第一次
靜力學(xué)
第一章靜力學(xué)公理和物體力分析
1.1 靜力學(xué)公理
公理1 二力平衡公理：對(duì)于作用在剛體上的兩個(gè)力，剛體保持平衡的充要條件是：兩個(gè)力大小相等、方向相反、作用在同一條直線(xiàn)上。 F=-F' 在工程中，我們經(jīng)常遇到僅由兩個(gè)力平衡的構(gòu)件，稱(chēng)為二力構(gòu)件或二力桿。
公理2 平衡力系統(tǒng)的加法和減法公理：在作用于剛體的任何力系統(tǒng)中添加或刪除任何平衡力系統(tǒng)不會(huì)改變?cè)剂ο到y(tǒng)對(duì)剛體的影響。
力傳遞原理的推論：作用在剛體上某一點(diǎn)上的力可以沿著其作用線(xiàn)移動(dòng)到剛體內(nèi)的任何點(diǎn)，而不改變力對(duì)剛體的影響。
公理3力的平行四邊形定律：作用在物體上某一點(diǎn)上的兩個(gè)力的合力也作用在同一點(diǎn)上，其大小和方向可以用這兩個(gè)力形成的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)來(lái)表示。
三力平衡收斂定理的推導(dǎo)
：作用在剛體上的三個(gè)相互平衡的力。 如果兩個(gè)力的作用線(xiàn)相交于一點(diǎn)，則這三個(gè)力必須在同一平面上，并且第三個(gè)力的作用線(xiàn)穿過(guò)交點(diǎn)。
公理
4 作用力和反作用力定律：兩個(gè)物體之間相互作用的力總是同時(shí)存在，且大小相等、方向相反。 它們沿同一條直線(xiàn)作用于兩個(gè)物體。
公理 5 回火原理
：變形體在一定力系統(tǒng)的作用下達(dá)到平衡。 如果它被淬火成剛體，它的平衡狀態(tài)保持不變。 對(duì)于處于平衡狀態(tài)的變形體，總是可以將其作為剛體來(lái)研究。 1.2 約束條件及其約束力
1.靈活的身體約束
2． 光滑接觸面約束3.光滑鉸鏈約束
1 第 2 章
平面交力系統(tǒng)和平面力偶系統(tǒng)
1、平面相交力系合成的結(jié)果是合力。 合力的作用線(xiàn)穿過(guò)各個(gè)力的作用線(xiàn)的交點(diǎn)。 其大小和方向可以用損失多邊形的閉邊來(lái)表示，等于力損失的矢量和，即FR=F1+F2+…..+Fn=ΣF 2.矢量投影定理：和向量在某個(gè)軸上的投影等于其分量向量在同一軸上的投影的代數(shù)和。
3、力對(duì)剛體的作用分為運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)。 力對(duì)剛體的運(yùn)動(dòng)影響是通過(guò)力損失來(lái)衡量的； 力對(duì)剛體的旋轉(zhuǎn)作用是用扭矩來(lái)衡量的，即扭矩是衡量使剛體繞某一點(diǎn)或軸旋轉(zhuǎn)的力強(qiáng)度的物理量。 (Mo(F)=±Fh)
4、作用在同一物體上的兩個(gè)大小相等、方向相反、作用線(xiàn)不重合的平行力所組成的力系稱(chēng)為力偶，記為（F，F(xiàn)'）。
實(shí)施例2-8
在圖2.-17(a)所示的結(jié)構(gòu)中，忽略了各構(gòu)件的自重。 桿件AB上有力偶作用，其力偶力矩為500kN·m。 求 A 點(diǎn)和 C 點(diǎn)的結(jié)合力。
解開(kāi)
構(gòu)件BC僅在B、C兩點(diǎn)受力，處于平衡狀態(tài)。 因此BC是二力桿，其受力如圖2-17(b)所示。
由于桿件 AB 上存在一個(gè)帶有力矩 M 的力偶，因此桿件 AB 在鉸鏈 A、B 處的一對(duì)力 FA 和 FB' 構(gòu)成與帶有力矩 M 的力偶平衡的力偶（見(jiàn)圖 2-17（c）） ).由平面力偶系統(tǒng)的平衡方程ΣMi=0,可得
_Fad+M=0則有
FA=FB' N=471.40N
由于FA和FB'為正值，可見(jiàn)兩個(gè)力的實(shí)際方向?yàn)閳D2-17(c)所示的方向。 根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系可知FC=FB'=471.40N，方向如圖2-17(b)所示。
第三章平面任意力系統(tǒng)
1、合力矩定理：平面上任意力系能否合成為合力。 那么合力相對(duì)于作用平面上任意點(diǎn)的力矩就等于力系中的力相對(duì)于該點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。
2、平面上任意力系達(dá)到平衡的充分必要條件是：力系的主和與平面上任意點(diǎn)Q的主力矩同時(shí)為零，即FR`= 0，Mo=0.3。 平面上任意力系的平衡方程：ΣFx=0，ΣFy=0，ΣMo(F)=0。 平面上任意力系平衡的解析條件是該力系中的所有力在作用面內(nèi)任意兩個(gè)直角坐標(biāo)系上的投影的代數(shù)和為零，且每個(gè)力相對(duì)于作用平面上任意點(diǎn)的力矩也為零。
例3-1 如圖3-8(a)所示，矩形板的四個(gè)角點(diǎn)上作用有四個(gè)力，其中F1=4kN理論力學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN，另外還有力作用于板上。 有一對(duì)力矩M=2kN·m。 試求將上述四個(gè)力和一個(gè)力偶組成的力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化后的結(jié)果，以及該力系的最終結(jié)果。
解 (1) 求出主向量 FR' 并建立如圖 3-8(a) 所示的坐標(biāo)系，有
F'Rx=ΣFx=﹣°+F3+°=4.598kN F'Ry=ΣFy=F1－°+°=3.768kN 因此，主向量為
F'R=
主向量的方向
余弦(F'R,i)=
余弦(F'R,j)=
=0.634, ∠(F'R,j)=50.7°
(2) 求主矩，有
M0=ΣM0(F)=M+°-2F2+°=2.5kN·m
由于主矢量和主力矩均為零，因此最終結(jié)果為合力FR，如圖3-8(b)所示，F(xiàn)R=F'R，合力FR到O點(diǎn)的距離為
d=
=0.421m
例3-10 連續(xù)梁由AC和CE部分通過(guò)C點(diǎn)鉸鏈連接而成，梁的載荷和約束條件如圖3-18(a)所示，其中M=10kN·m，F(xiàn)= 30kN，q=10kN/m理論力學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，l=1m。 求固定端A和支撐D的約束力。
解：首先以整體為研究對(duì)象，其受力如圖3-18(a)所示。 除主力外，還受到固定端A處的約束力Fax和Fay、具有力矩MA的約束力偶以及支撐D處的約束力FD的影響。平衡方程組為
ΣFx=0，F(xiàn)ax－°=0
ΣFy=0，F(xiàn)Ay－2ql+°+FD=0
ΣMA(F)=0, MA+M－4ql2+3FDl+°=0 上述三個(gè)方程包含四個(gè)未知量，需要補(bǔ)充。 現(xiàn)選取CE為研究對(duì)象，其受力如圖3-(b)所示。以C點(diǎn)為質(zhì)心，力矩平衡方程為ΣMC(F)=0，-ql2+FDl+°=0，同時(shí)求解，我們得到
FAx=21.21kN, Fay=36.21kN, MA=57.43kN·m, FD=-37.43kN
=5.945kN
=0.773, ∠(F'R，i)=39.3°
3 第 4 章 考慮摩擦力平衡
1、摩擦角：物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，完全約束力與法線(xiàn)之間的夾角。 tanψm=fs 2、自鎖現(xiàn)象：當(dāng)主動(dòng)力，即合力Fa的方向和大小改變時(shí)，只要Fa的作用線(xiàn)在摩擦角之內(nèi)，C點(diǎn)總是在B點(diǎn)的右側(cè)，物體始終保持平衡。 這種平衡現(xiàn)象稱(chēng)為摩擦自鎖。
例4-3 梯子AB靠在墻上，其重量W=200N，如圖4-7所示。 梯子的長(zhǎng)度為l，梯子與水平面的夾角為θ=60°。 已知接觸面之間的摩擦系數(shù)為0.25。 現(xiàn)在有一個(gè)重650N的人正在爬梯子。 人能到達(dá)的最高點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離s是多少？
整體應(yīng)力解如圖4-7所示。 設(shè)C點(diǎn)為人所能到達(dá)的極限位置。 此時(shí)
FsA=fsFNA，F(xiàn)sB=fsFNB
ΣFx=0，F(xiàn)NB-FsA=0
ΣFy=0, FNA+FsB-W-W1=0 ΣMA(F)=0, -θ-θ+Wcosθ+θ=0 同時(shí)求解
S=0.456l
第5章 天力體系
1、空間匯聚力系統(tǒng)平衡的充要條件是：力系統(tǒng)的合力為零，即FR=ΣFi=0 2、空間平衡的解析條件收斂力系為：力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別為零。 3、要平衡剛體，主損失和主力矩必須都為零，即空間中任何力系統(tǒng)平衡的充分必要條件是：力系統(tǒng)對(duì)任意點(diǎn)的主損失和的主矩為零，即 FR`=ΣFi=0，Mo=ΣMo(Fi)=0 4. 均質(zhì)物體的引力位置完全取決于物體的幾何形狀，與物體的幾何形狀無(wú)關(guān)。與物體的重量有關(guān)。 若物體為均質(zhì)薄板，則省略Zc，坐標(biāo)為xc=ΣAi*xi/A，yc=ΣAi*yi/A 5.確定物體重心的方法（1）查表法
(2)組合法：①分割法； ② 負(fù)面積（體積）法 (3) 實(shí)驗(yàn)方法
第2部分
運(yùn)動(dòng)學(xué)第6章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)
6.2 直角坐標(biāo)法
運(yùn)動(dòng)方程 x=f(t) y=g(t) z=h(t)
消去t即可得到軌跡方程f(x,y,z)=0其中
例6-1 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖6-4(a)所示。 曲柄oc繞O以恒定角速度w旋轉(zhuǎn)，連桿AB帶動(dòng)滑塊A、B在水平和垂直凹槽中運(yùn)動(dòng)，OC=BC=AC=L。 求：（1）連桿上M點(diǎn)（AM=r）的運(yùn)動(dòng)方程； (2) M點(diǎn)的速度和加速度。
解： (1) 寫(xiě)出該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程
由于M點(diǎn)在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡未知，因此建立坐標(biāo)系。 M點(diǎn)是BA桿上的一點(diǎn)，桿的兩端分別被限制在水平和垂直方向上移動(dòng)。 曲柄以恒定角速度旋轉(zhuǎn)，Φ=wt。 根據(jù)這些約束，寫(xiě)出 M 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 x=(2L-r)coswt
y= 消去t得到軌跡方程：(x／2L-r)2+(y/x)2=1
(2) 求速度和加速度并推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程得到
dx/dt=-(2L-r) dy/dt= 然后推導(dǎo)出 a1=-(2L-r)w2coswt
a2=-rw2sinwt 由公式可知a=a1i+a2j=-w2r
6.3 自然法
2.自然坐標(biāo)系：b=t×n 其中b是次法線(xiàn)n和主法線(xiàn)t 3.點(diǎn)的速度v=ds/dt
切向加速度 at=dv/dt
正常加速度
an=v2/p
第7章剛體的基本運(yùn)動(dòng)
7.1 剛體的平行運(yùn)動(dòng)：剛體平移時(shí)，其內(nèi)部所有點(diǎn)的軌跡具有相同的形狀。 在同一時(shí)刻，所有點(diǎn)都具有相同的速度和加速度。 剛體的平移問(wèn)題可以歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。
7.2 剛體定軸旋轉(zhuǎn)：瞬時(shí)角速度w=lim△θ∕△t=dθ/dt
瞬時(shí)角加速度a=lim△w∕△t=dw/dt=d2θ/dt2
旋轉(zhuǎn)剛體中任意一點(diǎn)的速度代數(shù)值等于該點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離與剛體角速度的乘積a=√(a2 +b2)=R√( α2+w2) θ=|a|/b =|α|/w2
旋轉(zhuǎn)剛體中任意點(diǎn)的速度和加速度與該點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離成正比。
5 第 8 章 點(diǎn)的綜合運(yùn)動(dòng)
8.1 合成運(yùn)動(dòng)的概念：相對(duì)于某個(gè)參考系的運(yùn)動(dòng)可以由相對(duì)于其他參考系的多個(gè)運(yùn)動(dòng)組成。 這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為合成運(yùn)動(dòng)。
當(dāng)研究問(wèn)題涉及兩個(gè)參考系時(shí)，固定在地球上的參考系通常稱(chēng)為確定參考系，簡(jiǎn)稱(chēng)固定系。 相對(duì)于固定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的參考系稱(chēng)為動(dòng)態(tài)參考系，簡(jiǎn)稱(chēng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。 研究對(duì)象是移動(dòng)點(diǎn)。 運(yùn)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于固定參考系的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)； 運(yùn)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于運(yùn)動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)； 移動(dòng)參考系相對(duì)于固定參考系的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為牽涉運(yùn)動(dòng)。 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)作為一個(gè)整體運(yùn)動(dòng)。 因此，牽連運(yùn)動(dòng)具有剛體運(yùn)動(dòng)的特征。 關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)的常見(jiàn)形式是平移或定軸旋轉(zhuǎn)。
動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)綜合的結(jié)果。 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)又可分為相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽涉運(yùn)動(dòng)。 在研究較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果動(dòng)態(tài)參考系選擇得當(dāng)，往往可以將較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)。 這種研究方法無(wú)論在理論還是實(shí)踐上都具有重要意義。
相對(duì)運(yùn)動(dòng)中動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度，分別用vr和ar表示。 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度，分別用va和aa表示。 也就是說(shuō)，固定系統(tǒng)中觀(guān)察者觀(guān)察到的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度分別是絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度； 在運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中觀(guān)察到的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度分別是相對(duì)速度和相對(duì)加速度。
在某一時(shí)刻，移動(dòng)參考系上與移動(dòng)點(diǎn)M重合的點(diǎn)稱(chēng)為該時(shí)刻移動(dòng)點(diǎn)M的牽連點(diǎn)。 如果某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)點(diǎn)沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)點(diǎn)將沿著涉及點(diǎn)的軌跡運(yùn)動(dòng)。 牽連點(diǎn)是動(dòng)力系統(tǒng)上的一個(gè)點(diǎn)。 動(dòng)態(tài)點(diǎn)移動(dòng)到的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)上的點(diǎn)就是動(dòng)態(tài)點(diǎn)的牽連點(diǎn)。 定義某一瞬時(shí)蘊(yùn)涵點(diǎn)相對(duì)于固定參考系的速度和加速度稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)的蘊(yùn)含速度和蘊(yùn)含加速度，分別用ve和ae表示。
動(dòng)態(tài)系統(tǒng)O'x'y'與固定系統(tǒng)Oxy之間的坐標(biāo)系變換關(guān)系為：
x=x0+x'cosθ-y'sinθ
y=y0+x'sinθ+y'cosθ
消去一點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中的時(shí)間t，就得到該點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡； 消去點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中的時(shí)間t，即可得到該點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。
例8-4 礦石從傳送帶A落到另一條傳送帶B上，如圖所示。 站在地面上觀(guān)察礦石下落速度為v1=4m/s，方向與垂直線(xiàn)成30度角。 已知輸送帶B的水平傳輸速度為v2=3m/s。 求礦石相對(duì)于傳送帶 B 的速度。
解：以礦石M為移動(dòng)點(diǎn)，移動(dòng)系統(tǒng)固定在傳送帶B上，礦石相對(duì)于地面的速度v1為絕對(duì)速度； 隱含速度應(yīng)為移動(dòng)參考系上與移動(dòng)點(diǎn)重合的點(diǎn)的速度。 可以想象，移動(dòng)參考系是無(wú)限的。 由于是平移的，所以每個(gè)點(diǎn)的速度等于v2。 因此v2等于動(dòng)點(diǎn)M的隱含速度。
根據(jù)速度合成定理，三個(gè)速度構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，絕對(duì)速度一定是對(duì)角線(xiàn)。 因此，速度平行四邊形如圖所示。由幾何關(guān)系求得
Vr=√(ve2+va2-°)=3.6 m/s Ve 與 va 之間的角度
β=（ve/vr*sin60°）=46°12'
綜上所述，在分析這三種運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先要選擇運(yùn)動(dòng)點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)參考系。 運(yùn)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，因此它們不能在同一物體內(nèi)； 為了便于確定相對(duì)速度，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)軌跡應(yīng)簡(jiǎn)單、清晰。
8.3 當(dāng)涉及的運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于涉及的加速度與相對(duì)加速度的矢量和。
第9章
剛體平面運(yùn)動(dòng)
9.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)分析：其運(yùn)動(dòng)方程x=f1(t)
y=f2(t) θ=f3(t) 完全確定了平面移動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律
在剛體上，可以選擇平面圖形上的任意一點(diǎn)作為基點(diǎn)，平面運(yùn)動(dòng)可以分解為平移和旋轉(zhuǎn)。 平面圖形平移的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而平面圖形繞基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角速度和角加速度則與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。
9.2 剛體平面運(yùn)動(dòng)速度分析：
在平面圖形中的某一時(shí)刻，任意兩點(diǎn)的速度在兩點(diǎn)連線(xiàn)上的投影相等。 這就是速度投影定理。 Vcosa=vcosb
例9-1 橢圓尺AB由曲柄OC驅(qū)動(dòng)。 曲柄繞軸線(xiàn)O以勻速角速度ω0旋轉(zhuǎn)，如圖9-7所示。 OC=BC=AC=r。 當(dāng)找到如圖所示的位置時(shí)，滑塊A和B的速度以及橢圓尺AB的角速度。
解：已知OC繞軸O旋轉(zhuǎn)，橢圓尺AB在平面內(nèi)移動(dòng)，vc=ω0r。
(1) 用基點(diǎn)法求滑塊A的速度和AB的角速度。 由于C的速度已知，因此選擇C作為基點(diǎn)。
vA=Vc+VAC 式中vc的大小和方向已知。 vA 的方向沿y 軸，vAC 的方向垂直于AC。 可以畫(huà)出速度矢量圖，如圖9-7所示。
由圖形的幾何關(guān)系可得
vA=°=ω0r,Vac=Vc,Vac=ωABr 可解
ωAB=ω0（順時(shí)針）
(2) 利用速度投影定理求滑塊B的速度。B的速度方向如圖9-7所示。
[vB]BC=[vC]BC
°=° 求解
Vb=vC=ω0r
7 第三部分
動(dòng)力學(xué)
第10章粒子動(dòng)力學(xué)基本方程
1、牛頓第一定律：不受作用（包括平衡力系統(tǒng)作用）的粒子將保持靜止或勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。 也稱(chēng)為慣性定律。
2、牛頓第二定律：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其加速度的乘積等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的大小，且加速度的方向與力的方向相同。 F=ma
3、牛頓第三定律：兩個(gè)物體之間的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反、沿同一直線(xiàn)、同時(shí)作用在兩個(gè)物體上。
例10-5 將木塊放在光滑的水平面上并連接到彈簧，如圖10-5所示。 木塊的質(zhì)量為m，彈簧的剛度系數(shù)為k。 當(dāng)彈簧拉伸變形a時(shí)，塊體被釋放。 求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。
解：以彈簧未變形位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O。假設(shè)任意坐標(biāo)x處的塊體彈簧變形量為|x|，彈簧力F=k|x|，指向O點(diǎn)，如圖 10-5 所示，則該塊沿 x 軸運(yùn)動(dòng)的微分方程為 m=Fx=-kx 令 ω2n=，將上式轉(zhuǎn)化為自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式+ω2nx=0。 上式的解可寫(xiě)為 X=Acos( ωnt+θ) 其中 A 和 θ 是任意常數(shù)，應(yīng)由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。 根據(jù)題意，當(dāng)t=0，=0，x=a時(shí)，代入上式，則解為θ=0，A=a，代入式，運(yùn)動(dòng)方程可解為X=acosωnt
第11章動(dòng)力學(xué)定理
p=mvc1。 動(dòng)量：等于粒子的質(zhì)量與其速度的乘積。 2、粒子系統(tǒng)動(dòng)量定理：
①微分形式：粒子系統(tǒng)動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在粒子系統(tǒng)上的所有外力的矢量和。 ②積分形式：任意時(shí)間間隔內(nèi)粒子系統(tǒng)動(dòng)量的變化量等于同一時(shí)間間隔內(nèi)粒子系統(tǒng)動(dòng)量的變化量。 指向系統(tǒng)上所有外力的矢量和（淋浴定理） 3、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律：如果作用在質(zhì)心系統(tǒng)投影在 x 軸上的所有外力的代數(shù)和總是等于0，即ΣF=0，則Vcx=常數(shù)，表示質(zhì)心橫坐標(biāo)xc不變或者質(zhì)心沿x軸的運(yùn)動(dòng)均勻。
8 例11-5：已知液體在直角彎頭ABCD內(nèi)穩(wěn)定流動(dòng)，流量為Q，密度為ρ，AB端流入斷面直徑為d，另一端CD處的流出截面為d1。 求液體對(duì)管壁施加的附加動(dòng)壓力。
以求解一段液體ABCD為研究對(duì)象，假設(shè)流出和流入速度分別為v1和v2，則
V1=, V2=
建立坐標(biāo)系，附加動(dòng)反力在x、y軸上的投影為 F''Nx=ρQ(v2-0)= F''Ny=ρQ [0-(-v1)]
例11-7：在圖11-6所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，假設(shè)曲柄OA在力偶的作用下以勻角速度w旋轉(zhuǎn)，滑塊B沿x軸滑動(dòng)。 若OA=AB=l，則OA、AB均為均質(zhì)棒，質(zhì)量為m1，滑塊B的質(zhì)量為m2。 試求該系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程、該系統(tǒng)的軌跡和動(dòng)量。
解開(kāi)
假設(shè)當(dāng)t=0時(shí)桿OA是水平的，那么我們有=wt。 認(rèn)為系統(tǒng)由三個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，分別位于桿 OA 的中點(diǎn)、桿 AB 的中點(diǎn)和 B 點(diǎn)。系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為 Xc=cosωt=lcosωt Yc=sinωt=lsinωt。 上式即為系統(tǒng)質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)方程，將上述兩個(gè)方程消去時(shí)間t，可得[xc]2+[]2=1，即質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡C為橢圓，如圖11-6中虛線(xiàn)所示。需要指出的是，系統(tǒng)的動(dòng)量，用式（11-15）投影為
Px=mvcx=(2m1+m2)=-2(m1+m2)lωsinωt Py=mvcy=(2m1+m2)=m1lωcosωt
9 例11-11：將平板D放置在光滑的水平面上。 該板配有曲柄、滑桿和套筒機(jī)構(gòu)。 十字套C保證滑桿AB平移運(yùn)動(dòng)，如圖所示。 已知曲柄OA是一根長(zhǎng)度為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿，繞軸線(xiàn)O以均勻角速度w旋轉(zhuǎn)。 滑桿AB的質(zhì)量為4m，套筒C的質(zhì)量為2m，機(jī)構(gòu)其余部分的質(zhì)量為20m。 假設(shè)機(jī)構(gòu)初始靜止，試求平板D的水平運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t)。
將整體分解為粒子系統(tǒng)，并稱(chēng)所受到的外力包括各部分的重力和水平面的反作用力。 由于外力在水平軸上的投影為零且初始靜止，因此粒子系統(tǒng)質(zhì)心在水平軸上的坐標(biāo)保持不變。建立坐標(biāo)系，并假設(shè)質(zhì)心之間的水平距離板 D 與 O 點(diǎn)的質(zhì)量為 a，AB 的長(zhǎng)度為 l，C 與 O 點(diǎn)的水平距離為 b，則粒子系統(tǒng)質(zhì)心水平軸的初始坐標(biāo)為
Xc1=
假設(shè)時(shí)間t后，板D向右移動(dòng)x(t)，曲柄OA旋轉(zhuǎn)角度wt。 此時(shí)粒子系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為
Xc2=
因?yàn)樗椒较蛸|(zhì)心守恒，xc1=xc2，
解：X(t)=(1-cosωt)
第12章動(dòng)量定理
1. 粒子及粒子系統(tǒng)的動(dòng)量矩：
⑴指向點(diǎn)到O點(diǎn)的動(dòng)量矩在z軸上的投影等于該點(diǎn)到z軸的動(dòng)量矩，即“Lo(mv)”=Lz(mv) ⑵粒子系統(tǒng)到固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于每個(gè)粒子到同一點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和。即：Lo=ΣLo(mv)
2、繞固定軸旋轉(zhuǎn)的剛體相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸的慣性矩與角速度的乘積。 (Lz=wJz) 3、平行軸定理：剛體相對(duì)于任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體相對(duì)于剛體質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 并且將與軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量與兩軸之間的距離的平方的乘積。 4、動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)固定點(diǎn)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。 同一時(shí)刻的時(shí)刻。
10 例12-2：已知均質(zhì)細(xì)棒和均質(zhì)圓盤(pán)的質(zhì)量均為m，圓盤(pán)的半徑為R，棒的長(zhǎng)度為3R。 求穿過(guò)懸掛點(diǎn) O 并垂直于圖中 Z 軸的擺副的旋轉(zhuǎn)。 慣性。
擺錘繞 Z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為
Jz=Jz棒+Jz板
桿繞 Z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為
Jz rod = ml 2 = m (3R) 2 = 3mR 2 圓盤(pán)朝向其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為
Jzc2=mR 2 利用平行軸定理
Jz盤(pán) = Jzc2+m（R+l2）=mR2+16mR2=mR2 所以
Jz= Jz 桿+Jz 盤(pán)=3mR2+mR2= mR2
例12-3：質(zhì)量為M1的塔可以繞垂直于繪圖的軸線(xiàn)O旋轉(zhuǎn)。 纏繞在塔輪上的繩索，塔輪之間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)。 纏繞在半徑為r的輪盤(pán)上的繩索的剛度為一個(gè)系數(shù)為k的彈簧，彈簧的另一端固定在墻上。 將質(zhì)量為 M2 的重物垂直懸掛在一根繞在半徑為 R 的輪子上的繩子的另一端。如果錐輪的質(zhì)心位于輪盤(pán)的中心 O，則其繞輪盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量O軸為Jo=2mr，R=2r，M1=m，M2=2m。 求彈簧拉伸 s 時(shí)重量 M2 的加速度。
錐輪繞固定軸旋轉(zhuǎn)。 如果瞬時(shí)角速度為w，重物作平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，則其速度為v=Rw。 它們?cè)贠點(diǎn)的動(dòng)量矩分別為L(zhǎng)o1和Lo2，其大小為L(zhǎng)o1=-Jo·w=-2mr2ω，Lo2=-2mR2w=-8mr2ω2。 系統(tǒng)在O點(diǎn)的外力矩為M0()=F·r-m2g·R=ksr-4mgr。 根據(jù)動(dòng)量矩定理L0=ΣM0()，可得 10mr2=(4mg- ks)r α==
由于重物的加速度a2=Rα，所以：a2=Rα=
11第13章動(dòng)能定理
1、粒子系統(tǒng)動(dòng)能的微分等于作用在粒子系統(tǒng)上的所有力所做的元功之和。 這就是微分形式的粒子系統(tǒng)動(dòng)能定理。 (13-23) 2.積分形式的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)在一定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的變化量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)上的所有力所做的功之和。過(guò)程中的粒子系統(tǒng)。 (13-24, 13-25) 3. 力的功率等于切向力與施力點(diǎn)速度的乘積 (13-28) 4. 作用在旋轉(zhuǎn)物體上的力的功率剛體等于力疊加旋轉(zhuǎn)軸的力矩與角速度的乘積。 (13-29) 5、粒子系統(tǒng)動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù) 等于作用在指向系統(tǒng)上的所有力的冪的代數(shù)和（冪方程13-30）
例13-5：重物A和重物B通過(guò)動(dòng)滑輪D和定滑輪C運(yùn)動(dòng)。如果重物A開(kāi)始時(shí)向下的速度為v0，那么重物A在其速度增加一倍之前下降多遠(yuǎn)？ 假設(shè)重物A、B的質(zhì)量均為m1，滑輪D、C的質(zhì)量均為m2，均為均質(zhì)圓盤(pán)。 重物B與水平面的動(dòng)摩擦系數(shù)為f。 繩子無(wú)法拉伸，其質(zhì)量可以忽略不計(jì)。
解決方案以系統(tǒng)為研究對(duì)象。 在該系統(tǒng)中，重物A和B進(jìn)行平移運(yùn)動(dòng)，定滑輪C進(jìn)行定軸旋轉(zhuǎn)，動(dòng)滑輪D進(jìn)行平面運(yùn)動(dòng)。 A初始瞬間的速度為v0，則滑輪D中心的速度為v0，角速度為ωD=； 定滑輪C的角速度為ωC=； 重物B的速度為2v0。因此，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻的動(dòng)能為
T1=m1v02+m2v02+(m2rD2)() 2+(m2rC2)() 2+m12v0 2=(10m1+7m2) 速度增加一倍時(shí)的動(dòng)能為 T2=(10m1+7m2) 假設(shè)重量 A 下降 h在高空，速度加倍。所有力所做的功為：Σ=m1gh+m2gh-f'm1g·2h=[m1g(1-2f')+m2g]h。 公式為：
(10m1+7m2)= [m1g(1-2f')+m2g]h 求解得到 h=
12
例13-7：在對(duì)稱(chēng)桿的A點(diǎn)，作用有垂直恒力F，系統(tǒng)初始靜止。 求連桿OA移動(dòng)到水平位置時(shí)的角速度。 假設(shè)連桿長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為m，均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為m1，進(jìn)行純滾動(dòng)。
解開(kāi)
將系統(tǒng)作為研究對(duì)象。系統(tǒng)開(kāi)始從靜止中移動(dòng)，因此系統(tǒng)的最初瞬時(shí)動(dòng)能是
當(dāng)桿OA移動(dòng)到水平位置時(shí)，T1 = 0是桿端B是桿AB速度的瞬時(shí)中心，因此車(chē)輪B的角速度為零。該時(shí)構(gòu)建了桿OA的角速度。 由于OA = AB，因此桿AB的角速度也為w。 此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能是
t2 =joaΩ2+jabω2=（）ω2+（）ω=ω2所有力所做的工作均為∑ = 2（mg）+flsinα=（mg+f）lsinα通過(guò)ω2-0 =（mg+f）lsinα求解。 ω=
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