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[!--downpath--]三角函數的極限
要找到三角函數的極限，我們必須首先查看 $x$ 的大小。
小數情況
我們知道 sin(0) = 0，那么當 x 接近 0 時，sin(x) 會發生什么情況呢？ 從圖中我們可以看出：
圖片來自《普林斯頓微積分讀本》7-1
當 x 非常接近 0 時，sin(x) 的行為與 x 非常相似，并且從數學上講，它確實有一個極限：
\ lim _{x 0} frac{sin (x)}{x}=1
這個公式非常重要，因為它是解決許多與三角函數相關的微積分問題的關鍵。
對于余弦，顯然：
\ lim _{x 0} cos (x)=1
至于tan(x)，這里的關鍵是它可以寫??成sin(x) / cos(x)。 當 x to 0 且分母為 1 時，分子為 x，因此有：
\ lim_{x 0} frac{tan (x)}{x}=lim_{x 0} frac{sin (x)}{frac{cos (x)}{x }}=lim _{x 0}left(frac{sin (x)}{x}right)left(frac{1}{cos (x)}right)=(1 )left(frac{1}{1}right)=1
現在：
\ lim _{x 0} frac{tan (x)}{x}=1
現在我們看一下cos(x)/x的情況，即：
\ lim _{x 0} frac{cos (x)}{x}
直接代入x = 0會得到1 / 0，是無窮大，但要注意符號：
\ lim {x 0^{+}} frac{cos (x)}{x}=infty, quad lim {x 0^{-}} frac{cos (x) {x}=-infty
左右極限不相等，所以這個極限不存在。
解決問題——小數的情況
求：
\ lim _{x 0} frac{sin left(x^{2}right)}{x^{2}}
當x接近0時，x^2也為0，所以這個極限的最終結果是1。用tan代替sin也是如此，但當然不行。 這兩個結論可以記住：
\ lim_{x to 0}frac{sin(text{小數})}{相同的小數} = 1
\ lim_{x to 0}frac{tan(text{小數})}{相同的小數} = 1
現在讓我們看另一個例子：
\ lim_{x 0} frac{sin (5 x)}{x}
這里分子是 5x，分母是 x，但這并不重要。 您可以除以 5x 再乘以 5x 得到：
\ lim_{x 0} frac{sin (5 x)}{x}=lim _{x 0} frac{frac{sin (5 x)}{5 x} times (5 x)}{x}
應用上面的結論或者方法，顯然最終的結果是5。
讓我們看一個更復雜的例子：
\ lim _{x 0} frac{sin ^{3}(2 x) cos left(5 x^{19}right)}{x tan left(5 x^{2 }正確的）}
對于復雜的公式，可以先分解。 第一個是 sin ^{3}(2 x)。 這實際上是 (sin (2 x))^{3} 的另一種寫法，所以方法和之前一樣，只不過這次多了一個立方體。 變得：
\ frac{(sin (2 x))^{3}}{(2 x)^{3}} times(2 x)^{3}
再看 cos left(5 x^{19}right) ，當 x to 0 時，這顯然是 1，所以不需要做任何其他操作。
分母上有一個x。 我還不知道怎么處理，所以暫時不做，tan(5x^2)變成：
\ frac{tan left(5 x^{2}right)}{5 x^{2}} timesleft(5 x^{2}right)
所以最后我們有：
\ lim_{x 0} frac{sin ^{3}(2 x) cos left(5 x^{19}right)}{x tan left(5 x^{2} right)}=lim_{x 0} frac{left[frac{(sin (2 x))^{3}}{(2 x)^{3}} times(2 x) ^{3}right] cos left(5 x^{19}right)}{xleft[frac{tan left(5 x^{2}right)}{5 x^{ 2}} timesleft(5 x^{2}right)right]}
簡單總結一下：
\ lim_{x 0} frac{frac{(sin (2 x))^{3}}{(2 x)^{3}} cdot cos left(5 x^{19 }right)}{frac{tan left(5 x^{2}right)}{5 x^{2}}} times frac{(2 x)^{3}}{x左(5 x^{2}right)}=lim_{x 0} frac{left(frac{sin (2 x)}{(2 x)}right)^{3} cos left(5 x^{19}right)}{frac{tan left(5 x^{2}right)}{5 x^{2}}} times frac{8 x^ {3}}{5 x^{3}}
應用上述結論和方法，我們最終得到8/5。
這是一個稍微復雜的例子：
\ lim _{x infty} x sin left(frac{5}{x}right)
雖然我們不是在求x to 0時的極限，但是當x to infty時，frac{5}{x} to 0，所以這實際上是一個小數極限問題。 最終的結果是5，留給讀者去思考。 自己算算吧。
當遇到正割、余割或余切時，最安全的做法是將它們轉換為正弦、余弦或正切。
需要特別注意的一件事是，當 x to 0 時，x 的行為非常類似于 sin(x)。 我們在乘積或商的背景下說， lim _{x 0} frac {x-sin (x)}{x^{3}} 不能通過上述方法求解。 這個極限需要稍后使用洛比達定律或麥克勞林級數來解決。
最后，我們找到了一個稍后有用的限制：
\ lim_{x 0} frac{1-cos (x)}{x}
解決這個極限的方法是：
\ begin{} lim_{x 0} frac{1-cos (x)}{x} =lim_{x 0} frac{1-cos (x)}{x} 次 frac{1+cos (x)}{1+cos (x)} =lim_{x 0} frac{1-cos ^{2}(x)}{x} times frac{1}{1+cos (x)}=lim_{x 0} frac{sin ^{2}(x)}{x} times frac{1}{1+cos (x)} 結束{}
sin^2(x) 可以分解為 sin(x) times sin(x)，由于 sin(0) = 0，有：
\ lim {x 0}left(sin (x) times frac{sin (x)}{x} times frac{1}{1+cos (x)}right) =0 times 1 times frac{1}{1+1}=0
人數較多的情況
考慮極限：
\ lim _{x infty} frac{sin (x)}{x}
當x很大時，它的正弦會在1和-1之間來回擺動，因此無法直接確定，但可以利用三明治定理來求解（具體見第3章），即用最基本的三角函數的性質：
\ -1 \sin (x) 1
將不等式的所有部分同時除以 x，則變為：
\ frac{-1}{x} frac{sin (x)}{x} frac{1}{x}
由此算出，當 x to infty, 0 frac{sin(x)}{x} 0 時，即：
\ lim_{x infty} frac{sin (x)}{x} = 0
讓我們看另一個例子：
\ lim_{x infty} frac{x sin left(11 x^{7}right)-frac{1}{2}}{2 x^{4}}
因為是x to infty，我們的直覺告訴我們sin(11x^7)可能并不重要，因為最大值是1，所以分子主要是x，分母是x^4，所以這個問題感覺應該是0。下面我們來證明一下：
還是用三明治定理，首先想到的是三角函數-1 sin(11x^7) 1的性質。對于所有0">x > 0，這個不等式可以轉化為-x -frac{1 }{2} x sin left(11 x^{7}right)-frac{1}{2} x-frac{1}{2} （請注意，這是x < 0 則不然），顯然不等式的左邊和右邊分別是負無窮大和正無窮大。這似乎證明不了什么洛必達法則的推導過程，所以我們往下看。由于分母大于0（這就是x to infty) 的情況下，有：
\ frac{-x-frac{1}{2}}{2 x^{4}} frac{x sin left(11 x^{7}right)-frac{1} {2}}{2 x^{4}} \frac{x-frac{1}{2}}{2 x^{4}}
應用上一章學到的方法，很容易找到x to infty。 不等式兩邊的極限都是0，所以極限也是0。
由不等式 -1 sin(x) 1 （也可以使用 cos(x)），我們可以知道 sin(x) 和 cos(x) 可以被視為具有比任何正數更高的次數x 的冪 較低的項，但這僅限于其用于加法和減法運算。 乘法和除法運算不能這樣考慮。 對于任何正數 α，它可以寫成結論公式：
\ lim_{x to infty } frac{sin(text{任意數})}{x^alpha} = 0
如果換成余弦，上面的結論是一樣的。 但如果 x 的次數為 0，那么正弦和余弦就變得很重要。
“其他”情況
求極限：
\ lim_{x pi / 2} frac{cos (x)}{x-frac{pi}{2}}
這既不是一個大數，也不是一個小數。 如果直接代入，就會得到0 / 0的不定式，所以當遇到xto a的極限，并且a不等于0時洛必達法則的推導過程，有一個常用的方法，就是設t = x - a ，因此極限變為 t to 0 處的極限。因此極限變為：
\ lim {x pi / 2} frac{cos (x)}{x-frac{pi}{2}}=lim {t 0} frac{cos left( t+frac{pi}{2}right)}{t}
這個公式看起來很眼熟，如果是sin(t)就好了。 記住三角函數的一些恒等式， cos left(frac{pi}{2}-xright)=sin (x) ，因此 cos(t + frac{pi}{2} ) = sin(-t)，而正弦函數是奇函數，所以 cos left(frac{pi}{2}+tright)=sin (-t)=-sin (t) ，最后：
\ lim_{x pi / 2} frac{cos (x)}{x-frac{pi}{2}}=lim_{t 0} frac{cos left( t+frac{pi}{2}right)}{t}=lim_{t 0} frac{-sin (t)}{t}=-1
三角函數的導數
我們首先看一下 sin(x) 的導數。 我們將使用之前使用的兩個限制：
\ lim _{h 0} frac{sin (h)}{h}=1
\ lim _{h 0} frac{1-cos (h)}{h}=0
現在我們根據正規導數的解來求解，可得：
\ f^{prime}(x)=lim {h 0} frac{f(x+h)-f(x)}{h}=lim {h 0} frac{sin (x+h)-sin (x)}{h}
這里需要三角恒等式：
\ sin (A+B)=sin (A) cos (B)+cos (A) sin (B)
代入上述極限我們得到：
\ f^{prime}(x)=lim {h 0} frac{sin (x) cos (h)+cos (x) sin (h)-sin (x)} {H}
提取公因子給出：
\ begin{} f^{prime}(x) =lim_{h 0} frac{sin (x)(cos (h)-1)+cos (x) sin (h )}{h} =lim_{h 0}left(sin (x)left(frac{cos (h)-1}{h}right)+cos (x)left (frac{sin (h)}{h}right)right) end{}
請注意，這里我們將 x 和 h 分開。 使用本節開頭提到的兩個先前使用的限制，我們可以得到：
\ f^{prime}(x)=sin (x) times 0+cos (x) times 1=cos (x)
現在：
\ frac{txrzbvzd}{txrzbvzd x} sin (x)=cos (x)
余弦的導數以同樣的方式求解，但所需的三角恒等式為：
\ cos (A+B)=cos (A) cos (B)-sin (A) sin (B)
最終得到：
\ frac{txrzbvzd}{txrzbvzd x} cos (x)=-sin (x)
一旦知道了正弦和余弦的導數，就可以使用商規則求出正切：
\ frac{txrzbvzd y}{txrzbvzd x}=frac{v frac{txrzbvzd u}{txrzbvzd x}-u frac{txrzbvzd v} {txrzbvzd x}}{v^{2}}=frac{cos (x)(cos (x))-sin (x)(-sin (x))}{cos ^ {2}(x)}
最后一個分子是 1，所以我們有：
\ frac{txrzbvzd}{txrzbvzd x} tan (x)=sec ^{2}(x)
其余三角函數也可以使用商規則、鏈式求導規則或乘積規則來計算。 我這里就不詳細說了。 使用它們時，您現在可以檢查或推斷它們。
有一個結論要記住：
\ frac{txrzbvzd}{txrzbvzd x}(sin (ax))=a cos (ax)
使用求導的鏈式法則很容易找到，但是記住這個結論就可以節省很多步驟。 另外，這也適用于其他三角函數，即如果把x換成ax，在求導數的時候，前面就會有一個系數a。 例如，tan(x) 對 x 的導數為 sec ^{2}(x)，因此 tan(2x) 的導數為 2 sec ^{2}(2x)； csc (x) 的導數是 - csc (x) cot (x) ，因此 csc (19x) 的導數是 -19csc (19x) cot (19x) 。
最后，我想補充一個有用的結論：
\ 正弦 (x)
但復習筆記中并沒有寫證明過程。 互聯網上有很多信息。
結尾
本章回顧了三角函數的一些極限和導數，下一章回顧了隱函數求導的相關知識。
這個系列主要是我用來記錄復習筆記的。 我會繼續寫下去。 如果您對本系列有什么建議，歡迎提出~
謝謝閱讀。 如果您發現任何錯誤，請告訴我。 謝謝~
