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[!--downpath--]1、2013年普通中考數學科一輪備考精品教案第24講三角恒等變型及應用一課標要求：1經歷用向量的數目積推導入兩角差的正弦公式的過程，進一步感受向量方式的作用；2能從兩角差的正弦公式導入兩角和與差的余弦、余弦、正切公式，二倍角的余弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系；3能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導導入積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。二命題邁向從近幾年的中考考察的方向來看，這部份的中考題以選擇、解答題出現的機會較多，有時侯也以填空題的方式出現，它們常常與三角函數的性質、解三角形及向量聯合考察，主要題型有三角函數求值，通過三角式的變換研究三角函數的性質。本講內容是中考備考
2、的重點之一，三角函數的通分、求值及三角恒方程的證明是三角變換的基本問題。歷年中考中，在考察三角公式的把握和運用的同時，還著重考察思維的靈活性和發散性，以及觀察能力、運算及觀察能力、運算推理能力和綜合剖析能力。三要點精講1兩角和與差的三角函數；。2二倍角公式；。3三角函數式的通分常用方式：直接應用公式進行降次、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同角；三角公式的逆用等。（2）通分要求：能求出值的應求出值；使三角函數種數盡量少；使項數盡量少；盡量使分母不含三角函數；盡量使被開方數不含三角函數。（1）降冪公式；。（2）輔助角公式，。4三角函數的求值類型有三類（1）給角求值：通常所給出的角都是非特殊角
3、，要觀察所給角與特殊角間的關系，借助三角變換消掉非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數值問題；（2）給值求值：給出個別角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題的關鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的多項式表示，求解時要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實質上轉化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數值結合所求角的范圍及函數的單調性求得角。5三角方程的證明（1）三角恒方程的證題思路是按照方程兩端的特點，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方式，使方程兩端化“異”為“同”；（2）三角條件方程的證題思路是通過觀察，發覺已知條件和待證方程間的關系，采用代入法、消參法或剖析法進行證明
4、。四典例解析題型1：兩角和與差的三角函數例1已知，求cos。剖析：由于既可看成是看作是的倍角，因此可得到下邊的兩種解法。解法一：由已知sin+sin=1，cos+cos=0，22得2+2cos；cos。22得cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。解法二：由得由得得點評：此題是給出單角的三角函數多項式，求復角的正弦值，易犯錯誤是借助等式組解sin、cos、sin、cos，但未知數有四個，即便前景并不豁達，其錯誤的緣由在于沒有注意到所求式與已知式的關系本題關鍵在于化和為積促轉化，“整體對應”巧應用。例2已知求。剖析：由韋達定律可得到因而可以求出的值，再將所求值的三角
5、函數式用tan表示便可知其值。解法一：由韋達定律得tan，所以tan解法二：由韋達定律得tan，所以tan，。點評：（1）本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來始于熟練地把握知識的系統結構，進而找尋解答本題的知識“最近發展區”。（2）運用兩角和與差角三角函數公式的關鍵是熟記公式，我們除了要記住公式，更重要的是緊抓公式的特點，如角的關系，次數關系，三角函數名等抓住公式的結構特點對提升記憶公式的效率起到至關重要的作用，并且捉住了公式的結構特點，有利于在解題時觀察剖析題設和推論等三角函數式中所具有的相像性的結構特點，聯想到相應的公式，因而找到解題的切入點。（3）對公式的逆用公式，變型式也要熟悉，如題型
6、2：二倍角公式例3通分下述各色：（1），（2）。剖析：（1）若注意到通分式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；（2）因為分子是一個平方差，分母中的角，若注意到這兩大特點，不難得到解題的切入點。解析：（1）由于，又因，所以，原式=。（2）原式==。點評：（1）在二倍角公式中，兩個角的倍數關系，除了限于2是的二倍，要熟悉多種方式的兩個角的倍數關系，同時還要注意三個角的內在聯系的作用，是常用的三角變換。（2）通分題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的通分方法。（3）公式變型，。例4若。剖析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。解法一：
7、由，解法二：，點評：此題若將的右側展開成再求cosx，sinx的值，就很冗長，把，并注意角的變換2運用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡所以在解答有條件限制的求值問題時，要擅于發覺所求的三角函數的角與已知條件的角的聯系，通常方式是拼角與拆角，如，等。題型3：輔助角公式例5已知正實數a,b滿足。剖析：從多項式的觀點考慮，假如給方程右邊的分子、分母同時乘以a，則已知方程可化為關于程，因而可求出由，若注意到方程右邊的分子、分母都具有的結構，可考慮引入輔助角求解。解法一：由題設得解法二：解法三：點評：以上解法中，技巧一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過模式聯想，引入輔助角，方法性較強
8、，但輔助角公式，或在歷年中考中使用頻度是相當高的，應加以關注；解法三利用了換元法，但實質上是綜合了解法一和解法二的解法優點，所以解法三最佳。例6已知函數，xR.（1）當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數的圖像可由ysinx（xR）的圖像經過如何的平移和伸縮變換得到?（理）（1）解析：（）（）（）sin（2x）y取得最大值必須且只需2x2k，kZ，即xk，kZ。所以當函數y取得最大值時，自變量x的集合為x|xk，kZ。（2）將函數ysi
9、nx依次進行如下變換：把函數ysinx的圖像向左平移，得到函數ysin（x）的圖像；把得到的圖像上各點橫座標減短到原先的倍（縱座標不變），得到函數ysin（2x）的圖像；把得到的圖像上各點縱座標減短到原先的倍（橫座標不變），得到函數ysin（2x）的圖像；把得到的圖像向下平移個單位寬度，得到函數ysin（2x）的圖像；綜上得到函數的圖像。點評：本題主要考查三角函數的圖像和性質，考查借助三角公式進行恒等變型的技能以及運算能力。題型4：三角函數式通分例7求50的值。解析：原式（）（）（
10、0）1（）。點評：本題考查三角恒方程和運算能力。例8已知函數.（）求的定義域；（）設的第四靈限的角，且，求的值。解析：（）由得，故在定義域為（）由于，且是第四靈限的角,所以a故。題型5：三角函數求值例9設函數f(x)=++a(其中0,aR),且f(x)的圖像在y軸右邊的第一個低點的橫座標為。（）求的值；（）假如f(x)在區間上的最小值為，求a的值。解析：（I）依題意得（II）由（I）知，。又當時，故，因而在區間上的最小值為，故例10求函數2的值域和最小正周期。解析：y
11、=cos(x+)cos(x)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)，函數y=cos(x+)cos(x)+sin2x的值域是2,2,最小正周期是。題型6：三角函數綜合問題例11已知向量（I）若求（II）求的最大值。解析：（1）；當=1時有最大值,此時，最大值為。點評：本題主要考察以下知識點：1、向量垂直轉化為數目積為0；2，特殊角的三角函數值；3、三角函數的基本關系以及三角函數的有界性；4.已知向量的座標表示求模，難度中等，估算量不大。例12設0，曲線x2sin+y2cos=1和=1有4個不同的交點。（1）求的取值范圍；（2）證明這4個交點共圓，并求圓半
12、徑的取值范圍。解析：（1）解多項式組，得；故兩條已知曲線有四個不同的交點的充要條件為，（0）0。（2）設四個交點的座標為（xi，yi）（i=1，2，3，4），則：xi2+yi2=2cos（，2）（i=1，2，3，4）。故四個交點共圓，而且這個圓的直徑r=cos（）.點評：本題重視考查應用解多項式組法處理曲線交點問題，這也是曲線與多項式的基本技巧，同時本題也突出了對三角不等關系的考查。題型7：三角函數的應用例13有一塊扇形鐵板，直徑為R，圓心角為60，從這個扇形中切割下一個內接圓形，即圓形的各個頂點都在扇形的直徑或弧上，求這個內接圓形的最大面積剖析：本題入手要解決好兩個問題，（1）內接圓形的放置有兩種
13、情況，如圖2-19所示，應當分別給以處理；（2）求最大值問題這兒應構造函數，如何選擇以便借以抒發方形面積的自變量。解析：如圖2-19(1)設FOA=，則，。又設圓形EFGH的面積為S極化恒等式在高考中的應用，這么又060，故當cos(260)1，即=30時，如圖2-19(2)，設FOA，則(30)，在OFG中，設圓形的面積為S這么(30-)(230)cos30又030，故當cos(230)1。五思維總結從近些年中考的考查方向來看，這部份經常以選擇題和填空題的方式出現，有時也以大題的方式出現，分值約占5%因而能夠把握好本重點內容，在一定的程度
14、上阻礙著在中考中成功與否。1兩角和與兩角差的余弦、余弦、正切公式，二倍角的余弦、余弦、正切公式在學習時應注意以下幾點：（1）除了對公式的正用逆用要熟悉，并且對公式的變型應用也要熟悉；（2）擅于拆角、拼角如，等；（3）注意倍角的相對性（4）要時時注意角的范圍（5）通分要求熟悉常用的技巧與方法，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。2證明三角方程的思路和技巧。（1）思路：借助三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使方程兩側化為同一方式。（2）證明三角不方程的方式：比較法、配方式、反證法、分析法，借助函數的單調性，借助正、余弦函數的有界性，借助單位圓三角函數線及判斷法等。3解答三角中考題的策略。（1）
15、發現差別：觀察角、函數運算間的差別，即進行所謂的“差異剖析”。（2）找尋聯系：運用相關公式，找出差別之間的內在聯系。（3）合理轉化：選擇恰當的公式，使得差別的轉化。4強化三角函數應用意識的訓練因為考生對三角函數的概念認識做作，不能將以角為自變量的函數迅速與三角函數之間構建聯系，導致思維障礙，思路遇阻.實際上，三角函數是以角為自變量的函數，也是以實數為自變量的函數，它形成于生產實踐，是客觀實際的具象，同時又廣泛地應用于客觀實際，故應培養實踐第一的觀點.反正，三角部份的考查保持了內容穩定，難度穩定，題量穩定，題型穩定，考查的重點是三角函數的概念、性質和圖像，三角函數的求值問題以及三角變換的方式。5變為主線、抓好訓練變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數名的變換，三角函數次數的變換，三角函數式抒發方式的變換等比比皆是，在訓練中，加強變意識是關鍵，但題目不可太難，較特殊方法的題目不做，立足課本，把握課本中常見問題的解法，把課本中習題進行歸類，并進行剖析比較，找尋解題規律。針對中考中題目看極化恒等式在高考中的應用，還要加強變角訓練，常常注意搜集角間關系的觀察剖析方式.另外怎樣把一個富含不同名或不同角的三角函數式化為只富含一個三角函數關系式的訓練也要加大，這也是中考的重點.同時應把握三角函數與二次函數相結合的題目。
