（中學生活動）剖析、思考，嘗試解答問題．
[字幕]例題1求函數（）的最小值，并求相應的的值．
［剖析］由于這個函數中的兩項不都是負數且又與的積也不是常數，所以不能直接用定律求解．但把函數變型為后，負數，的積是常數1，可以用定律求得這個函數的最小值．
解：，由，知，，且．當且僅當，即時，（）有最小值，最小值是。
[點評]要正確理解的意義，即多項式要有解，且解在定義域內．
[字幕]例2某鞋廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其體積為4800，深為3m，假如池底每l的造價為150元，拱圈每1的造價為120元，問如何設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？
［剖析］設水池底面一邊的長為m，水池的總造價為y，構建y關干的函數．之后用定律求函數y的最小值．
解：設水池底面一邊的寬度為m，則另一邊的寬度為m，又設水池總造價為y元，按照題意，得
（）
所以
當，即時，y有最小值．因而，當水池的底面是周長為40m的正圓形時．水池的總造價最低，最低總造價是元．
設計意圖：加深理解應用平均值定律求最值的方式，學會應用平均值定律解決個別函數最值問題和實際問題，并把握剖析變量的建立思想．培養中學生用物理知識解決實際問題的能力，化歸的物理思想．
【課堂練習】
（班主任活動）打出字幕（練習），要求中學生獨立思索，完成練習；請三位同事板演；巡視中學生解題情況，對正確的給與肯定，對誤差進行糾正；講評練習．
（中學生活動）在電腦且完成練習、板演．
［字幕〕練習
A組
1．求函數（）的最大值．
2求函數（）的最值．
3．求函數（）的最大值．
B組
1．設，且，求的最大值．
2．求函數的最值，下邊解法是否正確？為何？
解：，由于，則．所以
[講評]A組1．；2．；3．
B組1．；2．不正確①當時，；②當時，，而函數在整個定義域內沒有最值．
設計意圖；A組題訓練中學生把握應用平均值定律求最值．B組題訓練中學生把握平均值定律的綜合應用，并對一些易出現錯誤的地方造成注意．同時反饋課堂教學療效，調節課堂教學．
【分析歸納、小結解法】
（班主任活動）剖析歸納例題和練習的解題過程，小結應用平均值定律解決有關函數最值問題和實際問題的解題方式．
（中學生活動）與班主任一道剖析歸納，小結解題技巧，并記錄筆記．
1．應用平均值定律可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題．
2．應用定律時注意以下幾個條件：（ⅰ）兩個變量必須是正變量．（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值．（iii）當且僅當兩個數相等時取最值，即必須同時滿足“正數”、“定值”、“相等”三個條件，就能求得最值．
3．在求個別函數的最值時，會恰當的恒等變型——分析變量、配置系數．
4．應用平均值定律解決實際問題時，應注意：（l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數．（2）構建相應的函數關系式，把實際問題具象為函數的最值問題，確定函數的定義域．（3）在定義域內，求出函數的最值，正確寫出答案．
設計意圖：培養中學生剖析歸納問題的能力，幫助中學生產生知識體系，全面深刻地把握平均值定律求最值和解決實際問題的方式．
（三）小結
（班主任活動）班主任小結本節課所學的知識要點．
（中學生活動）與班主任一道小結，并記錄筆記．
這節課學習了借助平均值定律求個別函數的最值問題．如今我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數最值方式．這是平均值定律的一個重要應用，也是本節的重點內容，朋友們要牢靠把握．
應用定律時要注意定律的適用條件，即“正數、定值、相等”三個條件同時創立，且會靈活轉化問題，達到化歸的目的．
設計意圖：培養中學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．
（四）布置作業
1．課本作業：P，6，7．
2．思索題：設，求函數的最值．
3．研究性題：某種車輛購車時費用為10億元，每年保險、養路、汽車費用9千元；車輛的修理費各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增．問這些車輛最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用最少）？
設計意圖：課本作業供中學生鞏固基礎知識；思索題供學有余力的中學生練習，使中學生能靈活運用定律解決個別物理問題；研究性題培養中學生應用物理知識解決實際問題的能力．
（五）課后點評
1．關于新課引入設計的看法：
導出這一環節是調動中學生學習的積極性，迸發中學生探究精神的重要環節，本節課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各類解法，形成用平均值定律求最值，點明課題．事實上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學重點．
2．關于課堂練習設計的看法：
正確理解和使用平均值定律求個別函數的最值是教學難點．為突破難點，班主任單方面指出是遠遠不夠的，只有讓中學生通過自己的思索、嘗試，發覺使用定律的三個條件缺一不可，能夠大大加深中學生對正確使用定律的理解，設計解法正誤討論才能使中學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤緣由，加深了對正確解法的理解，真正把新知識列入到原有認知結構中．
3．培養應用意識．
教學中應不失時機地使中學生認識到物理始于客觀世界并反作用干客觀世界．為提高中學生的應用意識，在平常教學中就應適當降低解答應用問題的教學．本節課中設計了兩道應用問題，用剛才學過的物理知識解決了問題，使中學生不禁倍感“數學有用，要用物理”．
作業解答
思索題：
．當且僅當，即時，上式取等號．所以當時，函數y有最小值9，無最大值．
研究性題：設使用年報廢最合算，由題意有；
年平均費用
當且僅當，即時，取得最小值，即使用10年報廢最合算，年平均費用3億元．