如圖1所示，假設杠桿左端的重量為m_1g，則力臂L_1； 杠桿右端的重量為m_2g，力臂L_2； 杠桿與水平線之間的夾角θ，則系統繞支撐件的轉動慣量：
J=^2+^2
系統受到支撐力矩的影響：
M=costheta-costheta
=(-)gcostheta
杠桿轉動的動力學方程為：
M=Jddot{theta}
代入 J,M 表達式我們得到：
ddot{theta}=pcosthetaqquad(1)
其中參數：
p=frac{(-)g}{^2+^2}
積分式(1)可得：
dot{theta}^2=2psintheta+dot{}^2-2psin
假設系統在水平位置θ=0處從靜止釋放，并以此作為初始狀態，則：
=點{}=0
因此有：
dot{theta}^2=2psinthetaqquad(2)
假設杠桿系統的質心距支座的距離L_c，則：
L_c=frac{-}{m_1+m_2}
寫出系統質心向右上方的位置坐標：
x=-L_ccostheta;y=-L_csintheta
用它來計算質心加速度：
ddot{x}=L_c(costhetadot{theta}^2+sinthetaddot{theta})
ddot{y}=L_c(sinthetadot{theta}^2-costhetaddot{theta})
考慮方程（1）和（2），質心加速度相對于旋轉角度的函數為：
ddot{x}=3pL_csinthetacostheta
ddot{y} =-pL_c(1-3sin^2theta)
注意到支架的水平??和垂直支撐力分別為N_x、N_y陀螺力矩計算公式，則杠桿系統的平動動力學方程為：
N_x=(m_1+m_2)ddot{x}=3pL_c(m_1+m_2)sinthetacostheta
N_y-(m_1+m_2)g=(m_1+m_2)ddot{y}
=-(m_1+m_2)pL_c(1-3sin^2theta)
整理并得到支撐反力的通式：
begin{cases} N_x=(m_1+m_2)gleft(frac{3}{2}etasin2thetaright)\ N_y=(m_1+m_2)gleft[1-eta (1-3sin^2theta)right] end{情況} qquad(3)
其中，無量綱參數為：
eta=pL_c/g=frac{(-)^2}{(^2+^2)(m_1+m_2)}in[0,1]
它反映了杠桿系統的失衡程度。 eta=0 代表平衡杠桿。 η越大表示不平衡程度越大。 eta=1代表最嚴重的不平衡程度。
2. 計算示例
本題已知：m_1g=m_2g=100N 且L_1=1m；L_2=2m。 據此，計算系統不平衡測量參數：
eta=frac{(L_1-L_2)^2}{2(L_1^2+L_2^2)}=0.1
以及總重量：
(m_1+m_2)g=200N
代入式（3）可得支撐反力：
begin{事例} N_x=30sin2theta\ N_y=200left(0.9+0.3sin^2thetaright) end{事例}
給定任意位置角θ陀螺力矩計算公式，都可以立即獲得反作用力值。 容易看出，對于所有位置，反作用力值都限制在以下范圍內：
begin{cases} 0leq|N_x|=|30sin2theta|leq30\ 180leq|N_y|=|200left(0.9+0.3sin^2thetaright)| 結束{案例}
可以看出，支架的垂直反作用力可以小于或大于系統自重（180N<200N<240N）。 這是因為當杠桿系統不平衡時，質心可能有向下或向上的加速度，因此系統受到不同方向的慣性力，導致支撐件的垂直反作用力在系統附近上下擺動。自身重量。
