(1) 相對于點的力矩
選取空間中的某一點 O，作用力 vec F 相對于 O 的力矩定義為從 O 到作用點 vec F 的位置向量 vec r 與 vec F 的叉積，通常寫為 vec M ，數學形式寫為 vec M=vec rtimesvec F 。 直角坐標系中力矩的分量形式可以寫成行列式vec M= begin{} hat i & hat j & hat k\ x & y & z\ F_x & F_y & F_z\ end{} 。
(2) 相對于軸的力矩
在空間中選取某一軸S，該軸上記錄的單位向量為hat s。 作用力 vec F 定義為相對于 S 的力矩。力 vec F 是相對于軸 S 上任意點 A 在 S 方向上的力矩。 on 的分量通常寫為 vec {M_S}，數學形式可以寫為 vec {M_S} =(vec {M_A} cdot hat s)hat s =vec d times vec {F_bot }，其中 vec d 表示從 S 上任意一點到 vec F 作用點的向量，vec {F_bot} 表示 vec F 在由軸和作用點。
從定義可以看出，力相對于軸的力矩為零的情況有兩種：力的作用線與軸相交；力的作用線與軸相交；力的作用線與軸相交。 力平行于軸。
沖量和角動量
前面的第三講定義了沖量和動量來描述粒子的外部效應和運動。 本講定義的沖量距離和角動量可以對應前兩者，也可以描述粒子的外部效應。 情況和運動情況，但這兩組量在不同的模型和不同的條件下具有不同的復雜程度，并且各有其適用的情況。 以下是沖矩和角動量的具體定義：
脈沖矩：時刻的積分： int_{t_1}^{t_2}vec Mdt 。 （沖量矩好像沒有具體的符號，也許在特定的領域會有一個符號來表示它。需要注意的是，由于沖量可以分為相對點和相對軸兩種類型，所以沖量力矩也可以分為兩種：相對點和相對軸（類，下面的角動量也可以分為兩種：相對點和相對軸）
角動量：
(1) 質點相對于點的角動量
O 是空間中的某一點，質量為 m、速度為 v 的質點的角動量定義為從 O 到質點的位置向量與質點動量的叉積，記為 vec L，其數學表達式為 vec L= vec r times mvec v ，在直角坐標系中的分量形式可表示為 vec L= begin{} hat i & hat j & hat k \ x & y & z \ P_x & P_y & P_z\ end{} 。
(2) 質點相對于軸的角動量
這與“力相對于軸的力矩”的定義完全一致，只不過將力 vec F 換成了粒子的動量 mvec v，所以數學形式寫為 vec {L_S} =(vec {L_A} cdot hat s)hat s =vec d times mvec {v_bot} 。
正如一開始提到的，沖量矩類似于沖量，角動量類似于動量。 因此動量守恒定理推導，需要注意的是，沖量矩和沖量都是過程量，角動量和動量都是狀態量。
角動量定理
(1) 粒子角動量定理
某個過程中質點角動量的變化等于該過程中質點所經歷的沖量矩。 （除非另有說明，同一公式中出現的角動量和沖矩應同時為相對軸或相對點，且不能交叉出現）
微分形式： d vec L=vec M dt
積分形式： vec {L_2} - vec {L_1} = int_{t_1}^{t_2} vec M dt
推導：
frac {d vec L} {dt} = frac txrzbvzd {dt} (vec r times mvec v) =vec v times m vec v + vec r times vec F
等式右邊第一項為0，從而得到微分形式 d vec L=vec M dt ，然后將兩邊隨時間積分得到積分形式。
(2) 粒子系統角動量定理
某一過程中粒子系統角動量的變化量等于粒子系統在該過程中所受到的“外力”沖量矩之和。 也就是說，粒子系統中任意一對內力的沖量矩為零。 ，推導如下：
vec L = sum_{i}^{}{vec {r_i} times m_i vec {v_i}}
frac {d vec L}{dt} = sum_{i}{vec {M_i}}
frac {d vec L}{dt} = sum_{i}{vec {M_{i外}}} + sum_{i} sum_{j,j ne i}{vec {M_{ ji}}}
其中，vec{M_{ji}}表示第j個粒子對第i個粒子施加的力的力矩。 顯然動量守恒定理推導，上式第二項為零，因此我們得到
d vec L = sum_i vec{M_{i外}}dt
角動量守恒定律
顯然，如果一個質點（質點系統）相對于某一點（定軸）的力矩總和（外力矩之和）始終為零，則質點（質點系統）相對于該點的角動量（軸）是守恒。 在理論力學中，機械系統的角動量守恒代表了機械系統的空間旋轉對稱性。 第三講提到機械系統的動量守恒代表了機械系統的空間平移對稱性。 從這個角度我們可以更深層次地理解角動量和動量的區別。
概括
本次講座主要介紹兩個物理量：沖量矩和角動量，然后介紹兩者之間的關系——角動量定理，最后簡單討論角動量守恒定律。
