如圖1所示，假設(shè)杠桿左端的重量為m_1g，則力臂L_1； 杠桿右端的重量為m_2g，力臂L_2； 杠桿與水平線之間的夾角θ，則系統(tǒng)繞支撐件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：
J=^2+^2
系統(tǒng)受到支撐力矩的影響：
M=costheta-costheta
=(-)gcostheta
杠桿轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為：
M=Jddot{theta}
代入 J,M 表達(dá)式我們得到：
ddot{theta}=pcosthetaqquad(1)
其中參數(shù)：
p=frac{(-)g}{^2+^2}
積分式(1)可得：
dot{theta}^2=2psintheta+dot{}^2-2psin
假設(shè)系統(tǒng)在水平位置θ=0處從靜止釋放，并以此作為初始狀態(tài)，則：
=點(diǎn){}=0
因此有：
dot{theta}^2=2psinthetaqquad(2)
假設(shè)杠桿系統(tǒng)的質(zhì)心距支座的距離L_c，則：
L_c=frac{-}{m_1+m_2}
寫出系統(tǒng)質(zhì)心向右上方的位置坐標(biāo)：
x=-L_ccostheta;y=-L_csintheta
用它來(lái)計(jì)算質(zhì)心加速度：
ddot{x}=L_c(costhetadot{theta}^2+sinthetaddot{theta})
ddot{y}=L_c(sinthetadot{theta}^2-costhetaddot{theta})
考慮方程（1）和（2），質(zhì)心加速度相對(duì)于旋轉(zhuǎn)角度的函數(shù)為：
ddot{x}=3pL_csinthetacostheta
ddot{y} =-pL_c(1-3sin^2theta)
注意到支架的水平??和垂直支撐力分別為N_x、N_y陀螺力矩計(jì)算公式，則杠桿系統(tǒng)的平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為：
N_x=(m_1+m_2)ddot{x}=3pL_c(m_1+m_2)sinthetacostheta
N_y-(m_1+m_2)g=(m_1+m_2)ddot{y}
=-(m_1+m_2)pL_c(1-3sin^2theta)
整理并得到支撐反力的通式：
begin{cases} N_x=(m_1+m_2)gleft(frac{3}{2}etasin2thetaright)\ N_y=(m_1+m_2)gleft[1-eta (1-3sin^2theta)right] end{情況} qquad(3)
其中，無(wú)量綱參數(shù)為：
eta=pL_c/g=frac{(-)^2}{(^2+^2)(m_1+m_2)}in[0,1]
它反映了杠桿系統(tǒng)的失衡程度。 eta=0 代表平衡杠桿。 η越大表示不平衡程度越大。 eta=1代表最嚴(yán)重的不平衡程度。
2. 計(jì)算示例
本題已知：m_1g=m_2g=100N 且L_1=1m；L_2=2m。 據(jù)此，計(jì)算系統(tǒng)不平衡測(cè)量參數(shù)：
eta=frac{(L_1-L_2)^2}{2(L_1^2+L_2^2)}=0.1
以及總重量：
(m_1+m_2)g=200N
代入式（3）可得支撐反力：
begin{事例} N_x=30sin2theta\ N_y=200left(0.9+0.3sin^2thetaright) end{事例}
給定任意位置角θ陀螺力矩計(jì)算公式，都可以立即獲得反作用力值。 容易看出，對(duì)于所有位置，反作用力值都限制在以下范圍內(nèi)：
begin{cases} 0leq|N_x|=|30sin2theta|leq30\ 180leq|N_y|=|200left(0.9+0.3sin^2thetaright)| 結(jié)束{案例}
可以看出，支架的垂直反作用力可以小于或大于系統(tǒng)自重（180N<200N<240N）。 這是因?yàn)楫?dāng)杠桿系統(tǒng)不平衡時(shí)，質(zhì)心可能有向下或向上的加速度，因此系統(tǒng)受到不同方向的慣性力，導(dǎo)致支撐件的垂直反作用力在系統(tǒng)附近上下擺動(dòng)。自身重量。
