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[!--downpath--]1、輔助角公式()在三角函數(shù)中，有一種常見而重要的題型，即化為一個角的一個三角函數(shù)的方式，從而求原函數(shù)的周期、值域、單調(diào)區(qū)間等.為了幫助學(xué)asin和把握這些題型的解答方式，班主任們總結(jié)出公式bcos=sin()或asinbcos=cos(),讓中學(xué)生在大量的訓(xùn)練和考試中加以記憶和活用.但事與愿違，半個,讓中學(xué)生掌握輔助學(xué)期不到，大部份中學(xué)生都忘了，班主任不得不重推一遍.到了初三一輪備考，再度忘記,班主任還得重推！本文致力通過輔助角公式的另一種自然的推論，彰顯一種解決問題的過程與方式，減少中學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)；同時說明“輔助角”的范圍和常見的取角方式,
2、幫助中學(xué)生澄清一些認(rèn)識；另外通過事例說明輔助角公式的靈活應(yīng)用，優(yōu)化解題過程與技巧；最后通過事例說明輔助公式在實際中的應(yīng)用角與原生角的范圍關(guān)系，以更好地把握和使用公式.一.教學(xué)中常見的的推論方式教學(xué)中常見的推論過程與方式如下1.引例例1求證：Vssin+cos=2sin(+)=2cos(6其證法是從右往左展開證明，也可以從左向右“湊”，使方程得到證明，并得出推論：可見，J3sin+cos可以化為一個角的三角函數(shù)方式.通常地,asin+bcos是否可以化為一個角的三角函數(shù)方式呢？2.輔助角公式的推論例2化asinbcos為一個角的一個三角函數(shù)的方式.解：asin+
3、bcos=b2(a.i-+了cos),令?ab=cos,亠=sin70=bsin(+),(其中tan=b)a貝Uasin+bcos=b2(+cossin)精選文庫ab令f=sin,1==cos,貝yb2cos(asin+bcos=b2(sinsin+coscos)=Ta2),(其中tan=a)b其中的大小可以由sin、cos的符號確定的象限極化恒等式三角公式，再由tan的值求I*出.或由tan=和(a,b)所在的象限來確定.a推論以后，是配套的例題和大量的練習(xí).并且這些推論方式有兩個問題：一是為何要令b,1==sin
4、va易錯！af二=cosva導(dǎo),中學(xué)生難記易忘、?讓中學(xué)生吃驚.二是這些“規(guī)定”式的推所以asin+bcos=Ab2+va2b2sincos3=n()來得更自然?這是我多少年來始終思索的問題.=r,r=,由三角函數(shù)的定義知bcos早已是一個角的一個三角二.讓輔助角公式asinbcos能夠讓讓輔助角公式來得更自然些年春.我又一次代2008級中學(xué)生時,總算想出一種與三角函數(shù)的定義銜接又淺顯易懂的教學(xué)推論方式.首先要說明，若a=0或b=0時，asin函數(shù)的方式，無需通分.故有abM0.1.在平面直角座標(biāo)系中，以a為橫坐標(biāo),b為縱座標(biāo)
5、描一點P(a,b)如圖1所示,則總有一個角，它的終邊經(jīng)過點P.設(shè)bsin=racos=r).(其中tan=)a精選文庫asin+bcos=Ja2b252.若在平面直角座標(biāo)系中，以b為rJa2+bcos二b2COSb2cos().(其中tana=-)b例3化為一個角的一個三角函數(shù)的方式.解：在座標(biāo)系中描點p(43,1),設(shè)角的終邊過點P,則0P=r=J龐12=2.sin1=,=+2sincos=2sin().tan2k，二亦sin6經(jīng)
6、過多次的運用，朋友們可以在班主任的指導(dǎo)下cos=2sin(asin+bcos=Ja2b2-).6,總結(jié)出輔助角公式+)=Va2b2sin(),(其中tanb).或則asinb+)=Ja2b2cos(),(其中tan=b)精選文庫7我想這樣的推論，中學(xué)生理解上去會容易得多，并且也更容易理解b+j=22aasin+bcos湊成寸ab（,=sinb2及為何只有兩種方式的結(jié)果.J3cos為一個角的一個三角函數(shù)的方式.）的道理,以sin例4化占八、（1，-員）在第四靈限.OP=2.設(shè)角cos足
7、條件的最點.則n((2k,k/3cos)2sin(2((-靈,1)在cos2k,k/3cos2(1sin2)2cos(-65)2()2sin(I,OP=2,cos).cossin)三.關(guān)于輔助角的范圍問題由asinb2sin（邊過點P（a,b）的角可能有四種情況（第一象限、設(shè)滿足條件的最小正角為1,則2((）中，點第二象限、)asinb2sin().P（a,b）的位置可知第三象限、第四靈限）.2k.由誘導(dǎo)公式（一）知)Tab2s
8、in(J.其精選文庫13中1(0,2),tan的具體位置由sin1與cos1決定，的大小由tan1類似地,(),的終邊過點P(b.a),設(shè)滿足條件的最小正角為2，則22k.由誘導(dǎo)公式有asinb2cos(2)，其中2(0,2),tan2的位置由sin2和cos2確定,2的大小a由tan2b確定注意：通常地,2:之后沒有非常說明時，角1(或2)是所求的輔助角.四.關(guān)于輔助角公式的靈活應(yīng)用引入輔助角公式的主要目的是通分三角函數(shù)式.在實際中結(jié)果是化為余弦還是化為正弦要具體問題具體剖析，還有一個重要問題是，并不是每次都要化為a
9、sin(1)2)的方式.可以借助兩角和與差的正、bcosasin正弦公式靈活處理.例5化下述三角函數(shù)式為一個角的一個三角函數(shù)的方式.(1)73；(2)Zn(解：(1)cos-cos)22(sin)62sin(6)(2)在本例第（1）1），而取的是點P們可以取卩（a,sin()63721?匕sin(；7323近sin(-3372/2sin(33小題中極化恒等式三角公式，a晶()yc叫)73)亍0s()cocos(（J3,1）.也就是說,)sin31，我們并沒有取點P（73,-當(dāng)a、b中起碼有一
10、個是負(fù)值時.我b）,或則p（b,a）.這樣確定的角（或2）是銳角,就愈加便捷.例6已知向量rra(cos(x),1),b3(cos(x3），1），2的最大值及相應(yīng)的xrrc(sin(x),0)，求函數(shù)h(x)=a3的值.解：h(x)cos2(x)sin(x,21cos(2x-(2x)234242,cos(2x22cos(2x12-sin(2x)232yf2-)sin(2x32|)2h(x)max211)這時2x2k,xk.kZ.1224,并且涉及輔角的范圍，在相應(yīng)此處，若轉(zhuǎn)化為兩角和與差的余弦公式
11、不僅麻繁，并且易錯,請讀者一試.五.與輔助角有關(guān)的應(yīng)用題與輔助角有關(guān)的應(yīng)用題在實際中也比較常見范圍內(nèi)求三角函數(shù)的最值常常是個難點.例7如圖3,記扇OAB的中心角為45,直徑為1,圓形PQMr內(nèi)接于這個扇形,求圓形的對角線I的最小值.解：聯(lián)結(jié)0M,設(shè)/AOM=.則MQsin,OQ=cos,OP=PN：sinPQ=OQ-圖3l2=sin2(cossin)21(sin2cos2)2fsin(21),其中tan1(0,),n.2n221arctan.逅I.imin2所以當(dāng)111時,方形的對角線I的最小值為222