(1) 相對(duì)于點(diǎn)的力矩
選取空間中的某一點(diǎn) O，作用力 vec F 相對(duì)于 O 的力矩定義為從 O 到作用點(diǎn) vec F 的位置向量 vec r 與 vec F 的叉積，通常寫為 vec M ，數(shù)學(xué)形式寫為 vec M=vec rtimesvec F 。 直角坐標(biāo)系中力矩的分量形式可以寫成行列式vec M= begin{} hat i & hat j & hat k\ x & y & z\ F_x & F_y & F_z\ end{} 。
(2) 相對(duì)于軸的力矩
在空間中選取某一軸S，該軸上記錄的單位向量為hat s。 作用力 vec F 定義為相對(duì)于 S 的力矩。力 vec F 是相對(duì)于軸 S 上任意點(diǎn) A 在 S 方向上的力矩。 on 的分量通常寫為 vec {M_S}，數(shù)學(xué)形式可以寫為 vec {M_S} =(vec {M_A} cdot hat s)hat s =vec d times vec {F_bot }，其中 vec d 表示從 S 上任意一點(diǎn)到 vec F 作用點(diǎn)的向量，vec {F_bot} 表示 vec F 在由軸和作用點(diǎn)。
從定義可以看出，力相對(duì)于軸的力矩為零的情況有兩種：力的作用線與軸相交；力的作用線與軸相交；力的作用線與軸相交。 力平行于軸。
沖量和角動(dòng)量
前面的第三講定義了沖量和動(dòng)量來描述粒子的外部效應(yīng)和運(yùn)動(dòng)。 本講定義的沖量距離和角動(dòng)量可以對(duì)應(yīng)前兩者，也可以描述粒子的外部效應(yīng)。 情況和運(yùn)動(dòng)情況，但這兩組量在不同的模型和不同的條件下具有不同的復(fù)雜程度，并且各有其適用的情況。 以下是沖矩和角動(dòng)量的具體定義：
脈沖矩：時(shí)刻的積分： int_{t_1}^{t_2}vec Mdt 。 （沖量矩好像沒有具體的符號(hào)，也許在特定的領(lǐng)域會(huì)有一個(gè)符號(hào)來表示它。需要注意的是，由于沖量可以分為相對(duì)點(diǎn)和相對(duì)軸兩種類型，所以沖量力矩也可以分為兩種：相對(duì)點(diǎn)和相對(duì)軸（類，下面的角動(dòng)量也可以分為兩種：相對(duì)點(diǎn)和相對(duì)軸）
角動(dòng)量：
(1) 質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)的角動(dòng)量
O 是空間中的某一點(diǎn)，質(zhì)量為 m、速度為 v 的質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定義為從 O 到質(zhì)點(diǎn)的位置向量與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的叉積，記為 vec L，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 vec L= vec r times mvec v ，在直角坐標(biāo)系中的分量形式可表示為 vec L= begin{} hat i & hat j & hat k \ x & y & z \ P_x & P_y & P_z\ end{} 。
(2) 質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于軸的角動(dòng)量
這與“力相對(duì)于軸的力矩”的定義完全一致，只不過將力 vec F 換成了粒子的動(dòng)量 mvec v，所以數(shù)學(xué)形式寫為 vec {L_S} =(vec {L_A} cdot hat s)hat s =vec d times mvec {v_bot} 。
正如一開始提到的，沖量矩類似于沖量，角動(dòng)量類似于動(dòng)量。 因此動(dòng)量守恒定理推導(dǎo)，需要注意的是，沖量矩和沖量都是過程量，角動(dòng)量和動(dòng)量都是狀態(tài)量。
角動(dòng)量定理
(1) 粒子角動(dòng)量定理
某個(gè)過程中質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的變化等于該過程中質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)歷的沖量矩。 （除非另有說明，同一公式中出現(xiàn)的角動(dòng)量和沖矩應(yīng)同時(shí)為相對(duì)軸或相對(duì)點(diǎn)，且不能交叉出現(xiàn)）
微分形式： d vec L=vec M dt
積分形式： vec {L_2} - vec {L_1} = int_{t_1}^{t_2} vec M dt
推導(dǎo)：
frac {d vec L} {dt} = frac txrzbvzd {dt} (vec r times mvec v) =vec v times m vec v + vec r times vec F
等式右邊第一項(xiàng)為0，從而得到微分形式 d vec L=vec M dt ，然后將兩邊隨時(shí)間積分得到積分形式。
(2) 粒子系統(tǒng)角動(dòng)量定理
某一過程中粒子系統(tǒng)角動(dòng)量的變化量等于粒子系統(tǒng)在該過程中所受到的“外力”沖量矩之和。 也就是說，粒子系統(tǒng)中任意一對(duì)內(nèi)力的沖量矩為零。 ，推導(dǎo)如下：
vec L = sum_{i}^{}{vec {r_i} times m_i vec {v_i}}
frac {d vec L}{dt} = sum_{i}{vec {M_i}}
frac {d vec L}{dt} = sum_{i}{vec {M_{i外}}} + sum_{i} sum_{j,j ne i}{vec {M_{ ji}}}
其中，vec{M_{ji}}表示第j個(gè)粒子對(duì)第i個(gè)粒子施加的力的力矩。 顯然動(dòng)量守恒定理推導(dǎo)，上式第二項(xiàng)為零，因此我們得到
d vec L = sum_i vec{M_{i外}}dt
角動(dòng)量守恒定律
顯然，如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)）相對(duì)于某一點(diǎn)（定軸）的力矩總和（外力矩之和）始終為零，則質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)）相對(duì)于該點(diǎn)的角動(dòng)量（軸）是守恒。 在理論力學(xué)中，機(jī)械系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒代表了機(jī)械系統(tǒng)的空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。 第三講提到機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)量守恒代表了機(jī)械系統(tǒng)的空間平移對(duì)稱性。 從這個(gè)角度我們可以更深層次地理解角動(dòng)量和動(dòng)量的區(qū)別。
概括
本次講座主要介紹兩個(gè)物理量：沖量矩和角動(dòng)量，然后介紹兩者之間的關(guān)系——角動(dòng)量定理，最后簡(jiǎn)單討論角動(dòng)量守恒定律。
