物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可以用下式表示，回轉(zhuǎn)半徑定義為（8.1.35）。 對于具有相同幾何形狀的均質(zhì)物體，它們的回轉(zhuǎn)半徑相同。 由上式可知，有106個(gè)(8.1.36)。 本書附錄列出了幾種常見同質(zhì)物體幾何形狀的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑，供讀者參考。 半徑為r，外圓上纏繞一根細(xì)繩。 繩索的一端系在重物B驅(qū)動(dòng)的固定軸O上，當(dāng)重物B繞固定軸O旋轉(zhuǎn)時(shí)，重物B下落的加速度即為加速度。 以輪子A、繩子和重物B為研究對象。 輪子繞軸線O為固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，重物作直線運(yùn)動(dòng)。 設(shè)圓輪的角速度和角加速度分別為ω。 將粒子系統(tǒng)的動(dòng)量矩定理應(yīng)用到定軸上。 對上式左邊gr求導(dǎo)后，可寫為gr。 前面導(dǎo)出的動(dòng)量矩定理要求力矩 O 的中心必須是慣性參考。 系統(tǒng)中點(diǎn)固定，給實(shí)際應(yīng)用帶來一定的不便。 對于任意移動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)量矩定理具有更復(fù)雜的形式。 然而，粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理在形式上與粒子系統(tǒng)相對于固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理保持相同。 以慣性參考系為固定坐標(biāo)系Oxyz，建立跟隨質(zhì)心C平移的坐標(biāo)系Cx′y′z′，稱為質(zhì)心平移坐標(biāo)系。 如圖8-5所示，固定坐標(biāo)系Oxyz與移動(dòng)坐標(biāo)系Cx′之間的y′z′中矢量直徑分別為r。 圖8-5中平移坐標(biāo)系相對于質(zhì)心的絕對速度和運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Cx′y′z′的相對速度分別在固定坐標(biāo)系Oxyz (8.1. 37) 中動(dòng)量矩質(zhì)心平移坐標(biāo)系中粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的坐標(biāo)為(8.1.38)。 固定坐標(biāo)系中粒子系統(tǒng)相對于O點(diǎn)的絕對運(yùn)動(dòng)動(dòng)量矩為(8.1.39)。 方程 (8.1.37 ) 將第一個(gè)方程代入方程 (8.1.39) 得到 (8.1.40) 然后將方程 (8.1.37) 中的第二個(gè)方程代入方程 (8.1.40) 右邊第二項(xiàng)）得出（8.1.41）。 注 ，其中 m 為粒子系統(tǒng)的總質(zhì)量，式（8.1.41）可寫為式（8.1.38），式（8.1.42）右邊最后一項(xiàng)最終為 L 的動(dòng)量得到 (8.1.45) 該力矩等于質(zhì)心矢量半徑與粒子系統(tǒng)動(dòng)量的矢量積以及粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩的矢量和相對于質(zhì)心的平移坐標(biāo)系。
由粒子系統(tǒng)的動(dòng)量定理表達(dá)式(8.1.17)到不動(dòng)點(diǎn)，代入方程(8.1.45)，得(8.1.46) 求導(dǎo)后，得(8.1.47)。 注意，(8.1.49) 方程(8.1.47)可以重寫為(8.1.50)。 上式右邊第一項(xiàng)是r′，它是粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心平移坐標(biāo)系的動(dòng)量矩。 計(jì)算中必須使用粒子的相對速度。 事實(shí)上，可以用絕對速度來代替。 由式(8.1.37)和式(8.1.38)可得 (8.1.52) 由質(zhì)心的定義可知，式右邊第二項(xiàng)等于0，第一項(xiàng)為粒子相對于粒子系統(tǒng)的絕對速度。 質(zhì)心動(dòng)量矩的矢量和，即粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩，記為L。因此， (8.1.53) (8.1.54)方程（8.1.54）解釋說，粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩為 時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于外力系統(tǒng)相對于質(zhì)心的主矩。 該定律稱為粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。 比較式（8.1.22）和式（8.1.54）可以發(fā)現(xiàn)，粒子系統(tǒng)相對于不動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理和相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理在數(shù)學(xué)形式上是相同的。 本節(jié)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表明，粒子系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)只與外力系統(tǒng)的主矢量有關(guān)，與外力系統(tǒng)的分布無關(guān)。 本節(jié)中粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理也表明，粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩的變化率取決于外力系統(tǒng)的主矩。 因此，通過兩個(gè)力系的特征量動(dòng)量矩定理表達(dá)式，外力系的主矢量和相對于質(zhì)心的主力矩，與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和相對于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來可以分別建立粒子系統(tǒng)。
對于六個(gè)自變量描述的剛體運(yùn)動(dòng)動(dòng)量矩定理表達(dá)式，由于動(dòng)量定理提供了三個(gè)方程，相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理也提供了三個(gè)方程，因此動(dòng)力學(xué)方程是封閉的。 需要注意的是，對于粒子系統(tǒng)的動(dòng)量矩定理，所取的矩中心已經(jīng)從固定點(diǎn)擴(kuò)展到了特殊的移動(dòng)點(diǎn)，例如質(zhì)心。 除質(zhì)心外，一般來說，關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理還應(yīng)增加與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)有關(guān)的附加項(xiàng)，而不能應(yīng)用方程（8.1.54）的形式。 當(dāng)然，在一定條件下，對于某些動(dòng)點(diǎn)（如瞬時(shí)速度中心）在一定條件下，上述形式的動(dòng)量矩定理仍然可以成立。 因此，應(yīng)用該定理時(shí)請注意這一限制。 圖8-6 剛體109的平面運(yùn)動(dòng)
