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[!--downpath--]1、2013年普通中考數(shù)學(xué)科一輪備考精品教案第24講三角恒等變型及應(yīng)用一課標(biāo)要求：1經(jīng)歷用向量的數(shù)目積推導(dǎo)入兩角差的正弦公式的過程，進(jìn)一步感受向量方式的作用；2能從兩角差的正弦公式導(dǎo)入兩角和與差的余弦、余弦、正切公式，二倍角的余弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；3能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括引導(dǎo)導(dǎo)入積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。二命題邁向從近幾年的中考考察的方向來看，這部份的中考題以選擇、解答題出現(xiàn)的機(jī)會(huì)較多，有時(shí)侯也以填空題的方式出現(xiàn)，它們常常與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形及向量聯(lián)合考察，主要題型有三角函數(shù)求值，通過三角式的變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)。本講內(nèi)容是中考備考
2、的重點(diǎn)之一，三角函數(shù)的通分、求值及三角恒方程的證明是三角變換的基本問題。歷年中考中，在考察三角公式的把握和運(yùn)用的同時(shí)，還著重考察思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運(yùn)算及觀察能力、運(yùn)算推理能力和綜合剖析能力。三要點(diǎn)精講1兩角和與差的三角函數(shù)；。2二倍角公式；。3三角函數(shù)式的通分常用方式：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；切割化弦，異名化同名，異角化同角；三角公式的逆用等。（2）通分要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降冪公式；。（2）輔助角公式，。4三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：通常所給出的角都是非特殊角
3、，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，借助三角變換消掉非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出個(gè)別角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的多項(xiàng)式表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。5三角方程的證明（1）三角恒方程的證題思路是按照方程兩端的特點(diǎn)，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方式，使方程兩端化“異”為“同”；（2）三角條件方程的證題思路是通過觀察，發(fā)覺已知條件和待證方程間的關(guān)系，采用代入法、消參法或剖析法進(jìn)行證明
4、。四典例解析題型1：兩角和與差的三角函數(shù)例1已知，求cos。剖析：由于既可看成是看作是的倍角，因此可得到下邊的兩種解法。解法一：由已知sin+sin=1，cos+cos=0，22得2+2cos；cos。22得cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。解法二：由得由得得點(diǎn)評(píng)：此題是給出單角的三角函數(shù)多項(xiàng)式，求復(fù)角的正弦值，易犯錯(cuò)誤是借助等式組解sin、cos、sin、cos，但未知數(shù)有四個(gè)，即便前景并不豁達(dá)，其錯(cuò)誤的緣由在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化，“整體對(duì)應(yīng)”巧應(yīng)用。例2已知求。剖析：由韋達(dá)定律可得到因而可以求出的值，再將所求值的三角
5、函數(shù)式用tan表示便可知其值。解法一：由韋達(dá)定律得tan，所以tan解法二：由韋達(dá)定律得tan，所以tan，。點(diǎn)評(píng)：（1）本例解法二比解法一要簡(jiǎn)捷，好的解法來始于熟練地把握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而找尋解答本題的知識(shí)“最近發(fā)展區(qū)”。（2）運(yùn)用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們除了要記住公式，更重要的是緊抓公式的特點(diǎn)，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)對(duì)提升記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，并且捉住了公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有利于在解題時(shí)觀察剖析題設(shè)和推論等三角函數(shù)式中所具有的相像性的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，因而找到解題的切入點(diǎn)。（3）對(duì)公式的逆用公式，變型式也要熟悉，如題型
6、2：二倍角公式例3通分下述各色：（1），（2）。剖析：（1）若注意到通分式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；（2）因?yàn)榉肿邮且粋€(gè)平方差，分母中的角，若注意到這兩大特點(diǎn)，不難得到解題的切入點(diǎn)。解析：（1）由于，又因，所以，原式=。（2）原式==。點(diǎn)評(píng)：（1）在二倍角公式中，兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，除了限于2是的二倍，要熟悉多種方式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，同時(shí)還要注意三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。（2）通分題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點(diǎn)，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的通分方法。（3）公式變型，。例4若。剖析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。解法一：
7、由，解法二：，點(diǎn)評(píng)：此題若將的右側(cè)展開成再求cosx，sinx的值，就很冗長(zhǎng)，把，并注意角的變換2運(yùn)用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡(jiǎn)所以在解答有條件限制的求值問題時(shí)，要擅于發(fā)覺所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，通常方式是拼角與拆角，如，等。題型3：輔助角公式例5已知正實(shí)數(shù)a,b滿足。剖析：從多項(xiàng)式的觀點(diǎn)考慮，假如給方程右邊的分子、分母同時(shí)乘以a，則已知方程可化為關(guān)于程，因而可求出由，若注意到方程右邊的分子、分母都具有的結(jié)構(gòu)，可考慮引入輔助角求解。解法一：由題設(shè)得解法二：解法三：點(diǎn)評(píng)：以上解法中，技巧一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過模式聯(lián)想，引入輔助角，方法性較強(qiáng)
8、，但輔助角公式，或在歷年中考中使用頻度是相當(dāng)高的，應(yīng)加以關(guān)注；解法三利用了換元法，但實(shí)質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點(diǎn)，所以解法三最佳。例6已知函數(shù)，xR.（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由ysinx（xR）的圖像經(jīng)過如何的平移和伸縮變換得到?（理）（1）解析：（）（）（）sin（2x）y取得最大值必須且只需2x2k，kZ，即xk，kZ。所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，自變量x的集合為x|xk，kZ。（2）將函數(shù)ysi
9、nx依次進(jìn)行如下變換：把函數(shù)ysinx的圖像向左平移，得到函數(shù)ysin（x）的圖像；把得到的圖像上各點(diǎn)橫座標(biāo)減短到原先的倍（縱座標(biāo)不變），得到函數(shù)ysin（2x）的圖像；把得到的圖像上各點(diǎn)縱座標(biāo)減短到原先的倍（橫座標(biāo)不變），得到函數(shù)ysin（2x）的圖像；把得到的圖像向下平移個(gè)單位寬度，得到函數(shù)ysin（2x）的圖像；綜上得到函數(shù)的圖像。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查借助三角公式進(jìn)行恒等變型的技能以及運(yùn)算能力。題型4：三角函數(shù)式通分例7求50的值。解析：原式（）（）（
10、0）1（）。點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒方程和運(yùn)算能力。例8已知函數(shù).（）求的定義域；（）設(shè)的第四靈限的角，且，求的值。解析：（）由得，故在定義域?yàn)椋ǎ┯捎冢沂堑谒撵`限的角,所以a故。題型5：三角函數(shù)求值例9設(shè)函數(shù)f(x)=++a(其中0,aR),且f(x)的圖像在y軸右邊的第一個(gè)低點(diǎn)的橫座標(biāo)為。（）求的值；（）假如f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值。解析：（I）依題意得（II）由（I）知，。又當(dāng)時(shí)，故，因而在區(qū)間上的最小值為，故例10求函數(shù)2的值域和最小正周期。解析：y
11、=cos(x+)cos(x)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)，函數(shù)y=cos(x+)cos(x)+sin2x的值域是2,2,最小正周期是。題型6：三角函數(shù)綜合問題例11已知向量（I）若求（II）求的最大值。解析：（1）；當(dāng)=1時(shí)有最大值,此時(shí)，最大值為。點(diǎn)評(píng)：本題主要考察以下知識(shí)點(diǎn)：1、向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)目積為0；2，特殊角的三角函數(shù)值；3、三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性；4.已知向量的座標(biāo)表示求模，難度中等，估算量不大。例12設(shè)0，曲線x2sin+y2cos=1和=1有4個(gè)不同的交點(diǎn)。（1）求的取值范圍；（2）證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓，并求圓半
12、徑的取值范圍。解析：（1）解多項(xiàng)式組，得；故兩條已知曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件為，（0）0。（2）設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的座標(biāo)為（xi，yi）（i=1，2，3，4），則：xi2+yi2=2cos（，2）（i=1，2，3，4）。故四個(gè)交點(diǎn)共圓，而且這個(gè)圓的直徑r=cos（）.點(diǎn)評(píng)：本題重視考查應(yīng)用解多項(xiàng)式組法處理曲線交點(diǎn)問題，這也是曲線與多項(xiàng)式的基本技巧，同時(shí)本題也突出了對(duì)三角不等關(guān)系的考查。題型7：三角函數(shù)的應(yīng)用例13有一塊扇形鐵板，直徑為R，圓心角為60，從這個(gè)扇形中切割下一個(gè)內(nèi)接圓形，即圓形的各個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的直徑或弧上，求這個(gè)內(nèi)接圓形的最大面積剖析：本題入手要解決好兩個(gè)問題，（1）內(nèi)接圓形的放置有兩種
13、情況，如圖2-19所示，應(yīng)當(dāng)分別給以處理；（2）求最大值問題這兒應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，如何選擇以便借以抒發(fā)方形面積的自變量。解析：如圖2-19(1)設(shè)FOA=，則，。又設(shè)圓形EFGH的面積為S極化恒等式在高考中的應(yīng)用，這么又060，故當(dāng)cos(260)1，即=30時(shí)，如圖2-19(2)，設(shè)FOA，則(30)，在OFG中，設(shè)圓形的面積為S這么(30-)(230)cos30又030，故當(dāng)cos(230)1。五思維總結(jié)從近些年中考的考查方向來看，這部份經(jīng)常以選擇題和填空題的方式出現(xiàn)，有時(shí)也以大題的方式出現(xiàn)，分值約占5%因而能夠把握好本重點(diǎn)內(nèi)容，在一定的程度
14、上阻礙著在中考中成功與否。1兩角和與兩角差的余弦、余弦、正切公式，二倍角的余弦、余弦、正切公式在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）除了對(duì)公式的正用逆用要熟悉，并且對(duì)公式的變型應(yīng)用也要熟悉；（2）擅于拆角、拼角如，等；（3）注意倍角的相對(duì)性（4）要時(shí)時(shí)注意角的范圍（5）通分要求熟悉常用的技巧與方法，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。2證明三角方程的思路和技巧。（1）思路：借助三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使方程兩側(cè)化為同一方式。（2）證明三角不方程的方式：比較法、配方式、反證法、分析法，借助函數(shù)的單調(diào)性，借助正、余弦函數(shù)的有界性，借助單位圓三角函數(shù)線及判斷法等。3解答三角中考題的策略。（1）
15、發(fā)現(xiàn)差別：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差別，即進(jìn)行所謂的“差異剖析”。（2）找尋聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差別之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑沟貌顒e的轉(zhuǎn)化。4強(qiáng)化三角函數(shù)應(yīng)用意識(shí)的訓(xùn)練因?yàn)榭忌鷮?duì)三角函數(shù)的概念認(rèn)識(shí)做作，不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間構(gòu)建聯(lián)系，導(dǎo)致思維障礙，思路遇阻.實(shí)際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，它形成于生產(chǎn)實(shí)踐，是客觀實(shí)際的具象，同時(shí)又廣泛地應(yīng)用于客觀實(shí)際，故應(yīng)培養(yǎng)實(shí)踐第一的觀點(diǎn).反正，三角部份的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點(diǎn)是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖像，三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方式。5變?yōu)橹骶€、抓好訓(xùn)練變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式抒發(fā)方式的變換等比比皆是，在訓(xùn)練中，加強(qiáng)變意識(shí)是關(guān)鍵，但題目不可太難，較特殊方法的題目不做，立足課本，把握課本中常見問題的解法，把課本中習(xí)題進(jìn)行歸類，并進(jìn)行剖析比較，找尋解題規(guī)律。針對(duì)中考中題目看極化恒等式在高考中的應(yīng)用，還要加強(qiáng)變角訓(xùn)練，常常注意搜集角間關(guān)系的觀察剖析方式.另外怎樣把一個(gè)富含不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只富含一個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式的訓(xùn)練也要加大，這也是中考的重點(diǎn).同時(shí)應(yīng)把握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的題目。