1、第六節簡單的三角恒等變換,五年6考中考指數:能運用兩角和與差的余弦、余弦、正切公式以及二倍角的余弦、余弦和余弦公式進行簡單的恒等變換(包括導入積化和差、和差化積、半角公式,但對這三組公式不要求記憶).,1.借助公式變換,進行三角函數式的通分是中考考查的熱點.2.常與實際應用問題、函數等結合命題.3.中考主要以解答題的方式進行考查.,1.全角公式,【即時應用】(1)思索：你能用sin、cos表示嗎？提示：,(2)判定下述公式及其變型是否正確(請在括弧中填寫“”或“”)()()()【解析】根據公式可知根號下分子上應當是“+”，故錯;等號左邊分子上應當是“-”，故錯；等HGi物理好資源網(原物理ok網)

2、號左側分子上應當是“-”，可以通分驗證，故錯.答案：,(3)填空：-=_.-1=_.【解析】-=cos30=-1=-cos30=答案：,2.形如asinx+bcosx的多項式的通分asinx+bcosx=_sin(x+)(其中),【即時應用】(1)把下述三角函數式化成的方式sin+=_;sin+cos=_;5sin+12cos=_.(2)估算：=_.,【解析】(1)sin+cos=5sin+12cos=(其中).(2)原式,答案：(1)(2),三角函數式的求值【方法點睛】HGi物理好資源網(原物理ok網)

3、三角函數式求值的類型和思路(1)三角函數式求值的類型三角函數式求值分為直接求值和條件求值,直接求值就是直接按照所給的三角函數式選擇恰當的公式通分變型求得三角函數式的值.,條件求值是要依照條件選擇合適的公式進行三角恒等變換求得所須要的值，同時注意所給角的范圍.(2)條件求值的通常思路先通分所求多項式或所給條件;觀察已知條件與所求多項式之間的聯系(從三角函數名及角入手);將已知條件代入所求多項式,通分求值.,【例1】求下述三角函數式的值(1)sin50(1+)=_.(2)若則=_.(3)已知tan(+)=2,則=_.【解題手冊】(1)把切函數換成弦函數再用公式化HGi物理好資源網(原物理ok網)

4、簡求值，重在公式的逆用；(2)借助兩角和、差的正弦公式展開求,，相除得結果；(3)按照已知條件求出tan，把所給的三角函數式變型，代入tan即可.,【規范解答】(1)原式=(2)cos(+)=-=cos(-)=+=,由解得則(3)由得于是答案：(1)1(2)(3),【互動探究】把本例(2)中的“cos(+)=cos(-)=”改為“sin(+)=sin(-)=”,怎么求？【解析】因為sin(+)=+=sin(-)=-=兩式相減得sincoHGi物理好資源網(原物理ok網)

5、s=兩式相加得=即得,【反思感受】三角函數式求值問題的注意點(1)三角函數式求值時一定要確切地應用公式和選擇恰當的思路極化恒等式在高考中的應用，否則會使求值過程冗長.(2)條件求值要求確切借助所給的條件，在此可能涉及到多項式的變型和角的變換，同時要注意所給角的范圍.,【變式備選】已知求cos(2+)的值.【解析】=(cos2-sin2),又cos(+)=0,故可知,因而cos2=sin(2+)==sin2=-cos(2+)=1-2cos2(+)=cos(2+)=(cos2-sin2)=,三角函數式的通分【方法點睛】三角函數式通分的原則、要求及技巧(1)三角HGi物理好資源網(原物理ok網)

6、函數式的通分原則:一是統一角，二是統一函數名.能求值的求值，必要時切化弦，更易通分、約分.(2),三角函數式化簡的要求,能求出值的應求出值；盡量使三角函數種數最少；盡量使項數最少；盡量使分母不含三角函數；盡量使被開方數不含三角函數.,(3)三角函數式通分的方式主要是弦切互化，異名化同名，異角化同角.【提醒】同角三角函數關系式和誘導公式在通分中常常應用，非常是“1”的代換常常用到.,【例2】化簡(,2).【解題手冊】利用三角函數的倍角公式湊根號下為完全平方法，化無理式為有理式，但要注意的范圍.,【規范解答】2(1+cos)=原式=(,2),當即時極化恒等式在高考中的應用，原式=,當HGi物理好資源網(原物理ok網)

7、即時，原式(其中),原式=,【反思感受】本題借助了“1”的逆代方法，即化1為是欲擒故縱原則.通常地有,【變式訓練】化簡【解析】原式=,【變式備選】化簡：【解析】方法一:原式=,方式二：原式=,三角恒方程的證明【方法點睛】三角恒方程證明的方式及切入點(1)證明恒方程的方式：從左到右；從右到左；從兩側化到同一多項式.原則上是化繁為簡，必要時也可用剖析法.(2)三角恒方程證明的切入點：看角：剖析角的差別,去除差別,向結果中的角轉化;看函數:統一函數,向結果中的函數轉化.,【例3】證明：(1)(2)【解題手冊】(1)從等號的左側開始證明先弄成相同的角，再借助公式推HGi物理好資源網(原物理ok網)

8、導；(2)從等號的右側證明，主要是借助同角三角函數關系式，注意“1”的代換.,【規范解答】(1)右邊==sin(-2x)=cos2x=右側，原題得證.(2)右邊===一側，原題得證.,【互動探究】把本例(2)中等號左側改為“”,左邊不變，試證明.【證明】左邊==右側.所以原方程創立.,【反思感受】1.三角函數式的通分與證明的類型及思路(1)對三角的和式，基本思路是降冪、消項和逆用公式；(2)對三角的多項式，基本思路是分子與分母通分和逆用公式，最終弄成多項式或數值；(3)對二次根式，則須要運用倍角公式的變型方式.2.通分與證明的過程中彰顯了化歸的思想，是一個“化異為HGi物理好資源網(原物理ok網)

9、同”的過程，涉及切弦互化，即“函數名”的“化同”；角的變換，即“單角化倍角”、“單角化復角”，“復角化單角”、“復角化復角”等具體手段.,【變式備選】若tan2=2tan2+1，求證：sin2=2sin2-1.【證明】由已知得即即即sin2-=sin2+1-sin2-.sin2=2sin2-1，即方程創立.,的應用【方法點睛】三角函數性質的討論(1)三角函數性質的討論，可通過變型為asin+bcos=(其中)的方式去討論.這樣的變型，主要是角的確定.(2)通過恒等變型，可以將較為復雜的函數方式轉化為較為簡約的函數方式，有利于更好地討論HGi物理好資源網(原物理ok網)

10、三角函數的性質，但要注意是恒等變型，由于在個別情形下，變型會造成定義域的變化，進而影響函數的值域和周期等性質.,【提醒】該公式是逆用兩角和的余弦公式得到的.當為特殊角即的值為1或時要熟練把握.對是非特殊角時,只要求會求最值即可.,【例4】已知函數(0)的最小正周期為.(1)求的值;(2)求函數f(x)在區間上的取值范圍.【解題手冊】先借助三角恒等變換把f(x)化成f(x)=Asin(x+)+b的方式，求周期得到,再討論三角函數的性質.,【規范解答】(1)f(x)=由于函數f(x)的最小正周期為,且0，所以解得=1.(2)由(1)得f(x)=由于所以,所以由于HGi物理好資源網(原物理ok網)

11、所以f(x)在區間上的取值范圍為,【反思感受】此題第(1)問主要是要求正確的恒等變型，第(2)問要注意這樣的范圍能夠具體求出，再求f(x)的取值范圍.,【變式訓練】已知函數(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)求函數f(x)在上的值域.【解析】(1)f(x)的最小正周期,(2)所以f(x)在上的值域為,【滿分指導】三角函數性質綜合題的規范解答【典例】(12分)(2011成都中考)已知函數f(x)=sin(x+xR.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)已知0求證：f()2-2=0.,【解題手冊】(1)把f(x)化成的方式；(2)借助兩角和與HGi物理好資源網(原物理ok網)

12、差的正弦公式展開，兩式相減可得=0，結合可得因而問題得證.【規范解答】(1)3分f(x)的最小正周期T=2，f(x)的最小值為-2.5分,(2)由已知得+=-=兩式相減得=0.8分0f()2-2=12分,【閱卷人點撥】通過中考中的閱卷數據剖析與總結，我們可以得到以下失分警示和復習建議：,1.(2011大綱版全省卷)已知則tan2=_.【解析】由得答案：,2.(2011上海中考)已知sin=+cos,且(0,),則的值為_.【解析】由題意知sin-cos=兩側平方可得所HGi物理好資源網(原物理ok網)

13、以(sin+cos)2=1+sin2=又(0,),所以sin+cos=,答案：,3.(2011安徽中考)設函數f()=sin+cos，其中，角的頂點與座標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點P(x，y)，且0.(1)若點P的座標為求f()的值；(2)若點P(x，y)為平面區域：上的一個動點，試確定角的取值范圍，并求函數f()的最小值和最大值.,【解析】(1)由點P的座標和三角函數的定義可得于是f()=(2)做出平面區域(即陰影部份)如圖所示，其中A(1，0)，B(1，1)，C(0，1).,于是0又f()=sin+cos=2sin(+)，且故當即=時，f()取得最大值，且最大值等于2；當即=0時，f()取得最小值，且最小值等于1.,HGi物理好資源網(原物理ok網)