摘要
借助基礎(chǔ)熱學(xué)和統(tǒng)計數(shù)學(xué)知識，從微觀上研究了理想二氧化碳絕熱變化中的做功過程，結(jié)合伽利略變換驗證了二氧化碳膨脹做功的多少在數(shù)值上等于其分子總動能的降低量。作為一個力學(xué)與熱學(xué)內(nèi)容銜接的典型事例，補(bǔ)充了除浮力、溫度和內(nèi)能之外的又一個力學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)量——做功的詳盡微觀熱學(xué)描述，進(jìn)一步闡述了基礎(chǔ)力學(xué)作為一門實驗科學(xué)所具有的熱學(xué)本質(zhì)。其中，在分子與聯(lián)通活塞碰撞問題中用到了伽利略變換，也是兩個慣性系之間座標(biāo)變換的一個實際應(yīng)用示例。
關(guān)鍵詞伽利略變換；二氧化碳做功；絕熱過程
Weaoftheworkdonebyanidealgasinanusingand.with,itisthattheofworkdonebygasisequaltotheofitstotal.Asaoftheheatand,ourworkhasaintheofthebasicofinto,and,andtheofbasicheatasan.Theisusedinthethegasandthe,whichisalsoaofthetwo.
現(xiàn)今大部份學(xué)院數(shù)學(xué)教材在二氧化碳動理論部份都介紹了理想二氧化碳的浮力、溫度和內(nèi)能的微觀公式，揭示了電學(xué)作為一門實驗科學(xué)的熱學(xué)理論基礎(chǔ)。并且常用熱力學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)量中做功和熱量只簡單介紹了微觀圖象，并未詳盡推論其微觀上的熱學(xué)表示。熱量傳遞可以通過從微觀上重新定義熱流密度加以討論，這兒我們僅通過對做功的詳盡闡述進(jìn)一步建立電學(xué)與熱學(xué)的銜接。如圖1所示，汽缸內(nèi)理想二氧化碳準(zhǔn)靜態(tài)膨脹過程中做功的描述普遍采用[1,2]
dW=Fdl=pAdl=pdV(1)
式中dl為在二氧化碳壓力F作用下活塞聯(lián)通的位移微元，p為汽缸中二氧化碳的浮力，A為活塞面積，dV為該過程中二氧化碳容積增量。接著，借助熱力學(xué)第一定理可知絕熱過程中的二氧化碳對外做功的多少等于其內(nèi)能的減少量，即
dE=－dW=－pdV(2)
而通常教材對這個推論的微觀過程則鮮有描述。本文借助統(tǒng)計知識，結(jié)合伽利略變換，詳細(xì)地推論了這一過程，驗證了理想二氧化碳膨脹做功的多少在數(shù)值上等于其分子總動能的降低量。這對初學(xué)者理解理想二氧化碳做功的微觀圖象是有所助益的。同時，本文也是一個熱學(xué)與力學(xué)內(nèi)容銜接的典型例子。
微觀上，因為忽視分子間斥力，理想二氧化碳的內(nèi)能是所有分子的動能之和。這么二氧化碳膨脹做功完全彈性碰撞速度公式怎么記，內(nèi)能減低，分子的動能必然增加。在分子質(zhì)量不變的前提下，只能是分子速度變小。這么這是怎樣實現(xiàn)的以及降低了多少呢？為了便捷，以下討論均假定二氧化碳分子為單原子分子。圖1所示為二氧化碳分子以速率vR撞擊活塞的過程，若活塞靜止，完全彈性碰撞后分子將以大小相同的速度回落，即，大跌速度vL=vR。但在二氧化碳膨脹過程中，活塞往右聯(lián)通，減小了碰撞療效，分子大跌速度應(yīng)當(dāng)要小一些。這兒初學(xué)者常常并不熟悉小球撞擊聯(lián)通平板的完全彈性碰撞大跌速率問題。考慮到碰撞只改變分子速率的x份量，y、z份量是不變的，好多時侯會輕率地以為大跌速率應(yīng)為vL=(-vx+u,vy,vz)。雖然這是不正確的。要弄清楚這個問題從不同的參考系剖析是個便捷的方式。
1伽利略變換在分子碰撞問題中的應(yīng)用
若令相對于汽缸及觀察者靜止的參考系記為S，相對以速率u聯(lián)通的活塞靜止的參考系記為S′，分別取合適的座標(biāo)系后，兩慣性系的時空座標(biāo)滿足伽利略變換
上式對時間導(dǎo)數(shù)，可得速率變換關(guān)系為
依照上式，當(dāng)在S系中二氧化碳分子以速率vR=(vx,vy,vz)撞向活塞時，在S′系中，分子的撞擊速率則變?yōu)関′R=(vx-u,vy,vz)撞向活塞。由于在S′系中活塞是靜止的，這樣借助小球撞擊靜止平板的經(jīng)驗，容易得到完全彈性碰撞后二氧化碳分子應(yīng)以速率v′L=(-vx+u,vy,vz)大跌回來。這時，再回到相對于汽缸及觀察者靜止的S系中，并只關(guān)注大跌速率的x份量vLx，則按照式(4)可得
即，相對于觀察者分子以速率vR=(vx,vy,vz)撞向以速率u沿x軸正方向聯(lián)通的活塞時，彈性碰撞后大跌速率為vL=(-vx+2u,vy,vz)。
2二氧化碳膨脹時的內(nèi)能損失
令l表示活塞的位置，某一時刻活塞聯(lián)通速率大小為
。則單個分子因為碰撞造成的動能變化
上式推論中舍棄了(dl/dt)2項。由于準(zhǔn)靜態(tài)過程中活塞聯(lián)通速度與分子熱運動速度相比很小，二階項可忽視[3]。在活塞聯(lián)通一個位移微元dl所用的時間dt內(nèi)，可能與活塞發(fā)生碰撞的分子是這些一開始就坐落緊靠活塞的一個薄層內(nèi)的分子。其數(shù)目可恐怕為
式中n為分子數(shù)密度，vxdt-dl是dt時間內(nèi)就能發(fā)生碰撞的分子與活塞的最遠(yuǎn)距離，即薄層的長度。因子1/2是因為平均來說薄層內(nèi)只有一半分子是朝活塞運動，進(jìn)而才能發(fā)生碰撞的。
這么，發(fā)生碰撞的所有分子總的動能改變即是單個分子因碰撞造成的動能變化與參與碰撞的總分子數(shù)量的乘積。它也是二氧化碳膨脹做功造成的二氧化碳內(nèi)能改變dE，由于未參與活塞碰撞的分子與外界沒有能量交換。
同樣因為準(zhǔn)靜態(tài)過程中活塞聯(lián)通速度與分子熱運動速度相比很小，上式中舍棄了dl/dt項。考慮到每位分子速率都不一樣，式中的
應(yīng)用所有分子的平均值
取代
上式借助了理想二氧化碳浮力公式
。與式(1)對比，最終從微觀上驗證了絕熱過程中理想二氧化碳膨脹時分子總動能的降低在數(shù)值上等于其對外做功的多少。
3結(jié)語
本文結(jié)合伽利略變換和統(tǒng)計知識從微觀上研究了理想二氧化碳絕熱變化中的做功過程，驗證了二氧化碳膨脹做功的多少在數(shù)值上等于其分子總動能的降低完全彈性碰撞速度公式怎么記，補(bǔ)充了又一個常用熱力學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)量——做功的微觀熱學(xué)基礎(chǔ)，進(jìn)一步健全了力學(xué)與熱學(xué)內(nèi)容的銜接。研究中防止了使用一些教科書上處理類似問題時常見的忽視分子間的碰撞，使分子在汽缸內(nèi)閉和活塞之間來回撞擊的便捷做法，這些圖象是不恰當(dāng)?shù)摹Ｓ捎跇?biāo)準(zhǔn)狀況下，空氣分子平均自由程僅為~10-8m。另外，從推論過程中多次舍掉dl/dt及其高階項，也讓我們從微觀上認(rèn)識了理想二氧化碳做功公式只有在活塞聯(lián)通速度與二氧化碳分子熱運動速度相比很小的準(zhǔn)靜態(tài)過程中才創(chuàng)立。
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HOUJX,SILM,WENGH.ofidealgasviaofgas[J].,2017,36(3):14-15.(in)
基金項目：哈爾濱師范大學(xué)教學(xué)內(nèi)容與課程體系變革項目（）。
作者簡介：邵懷華，男，貴州師范大學(xué)副院長，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)和科研工作，研究方向為低維量子結(jié)構(gòu)化學(xué)，。
引文格式:邵懷華.從理想二氧化碳做功過程看力學(xué)與熱學(xué)的銜接[J].化學(xué)與工程,2022,32(3):131-133.
Citethis:ròuHH.andfromtheworkofidealgases[J].and,2022,32(3):131-133.(in)
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