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[!--downpath--]?1直線運動11種典型案例剖析直線運動是小學數學的重要章節，是整個數學學的基礎內容之一。本章涉及位移、速度、加速度等多個數學量，基本公式也較多，同時還有描述運動規律的s-t圖像、v-t圖像等知識。案例1：位移和路程的區別和聯系位移是表示質點位置變化的化學量，它是由質點運動的起始位置指向中止位置的矢量。位移可以用一根帶箭頭的線段表示，箭頭的指向代表位移的方向，線段的長短代表位移的大小。而路程是質點運動路線的寬度，是標量。只有做直線運動的質點一直朝著一個方向運動時，位移的大小才與運動路程相等。例1、一個電子在勻強磁場中沿直徑為R的圓周運動。轉了3圈回到原位置，運動過程中位移的最大值和路程的最大值分別是：A．2R，2R；B．2R，6πR；C．2πR，2R；D．0，6πR。答案:B案例2.瞬時速率和平均速率的區別和聯系瞬時速率是運動物體在某一時刻或某一位置的速率，而平均速率是指運動物體在某一段時間t?或某段位移x?的平均速率，它們都是矢量。當0??t時，平均速率的極限，就是該時刻的瞬時速率。例2、甲、乙兩輛車輛沿平直道路從某市同時開往同一目標，甲車在前一半時間內以速率v1做勻速直線運動，后一半時間內以速率v2做勻速直線運動；乙車在前一半路程中以速率v1做勻速直線運動，后一半路程中以速率v2做勻速直線運動，則（）。
A．甲先抵達；B.乙先抵達；C.甲、乙同時抵達；D.不能確定。答案:B案例3.速率、速度的變化和加速度的區別和聯系。加速度是描述速率變化的快慢和方向的化學量，是速率的變化和所用時間的比值，加速度a的定義式是矢量式。加速度的大小和方向與速率的大小和方向沒有必然的聯系。只要速率在變化，無論速率多小，都有加速度；只要速率不變化，無論速率多大，加速度總是零；只要速率變化快，無論速率是大、是小或是零，物體的加速度就大。加速度的與速率的變化Δv也無直接關系。物體有了加速度，經過一段時間速率有一定的變化，因而速率的變化Δv是一個過程量，加速度大，速率的變化Δv不一定大；反過來，Δv大，加速度也不一定大。例3、關于加速度，以下說法中正確的是（）A.運動物體的速率非常大，其加速度也一定大B.運動物體的速率十分小，其加速度也一定小C.物體的速率很大，但加速度可能為零2D.物體的速率為零，但加速度可能很大答案：Ｃ、Ｄ案例4.勻變速直線運動公式的矢量性對勻變速直線運動的四個公式,要非常注意公式的矢量性.一般規定初速率方向為正方向,凡與初速率方向反向的矢量,一定要注意數值上面加“-”號.例4.一物體作勻變速直線運動,某時刻速率的大小為4m/s,1s后速率的大小變為10m/s.在這1s內該物體的().(A)位移的大小可能大于4m(B)位移的大小可能小于10m(C)加速度的大小可能大于4m/s2(D)加速度的大小可能小于10m/s2.答案為A、D。
案例5.勻變速直線運動中各個公式的區別和聯系加速度a不變的變速直線運動是勻變速直線運動，是學校階段主要研究的一種運動。但勻變速直線運動的公式較多，不少朋友覺得到不易記住。雖然只要弄清各個公式的區別和聯系，記憶是不困難的。四個公式:vt=v0+at(無s)??(無vt)??(無t)??(無a)一個特點：2aTS??，化學意義是做勻變速直線運動的物體在相鄰相等時間間隔內位移差相等二個中點公式：⑴時間中點???加速度無t公式，⑵位移中點??中點三個等時比列式：對于初速率為零的勻加速直線運動⑴s1：s2：s3……=1:4:9……，⑵sⅠ：sⅡ：sⅢ……=1:3:5……,⑶v1:v2:v3……=1:2:3……；兩個等比列式：對于初速率為零的勻加速直線運動有，⑴等位移之內的時間之比：????：：：：：：?ttt⑵等時間之內的位移之比：)23(:)12(:1::321????????ttt例5、.一車輛在平直的道路上以020/vms?做勻速直線運動，制動后，車輛以大小為2/4sma?的加速度做勻減速直線運動，這么制動后經8s車輛通過的位移有多大？3答案:50m練習、物體沿仍然線運動，在t時間內通過的路程為s，它在中間位置12s處的速率為v1，在中間時刻t21時的速率為v2，則v1和v2的關系為（）A．當物體作勻加速直線運動時，v1＞v2;B.當物體作勻減速直線運動時，v1＞v2;C．當物體作勻速直線運動時，v1=v2;D.當物體作勻減速直線運動時，v1＜v2。
答案：A、B、C。例7、一個質量為m的物塊由靜止開始沿斜面下降，拍攝此下降過程得到的同步閃光（即第一次閃光時物塊剛好開始下降）相片如圖1所示．已知閃光頻度為每秒10次，按照相片測得物塊相鄰兩位置之間的距離分別為AB＝2.40cm，BC＝7.30cm，CD＝12.20cm，DE＝17.10cm．由此可知，物塊經過D點時的速率大小為/s；滑塊運動的加速度為．（保留3位有效數字）答案：1.46m/s2.40m/s2案例6.位移圖像和速率圖像的區別和聯系運動圖像包括速率圖像和位移圖像，要能通過座標軸及圖像的形狀辨識各類圖像，曉得它們分別代表何種運動，如圖2中的A、B分別為v-t圖像和s-t圖像。其中：○1是勻速直線運動，○2是初速率為零的勻加速直線運動，○3是初速不為零的勻加速直線運動，○4是勻減速直線運動。朋友們要理解圖像所代表的化學意義加速度無t公式，注意速率圖像和位移圖像斜率的數學意義不同，s-t圖像的斜率為速率，而v-t圖像的斜率為加速度。例7、龜兔賽跑的故事留傳至今，根據龜兔賽跑的故事情節，狐貍和兔子的位移圖像如圖3所示，下述關于狐貍和兔子的運動正確的是A．烏龜和青蛙是同時從同一地點出發的B．青蛙仍然做勻加速運動，烏龜先加速后勻速再加速C．驕傲的狐貍在T4時刻發覺落后奮力追趕，但因為速率比兔子的速率小，還是讓青蛙先抵達預定位移s3D．在0～T5時間內，兔子的平均速率比狐貍的平均速率大答案：D4例8、兩輛完全相同的車輛,沿水平直路一前一后勻速行駛,速率均為v0,若前車忽然以恒定的加速度煞車,在它剛挪開時,后車原先車制動時的加速度開始制動.已知前車在制動過程中所行的距離為s,若要保證兩輛車在上述情況中不翻車,則兩車在勻速行駛時保持的距離起碼應為:(A)s(B)2s(C)3s(D)4s答案：B練習1、一個固定在水平面上的光滑物塊，其右側面是斜面AB，左側面是曲面AC,如圖5所示。
已知AB和AC的寬度相同。兩個小球p、q同時從A點分別沿AB和AC由靜止開始下降，比較它們抵達水平面所用的時間：A.p小球先到B.q小球先到C.兩小球同時到D.難以確定答案：B練習2、兩支完全相同的光滑直角彎頭(如圖7所示)現有兩只相同小球a和a/同時從管口由靜止滑下，問誰先從上端的出口掉出？(假定通過轉角處時無機械能損失)答案：a案例7.自由落體運動的特征自由落體運動是初速率為零、加速度為g的勻加速直線運動。例9、一個物體從塔頂上下落，在抵達地面前最后1s內通過的位移是整個位移的9/25，求塔高。（g取10m/s2）練習、如圖9所示，懸掛的直桿AB長為L1，在其下L2處，有一長為L3的無底圓筒CD，若將懸線割斷，則直桿穿過圓筒所用的時間為多少？答案：)(2???????圖圖9Vvaa’圖75案例8.豎直上拋運動的特征豎直上拋運動是勻變速直線運動，其上升階段為勻減速運動，下落階段為自由落體運動。它有如下特征：1.上升和增長（至落回原處）的兩個過程互為逆運動，具有對稱性。有下述推論：(1)速率對稱：上升和增長過程中質點經過同一位置的速率大小相等、方向相反。
（2）時間對稱：上升和增長經歷的時間相等。2.豎直上拋運動的特點量：（1）上升最大高度：sm=gV220.(2)上升最大高度和從最大高度點下落到拋出點兩過程所經歷的時間：gVtt0??下上.例13、氣球以10m/s的速率勻速豎直上升，從汽球上掉下一個物體，經17s抵達地面。求物體剛脫離汽球時汽球的高度。（g=10m/s2）答案：1275m例10、一跳水運動員從離海面10m高的平臺上向下躍起，舉右臂直體離開臺面，此時其重心坐落從手到腳全長的中心，躍起后重心下降0．45m達到最低點，溺水時身體豎直，手先入水（在此過程中運動員水平方向的運動忽視不計）。從離開高低杠到手觸海面，他可用于完成空中動作的時間是s。（估算時，可以把運動員看作全部質量集中在重心的一個質點。g取10m/s2，結果保留二位數字）答案：t=1.7s.案例9.追及和相遇問題的研究1、追及和相遇案例的特征追及和相遇案例是一類常見的運動學案例，從時間和空間的角度來講，相遇是指同一時刻抵達同一位置。可見，相遇的物體必然存在以下兩個關系：一是相遇位置與各物體的初始位置之間存在一定的位移關系。若同地出發，相遇時位移相等為空間條件。二是相遇物體的運動時間也存在一定的關系。
若物體同時出發，運動時間相等；若甲比乙早出發Δt，則運動時間關系為t甲=t乙+Δt。要使物體相遇就必須同時滿足位移關系和運動時間關系。2、追及和相遇案例的求解方式首先剖析各個物體的運動特性，產生清晰的運動圖景；再依照相遇位置構建物體間的位移關系等式；最后依照各物體的運動特性找出運動時間的關系。方式1：借助不方程求解。借助不方程求解，思路有二：其二是先求出在任意時刻t，6兩物體間的距離y=f(t),若對任何t，均存在y=f(t)0,則這兩個物體永遠不能相遇；若存在某個時刻t，致使y=f(t)0?,則這兩個物體可能相遇。其一是設在t時刻兩物體相遇，之后按照幾何關系列舉關于t的多項式f(t)=0,若多項式f(t)=0無正實數解，則說明這兩物體不可能相遇；若多項式f(t)=0存在正實數解，則說明這兩個物體可能相遇。技巧2：借助圖像法求解。借助圖像法求解，其思路是用位移圖像求解，分別做出兩個物體的位移圖像，假如兩個物體的位移圖像相交，則說明兩物體相遇。例11、火車以速度v1往前行駛，司機忽然發覺在前方同一軌道上距車為s處有另一輛火車，它正沿相同的方向以較小的速度v2作勻速運動，于是司機立刻使車作勻減速運動，加速度大小為a,要使兩車不致翻車，求出a應滿足關式。
剖析與解：設經過t時刻兩車相遇，則有???，整理得：2212()????要使兩車不致翻車，則上述等式無解，即()???????解得212()2vvaS??。例12、在地面上以初速率2v0豎直上拋一物體A后，又以初速v0同地點豎直上拋另一物體B，若要使兩物體能在空中相遇，則兩物體拋出的時間間隔t?必須滿足哪些條件？（不計空氣阻力）剖析與解：如按一般情況，可根據題意用運動學知識列多項式求解，這是比較麻煩的。如換換思路，根據s=v0t-gt2/2作s-t圖像，則可使解題過程大大簡化。如圖10所示，其實，兩條圖線的相交點表示A、B相遇時刻，縱座標對應位移sA=sB。由圖10可直接看出Δt滿足關系式???時，B可在空中相遇。案例10.極值問題和臨界問題的思索例13、如圖11所示，一平直的傳送帶以速率v=2m/s做勻速運動，傳送帶把A處的螺孔運送到B處，A、B相距L=10m。從A處把型腔無初速地放在傳送帶上，經過時間t=6s,能傳送到B處，欲用最短的時間把型腔從A處傳送到B處，求傳送帶的運行速率起碼多大？/g4V0/g6V0/gΔt圖10AB圖117例14、摩托車在平直道路上從靜止開始起動，a1=1.6m/s2,稍后勻速運動，之后減速，a2=6.4m/s2,直至停止，共耗時130s，行程1600m.試求：（1）摩托車行駛的最大速率vm.(2)若摩托車從靜止起動，a1、a2不變，直至停止，行程不變，所需最短時間為多少？答案：vm=12.8m/stmin=50s.案例11、聯系實際問題的研究例15、圖14（a）是在高速道路上用超聲波測速儀檢測時速的示意圖，測速儀發出并接收超聲波脈沖訊號，按照發出和接收到的時間差，測
