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[!--downpath--]?1直線運(yùn)動(dòng)11種典型案例剖析直線運(yùn)動(dòng)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要章節(jié)，是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一。本章涉及位移、速度、加速度等多個(gè)數(shù)學(xué)量，基本公式也較多，同時(shí)還有描述運(yùn)動(dòng)規(guī)律的s-t圖像、v-t圖像等知識(shí)。案例1：位移和路程的區(qū)別和聯(lián)系位移是表示質(zhì)點(diǎn)位置變化的化學(xué)量，它是由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起始位置指向中止位置的矢量。位移可以用一根帶箭頭的線段表示，箭頭的指向代表位移的方向，線段的長(zhǎng)短代表位移的大小。而路程是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線的寬度，是標(biāo)量。只有做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)一直朝著一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移的大小才與運(yùn)動(dòng)路程相等。例1、一個(gè)電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中沿直徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)了3圈回到原位置，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中位移的最大值和路程的最大值分別是：A．2R，2R；B．2R，6πR；C．2πR，2R；D．0，6πR。答案:B案例2.瞬時(shí)速率和平均速率的區(qū)別和聯(lián)系瞬時(shí)速率是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻或某一位置的速率，而平均速率是指運(yùn)動(dòng)物體在某一段時(shí)間t?或某段位移x?的平均速率，它們都是矢量。當(dāng)0??t時(shí)，平均速率的極限，就是該時(shí)刻的瞬時(shí)速率。例2、甲、乙兩輛車輛沿平直道路從某市同時(shí)開(kāi)往同一目標(biāo)，甲車在前一半時(shí)間內(nèi)以速率v1做勻速直線運(yùn)動(dòng)，后一半時(shí)間內(nèi)以速率v2做勻速直線運(yùn)動(dòng)；乙車在前一半路程中以速率v1做勻速直線運(yùn)動(dòng)，后一半路程中以速率v2做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則（）。
A．甲先抵達(dá)；B.乙先抵達(dá)；C.甲、乙同時(shí)抵達(dá)；D.不能確定。答案:B案例3.速率、速度的變化和加速度的區(qū)別和聯(lián)系。加速度是描述速率變化的快慢和方向的化學(xué)量，是速率的變化和所用時(shí)間的比值，加速度a的定義式是矢量式。加速度的大小和方向與速率的大小和方向沒(méi)有必然的聯(lián)系。只要速率在變化，無(wú)論速率多小，都有加速度；只要速率不變化，無(wú)論速率多大，加速度總是零；只要速率變化快，無(wú)論速率是大、是小或是零，物體的加速度就大。加速度的與速率的變化Δv也無(wú)直接關(guān)系。物體有了加速度，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間速率有一定的變化，因而速率的變化Δv是一個(gè)過(guò)程量，加速度大，速率的變化Δv不一定大；反過(guò)來(lái)，Δv大，加速度也不一定大。例3、關(guān)于加速度，以下說(shuō)法中正確的是（）A.運(yùn)動(dòng)物體的速率非常大，其加速度也一定大B.運(yùn)動(dòng)物體的速率十分小，其加速度也一定小C.物體的速率很大，但加速度可能為零2D.物體的速率為零，但加速度可能很大答案：Ｃ、Ｄ案例4.勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式的矢量性對(duì)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的四個(gè)公式,要非常注意公式的矢量性.一般規(guī)定初速率方向?yàn)檎较?凡與初速率方向反向的矢量,一定要注意數(shù)值上面加“-”號(hào).例4.一物體作勻變速直線運(yùn)動(dòng),某時(shí)刻速率的大小為4m/s,1s后速率的大小變?yōu)?0m/s.在這1s內(nèi)該物體的().(A)位移的大小可能大于4m(B)位移的大小可能小于10m(C)加速度的大小可能大于4m/s2(D)加速度的大小可能小于10m/s2.答案為A、D。
案例5.勻變速直線運(yùn)動(dòng)中各個(gè)公式的區(qū)別和聯(lián)系加速度a不變的變速直線運(yùn)動(dòng)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，是學(xué)校階段主要研究的一種運(yùn)動(dòng)。但勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式較多，不少朋友覺(jué)得到不易記住。雖然只要弄清各個(gè)公式的區(qū)別和聯(lián)系，記憶是不困難的。四個(gè)公式:vt=v0+at(無(wú)s)??(無(wú)vt)??(無(wú)t)??(無(wú)a)一個(gè)特點(diǎn)：2aTS??，化學(xué)意義是做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在相鄰相等時(shí)間間隔內(nèi)位移差相等二個(gè)中點(diǎn)公式：⑴時(shí)間中點(diǎn)???加速度無(wú)t公式，⑵位移中點(diǎn)??中點(diǎn)三個(gè)等時(shí)比列式：對(duì)于初速率為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)⑴s1：s2：s3……=1:4:9……，⑵sⅠ：sⅡ：sⅢ……=1:3:5……,⑶v1:v2:v3……=1:2:3……；兩個(gè)等比列式：對(duì)于初速率為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)有，⑴等位移之內(nèi)的時(shí)間之比：????：：：：：：?ttt⑵等時(shí)間之內(nèi)的位移之比：)23(:)12(:1::321????????ttt例5、.一車輛在平直的道路上以020/vms?做勻速直線運(yùn)動(dòng)，制動(dòng)后，車輛以大小為2/4sma?的加速度做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，這么制動(dòng)后經(jīng)8s車輛通過(guò)的位移有多大？3答案:50m練習(xí)、物體沿仍然線運(yùn)動(dòng)，在t時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程為s，它在中間位置12s處的速率為v1，在中間時(shí)刻t21時(shí)的速率為v2，則v1和v2的關(guān)系為（）A．當(dāng)物體作勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，v1＞v2;B.當(dāng)物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，v1＞v2;C．當(dāng)物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，v1=v2;D.當(dāng)物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，v1＜v2。
答案：A、B、C。例7、一個(gè)質(zhì)量為m的物塊由靜止開(kāi)始沿斜面下降，拍攝此下降過(guò)程得到的同步閃光（即第一次閃光時(shí)物塊剛好開(kāi)始下降）相片如圖1所示．已知閃光頻度為每秒10次，按照相片測(cè)得物塊相鄰兩位置之間的距離分別為AB＝2.40cm，BC＝7.30cm，CD＝12.20cm，DE＝17.10cm．由此可知，物塊經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速率大小為/s；滑塊運(yùn)動(dòng)的加速度為．（保留3位有效數(shù)字）答案：1.46m/s2.40m/s2案例6.位移圖像和速率圖像的區(qū)別和聯(lián)系運(yùn)動(dòng)圖像包括速率圖像和位移圖像，要能通過(guò)座標(biāo)軸及圖像的形狀辨識(shí)各類圖像，曉得它們分別代表何種運(yùn)動(dòng)，如圖2中的A、B分別為v-t圖像和s-t圖像。其中：○1是勻速直線運(yùn)動(dòng)，○2是初速率為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，○3是初速不為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，○4是勻減速直線運(yùn)動(dòng)。朋友們要理解圖像所代表的化學(xué)意義加速度無(wú)t公式，注意速率圖像和位移圖像斜率的數(shù)學(xué)意義不同，s-t圖像的斜率為速率，而v-t圖像的斜率為加速度。例7、龜兔賽跑的故事留傳至今，根據(jù)龜兔賽跑的故事情節(jié)，狐貍和兔子的位移圖像如圖3所示，下述關(guān)于狐貍和兔子的運(yùn)動(dòng)正確的是A．烏龜和青蛙是同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)的B．青蛙仍然做勻加速運(yùn)動(dòng)，烏龜先加速后勻速再加速C．驕傲的狐貍在T4時(shí)刻發(fā)覺(jué)落后奮力追趕，但因?yàn)樗俾时韧米拥乃俾市。€是讓青蛙先抵達(dá)預(yù)定位移s3D．在0～T5時(shí)間內(nèi)，兔子的平均速率比狐貍的平均速率大答案：D4例8、兩輛完全相同的車輛,沿水平直路一前一后勻速行駛,速率均為v0,若前車忽然以恒定的加速度煞車,在它剛挪開(kāi)時(shí),后車原先車制動(dòng)時(shí)的加速度開(kāi)始制動(dòng).已知前車在制動(dòng)過(guò)程中所行的距離為s,若要保證兩輛車在上述情況中不翻車,則兩車在勻速行駛時(shí)保持的距離起碼應(yīng)為:(A)s(B)2s(C)3s(D)4s答案：B練習(xí)1、一個(gè)固定在水平面上的光滑物塊，其右側(cè)面是斜面AB，左側(cè)面是曲面AC,如圖5所示。
已知AB和AC的寬度相同。兩個(gè)小球p、q同時(shí)從A點(diǎn)分別沿AB和AC由靜止開(kāi)始下降，比較它們抵達(dá)水平面所用的時(shí)間：A.p小球先到B.q小球先到C.兩小球同時(shí)到D.難以確定答案：B練習(xí)2、兩支完全相同的光滑直角彎頭(如圖7所示)現(xiàn)有兩只相同小球a和a/同時(shí)從管口由靜止滑下，問(wèn)誰(shuí)先從上端的出口掉出？(假定通過(guò)轉(zhuǎn)角處時(shí)無(wú)機(jī)械能損失)答案：a案例7.自由落體運(yùn)動(dòng)的特征自由落體運(yùn)動(dòng)是初速率為零、加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。例9、一個(gè)物體從塔頂上下落，在抵達(dá)地面前最后1s內(nèi)通過(guò)的位移是整個(gè)位移的9/25，求塔高。（g取10m/s2）練習(xí)、如圖9所示，懸掛的直桿AB長(zhǎng)為L(zhǎng)1，在其下L2處，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)3的無(wú)底圓筒CD，若將懸線割斷，則直桿穿過(guò)圓筒所用的時(shí)間為多少？答案：)(2???????圖圖9Vvaa’圖75案例8.豎直上拋運(yùn)動(dòng)的特征豎直上拋運(yùn)動(dòng)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，其上升階段為勻減速運(yùn)動(dòng)，下落階段為自由落體運(yùn)動(dòng)。它有如下特征：1.上升和增長(zhǎng)（至落回原處）的兩個(gè)過(guò)程互為逆運(yùn)動(dòng)，具有對(duì)稱性。有下述推論：(1)速率對(duì)稱：上升和增長(zhǎng)過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)同一位置的速率大小相等、方向相反。
（2）時(shí)間對(duì)稱：上升和增長(zhǎng)經(jīng)歷的時(shí)間相等。2.豎直上拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)量：（1）上升最大高度：sm=gV220.(2)上升最大高度和從最大高度點(diǎn)下落到拋出點(diǎn)兩過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間：gVtt0??下上.例13、氣球以10m/s的速率勻速豎直上升，從汽球上掉下一個(gè)物體，經(jīng)17s抵達(dá)地面。求物體剛脫離汽球時(shí)汽球的高度。（g=10m/s2）答案：1275m例10、一跳水運(yùn)動(dòng)員從離海面10m高的平臺(tái)上向下躍起，舉右臂直體離開(kāi)臺(tái)面，此時(shí)其重心坐落從手到腳全長(zhǎng)的中心，躍起后重心下降0．45m達(dá)到最低點(diǎn)，溺水時(shí)身體豎直，手先入水（在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)員水平方向的運(yùn)動(dòng)忽視不計(jì)）。從離開(kāi)高低杠到手觸海面，他可用于完成空中動(dòng)作的時(shí)間是s。（估算時(shí)，可以把運(yùn)動(dòng)員看作全部質(zhì)量集中在重心的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。g取10m/s2，結(jié)果保留二位數(shù)字）答案：t=1.7s.案例9.追及和相遇問(wèn)題的研究1、追及和相遇案例的特征追及和相遇案例是一類常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)案例，從時(shí)間和空間的角度來(lái)講，相遇是指同一時(shí)刻抵達(dá)同一位置。可見(jiàn)，相遇的物體必然存在以下兩個(gè)關(guān)系：一是相遇位置與各物體的初始位置之間存在一定的位移關(guān)系。若同地出發(fā)，相遇時(shí)位移相等為空間條件。二是相遇物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也存在一定的關(guān)系。
若物體同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等；若甲比乙早出發(fā)Δt，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為t甲=t乙+Δt。要使物體相遇就必須同時(shí)滿足位移關(guān)系和運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系。2、追及和相遇案例的求解方式首先剖析各個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)特性，產(chǎn)生清晰的運(yùn)動(dòng)圖景；再依照相遇位置構(gòu)建物體間的位移關(guān)系等式；最后依照各物體的運(yùn)動(dòng)特性找出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系。方式1：借助不方程求解。借助不方程求解，思路有二：其二是先求出在任意時(shí)刻t，6兩物體間的距離y=f(t),若對(duì)任何t，均存在y=f(t)0,則這兩個(gè)物體永遠(yuǎn)不能相遇；若存在某個(gè)時(shí)刻t，致使y=f(t)0?,則這兩個(gè)物體可能相遇。其一是設(shè)在t時(shí)刻兩物體相遇，之后按照幾何關(guān)系列舉關(guān)于t的多項(xiàng)式f(t)=0,若多項(xiàng)式f(t)=0無(wú)正實(shí)數(shù)解，則說(shuō)明這兩物體不可能相遇；若多項(xiàng)式f(t)=0存在正實(shí)數(shù)解，則說(shuō)明這兩個(gè)物體可能相遇。技巧2：借助圖像法求解。借助圖像法求解，其思路是用位移圖像求解，分別做出兩個(gè)物體的位移圖像，假如兩個(gè)物體的位移圖像相交，則說(shuō)明兩物體相遇。例11、火車以速度v1往前行駛，司機(jī)忽然發(fā)覺(jué)在前方同一軌道上距車為s處有另一輛火車，它正沿相同的方向以較小的速度v2作勻速運(yùn)動(dòng)，于是司機(jī)立刻使車作勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a,要使兩車不致翻車，求出a應(yīng)滿足關(guān)式。
剖析與解：設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)刻兩車相遇，則有???，整理得：2212()????要使兩車不致翻車，則上述等式無(wú)解，即()???????解得212()2vvaS??。例12、在地面上以初速率2v0豎直上拋一物體A后，又以初速v0同地點(diǎn)豎直上拋另一物體B，若要使兩物體能在空中相遇，則兩物體拋出的時(shí)間間隔t?必須滿足哪些條件？（不計(jì)空氣阻力）剖析與解：如按一般情況，可根據(jù)題意用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)列多項(xiàng)式求解，這是比較麻煩的。如換換思路，根據(jù)s=v0t-gt2/2作s-t圖像，則可使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化。如圖10所示，其實(shí)，兩條圖線的相交點(diǎn)表示A、B相遇時(shí)刻，縱座標(biāo)對(duì)應(yīng)位移sA=sB。由圖10可直接看出Δt滿足關(guān)系式???時(shí)，B可在空中相遇。案例10.極值問(wèn)題和臨界問(wèn)題的思索例13、如圖11所示，一平直的傳送帶以速率v=2m/s做勻速運(yùn)動(dòng)，傳送帶把A處的螺孔運(yùn)送到B處，A、B相距L=10m。從A處把型腔無(wú)初速地放在傳送帶上，經(jīng)過(guò)時(shí)間t=6s,能傳送到B處，欲用最短的時(shí)間把型腔從A處傳送到B處，求傳送帶的運(yùn)行速率起碼多大？/g4V0/g6V0/gΔt圖10AB圖117例14、摩托車在平直道路上從靜止開(kāi)始起動(dòng)，a1=1.6m/s2,稍后勻速運(yùn)動(dòng)，之后減速，a2=6.4m/s2,直至停止，共耗時(shí)130s，行程1600m.試求：（1）摩托車行駛的最大速率vm.(2)若摩托車從靜止起動(dòng)，a1、a2不變，直至停止，行程不變，所需最短時(shí)間為多少？答案：vm=12.8m/stmin=50s.案例11、聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題的研究例15、圖14（a）是在高速道路上用超聲波測(cè)速儀檢測(cè)時(shí)速的示意圖，測(cè)速儀發(fā)出并接收超聲波脈沖訊號(hào)，按照發(fā)出和接收到的時(shí)間差，測(cè)