背景和基本假設(shè)
狹義相對(duì)論的基本假設(shè)：
1.物理定律在所有慣性系統(tǒng)中具有不變的形式（物理定律的形式保持不變，所有慣性系統(tǒng)的地位平等）
2. 自由空間中的光速保持不變
得到了洛倫茲變換、速度變換和加速度變換的運(yùn)動(dòng)學(xué)定律。
相對(duì)論速度變換如下（S'相對(duì)于S，v沿x軸正方向移動(dòng)）：
begin{cases}u_x'= frac{u_x-v}{1- frac{vu_x}{c^2} }\u_y'= frac{u_y sqrt{1- frac{v^2} {c^2} } }{1- frac{vu_x}{c^2}} \u_z'= frac{u_z sqrt{1- frac{v^2}{c^2} } }{ 1- frac{vu_x}{c^2}} end{cases}\
在洛倫茲變換下，加速度不是不變量，與牛頓力學(xué)不一致。 現(xiàn)在我們希望獲得符合相對(duì)論原理的新的動(dòng)力學(xué)定律。
在推導(dǎo)加速度變換時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)形式極其復(fù)雜，因此推測力和加速度在牛頓力學(xué)中不再占據(jù)主導(dǎo)地位； 動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律可能更為重要。
現(xiàn)在我們希望在承認(rèn)相對(duì)性原理以及所有慣性系統(tǒng)中孤立系統(tǒng)動(dòng)量和能量守恒的基礎(chǔ)上找到動(dòng)量、能量和力的具體定義和表示。
導(dǎo)出動(dòng)量形式的想法
由于能量和力的具體形式尚未獲得，因此應(yīng)避免使用。
想象動(dòng)量以 {p}=m(u){u} 的形式表示。
為了避免涉及力的形式，可以研究兩個(gè)粒子的碰撞。 當(dāng)討論碰撞滿足動(dòng)量守恒、能量守恒和相對(duì)性原理時(shí)，動(dòng)量應(yīng)滿足的條件實(shí)際上就是質(zhì)量m(u)應(yīng)滿足的條件。
但粒子碰撞還涉及到“機(jī)械能是否守恒”的問題。 無論碰撞是“彈性”還是“非彈性”，由于能量的具體形式尚未確定，因此很難確定碰撞后的速度。 對(duì)于這個(gè)問題，在下面的分析中繼續(xù)討論——我們會(huì)發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵在于“初始條件是對(duì)稱的”。
使用完美彈性碰撞導(dǎo)出
在承認(rèn)能量守恒的基礎(chǔ)上，我們認(rèn)為“完全彈性碰撞”所要求的“機(jī)械能守恒”也是可以發(fā)生的。 但如上所述，能量的具體形式尚未得到，很難判斷滿足機(jī)械能守恒定律的速度結(jié)果。 那么，將其命名為“使用完美彈性碰撞的推導(dǎo)”是否不合適？
然而，正如您將在下面看到的，方法（1）和（3）使用對(duì)稱性來直接斷言基于機(jī)械能守恒的碰撞后速度； 方法（2）不能直接根據(jù)機(jī)械能守恒來判斷，但實(shí)際上也隱含著“機(jī)械能守恒”。 ”條件，因此這三種方法在這里被稱為“完全彈性碰撞推導(dǎo)”。
方法一）
假設(shè)S0參考系中有兩個(gè)相同的粒子（質(zhì)量m(u)的函數(shù)形式、形狀等都相同，簡言之，它們是相同的），以完全相同的速度向?qū)Ψ竭\(yùn)動(dòng)率，總動(dòng)量為0，碰撞后可以相互形成一定角度離開（非中心碰撞）。
為了滿足動(dòng)量守恒，碰撞后粒子的速度必須完全相反。 顆粒是完全一樣的。 為了滿足對(duì)稱性，碰撞后兩個(gè)粒子之間的速度應(yīng)該完全相同。 假定這種碰撞是完全彈性碰撞并且滿足“機(jī)械能守恒”。 那么碰撞后的速度就與碰撞前相同——碰撞前后的所有物理量都相同。 由此可以得出“碰撞是滿足機(jī)械能守恒的彈性碰撞”。
至此，利用對(duì)稱性和機(jī)械能守恒，S0處的碰撞情況已經(jīng)完全確定。 它還必須滿足相對(duì)論的變換條件——在另一個(gè)參考系S1中，它也滿足動(dòng)量守恒。
令u_x=v。
在粒子 A 和 B 的對(duì)稱軸上建立如圖所示的坐標(biāo)。為了便于計(jì)算，假設(shè) S1 相對(duì)于 S0 以 v 的方式沿 x 軸負(fù)方向移動(dòng)，因此粒子 B 沒有水平速度。
S1 滿足 y 方向動(dòng)量守恒，可得：
m(u_1')u_y'=m(u_2')u_2'\
A粒子S0和S1之間的速度變換關(guān)系滿足：
u_y= frac{u_y' sqrt{1- frac{v^2}{c^2} } }{1- frac{vu_x'}{c^2}} , v= frac{u_x'- v}{1- frac{vu_x'}{c^2} }\
B粒子S0和S1之間的速度變換關(guān)系滿足：
u_y= {u_2 sqrt{1- frac{v^2}{c^2} }}\
計(jì)算：
frac{u_2'}{u_y'}= frac{1}{1- frac{vu_x'}{c^2} }\
v= frac{c^2}{u_x'}(1- sqrt{1- frac{u_x'^2}{c^2} } )\
因此有：
m(u_1')= frac{m(u_2')}{1- frac{vu_x'}{c^2} }\
m(u_1')= frac{m(u_2')}{sqrt{1- frac{u_x'^2}{c^2} }}\
取u_y=u_y'=0，則S1中粒子B靜止，粒子A的速度為u_x'，如下：
m(u_x')= frac{m(0)}{sqrt{1- frac{u_x'^2}{c^2} }}\
即質(zhì)量變換關(guān)系。
方法二）
假設(shè)在S1中，相同粒子A和B碰撞，碰撞前速度為u_1'和u_2'，A的速度分量為u_x'和u_y'，B沒有水平速度分量。
S2相對(duì)于S1沿x軸向前移動(dòng)u_x'，預(yù)碰撞速度在S2中對(duì)稱。
令u_x'=v。
為了滿足S1到S2變換前后速度的對(duì)稱性，有：
u_y'=u_2'{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}\
假設(shè)在S1中，B以相反方向反彈，速度為{u_2'}
（注：這里很難根據(jù)“滿足機(jī)械能守恒的彈性碰撞”求得碰撞后速度，因?yàn)榕鲎睬皟蓚€(gè)球的速度不同，無法根據(jù)對(duì)稱性求得結(jié)果兩個(gè)球的能量形式是未知的；但“機(jī)械能守恒”實(shí)際上隱藏在S1和S2之間變換的對(duì)稱性中，下面可以看到）根據(jù)前后速度的對(duì)稱性從S1到S2變換后，S2中的A也以{u_2'}返回到原來的路徑，沒有水平速度
所以碰撞后A在S1中的水平速度仍為v。
S1中水平方向動(dòng)量守恒，為：
m({u_1})v=m({u_1'})v\
A和B是相同粒子，質(zhì)量m(u)的函數(shù)形式相同，所以有：
{u_1}={u_1'}\
因此，我們也有{u_2}={u_2'}，并且S1中碰撞前后的速度是對(duì)稱的（因此現(xiàn)在可以斷言機(jī)械能守恒）。
至此，利用參考系變換前后速度的對(duì)稱性和x'方向動(dòng)量守恒，S1中的碰撞情況已經(jīng)完全確定。
它還必須滿足y'方向動(dòng)量守恒，因此有：
m(u_1')u_y'=m(u_2')u_2'\
現(xiàn)在：
m(u_1')=frac{m(u_2')}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}\
取u_y'=0，則S1中的粒子B靜止，粒子A的速度為v，如下：
m(v)= frac{m(0)}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} }}\
即質(zhì)量變換關(guān)系。
方法(3)
你有沒有發(fā)現(xiàn)，S0、S1、S2都是同一個(gè)碰撞情況在不同參考系下的表現(xiàn)？
假設(shè) S0 參考系中有兩個(gè)相同的粒子以完全相同的速度向彼此運(yùn)動(dòng)。 碰撞后，它們可以以一定的角度離開對(duì)方。
由于彈性碰撞中機(jī)械能的對(duì)稱性和守恒性（見式（1）），確定了 S0 中碰撞前后的速度，它們是相同的。
假設(shè)S1相對(duì)于S0沿x軸負(fù)方向移動(dòng)u_x，S2相對(duì)于S0沿x軸正方向移動(dòng)u_x，則S1和S2的速度一定是對(duì)稱的。
圖像
得到了各參考系中碰撞前后的速度關(guān)系。
S1和S2的速度變換滿足：
u_y'=u_2'{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}\
然后令S2滿足動(dòng)量守恒，則可按式(2)同樣得到質(zhì)量變換關(guān)系。
討論
事實(shí)上動(dòng)量守恒定律的三個(gè)形成條件，S0、S1、S2都是同一碰撞情況在不同參考系下的表現(xiàn)。 方法(3)充分利用了對(duì)稱性。
在推導(dǎo)（1）和（2）時(shí)，你可能會(huì)隱約感到不爽——
(1)雖然充分利用了同質(zhì)粒子的對(duì)稱性，但從S0到S1的速度變換缺乏對(duì)稱性，計(jì)算過于復(fù)雜。
(2) 雖然充分利用了S1到S2速度變換的對(duì)稱性，但很難直接得到結(jié)果{u_1}={u_1'}。 只有通過參考系變換的對(duì)稱性才能得到{u_1}={u_1' }，直接利用“機(jī)械能量守恒”條件實(shí)際上是很難的。
原因在于，（1）和（2）都沒有真正從改變參照系的角度“看到全貌”——
通過(3)我們可以發(fā)現(xiàn)，S0就像參考系變換中S1和S2之間的“對(duì)稱中心”。
(2)中S1和S2之間必然存在完全對(duì)稱的情況S0。 (2)中的假設(shè)確實(shí)滿足“機(jī)械能守恒”。 (1)中的S1也必須能夠得到另一個(gè)參考系中的對(duì)稱情況S2。 。
事實(shí)上，后來可以發(fā)現(xiàn)，這樣的碰撞系統(tǒng)的機(jī)械能在慣性系中是守恒的，相同粒子的碰撞總是可以通過適當(dāng)?shù)膮⒖枷底儞Q轉(zhuǎn)化為S0中相同速度的相對(duì)碰撞。
完全非彈性碰撞
完全非彈性碰撞
這里的“完全非彈性碰撞”僅指兩個(gè)小球碰撞成一個(gè)物體。 由于能量形式尚不清楚，因此無法寫出具體的能量關(guān)系。 因此，速度設(shè)定在“彈性碰撞”的推導(dǎo)中仍然采用對(duì)稱性。 如果完全不使用對(duì)稱性，將很難獲得碰撞后速度——會(huì)出現(xiàn)無法列出的問題（實(shí)際上必須全部設(shè)置為未知數(shù)），或者必須添加其他假設(shè)（不正確的假設(shè)可能會(huì)因違反能量守恒定律而導(dǎo)致錯(cuò)誤）。 如果使用過多的對(duì)稱性（相同小球的中心到中心彈性碰撞），則所有碰撞情況都將通過對(duì)稱性得知，列出的公式毫無意義。 最終，這取決于與靜態(tài)質(zhì)量的關(guān)系。 需要采用先有速度再趨于0的方法（以獲得速度的存在所帶來的質(zhì)量關(guān)系）。 如果速度選擇不當(dāng)，將很難獲得與靜態(tài)質(zhì)量的關(guān)系。 這是有關(guān)系的。
S0中兩個(gè)相同的小球以相同的速度相對(duì)碰撞。 碰撞前，S1和S2存在上述對(duì)稱速度關(guān)系。
碰撞后，由于S0中動(dòng)量守恒，球處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此S1和S2中y方向沒有速度。 質(zhì)量公式可由動(dòng)量守恒得到。
如果不使用S0而只使用S1和S2，則相當(dāng)于缺少一個(gè)對(duì)稱條件。 由于碰撞后速度未知，并且沒有可用于獲取碰撞后速度的能量關(guān)系或?qū)ΨQ性，因此您需要對(duì) y 方向上的碰撞后速度做出額外假設(shè)。 在此基礎(chǔ)上，我們?cè)倮脤?duì)稱性和速度變換來解決問題，如下（如果缺少一個(gè)對(duì)稱條件，就必須用速度變換來彌補(bǔ)，需要更多的計(jì)算和判斷。如果沒有對(duì)稱條件，恐怕無從下手。）：
沒有S0的推導(dǎo)需要更多的計(jì)算和充分性和必要性的判斷。
以上就是質(zhì)量變換的三個(gè)推導(dǎo)。
我們僅根據(jù)相對(duì)論原理、動(dòng)量守恒和能量守恒（特別是彈性碰撞中的機(jī)械能守恒），利用對(duì)稱性就得到了動(dòng)量的形式。
但這只是對(duì)對(duì)稱碰撞情況的討論。 基于動(dòng)量形式的假設(shè)，所獲得的動(dòng)量應(yīng)滿足形式。 它包含假設(shè)并且是必要條件。
因此，實(shí)際上需要逆向證明充分性：如果動(dòng)量采用這種形式，在洛倫茲變換下，確實(shí)存在“孤立系統(tǒng)的動(dòng)量在所有慣性系統(tǒng)中守恒”。
即如果慣性系S內(nèi)動(dòng)量守恒：
sum{{p}}_i= sum{{u}}_i=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i^2}{c ^2}}} } }{{u}}_i=const\
那么在另一個(gè)慣性系S'中也存在動(dòng)量守恒：
sum{{p}}_i'= sum{{u}}_i'=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i'^2 {c^2}}} } }{{u}}_i'=const\
下面將證明其充分性。
假設(shè)S'隨v相對(duì)于S沿x軸正方向移動(dòng)，則動(dòng)量變換公式計(jì)算為：
begin{cases}p_x'= frac{p_x}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} } }-frac{m_0v}{{sqrt{1- frac{u ^2}{c^2} }}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} }}} \p_y'=p_y \p_z'=p_z end{cases}\
你會(huì)發(fā)現(xiàn)，判斷p_y'和p_z'的守恒性沒有什么困難，但是p_x'多了一項(xiàng)，就很難判斷守恒性了。
這是因?yàn)橥浟艘患拢喝缟纤觯谕茖?dǎo)動(dòng)量形式的過程中，還有一個(gè)基本假設(shè)：能量守恒成立。 這個(gè)條件目前還沒有被使用過。
這里需要使用特定形式的能量。 由于上面已經(jīng)得到了動(dòng)量的形式，因此可以推導(dǎo)出并利用能量的具體形式。
首先明確力的具體形式——仍然保留牛頓力學(xué)“作用在質(zhì)點(diǎn)上的力等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化率”的定義，即：
{F}= frac{textlf7dxdb{p}}{textlzrblhvt}\
然后推導(dǎo)出能量的具體形式。
仍然保留牛頓力學(xué)中功的定義和動(dòng)能定理“力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增加”，即：
W= int_{a}^{b} {F} cdot{textrxxrdj7{r}}=E_{k2}-E_{k1}\
但動(dòng)能的形式發(fā)生了變化：
E_{k2}-E_{k1}= int_{a}^{b} frac{textvjhp7h7 {p} }{text57jtnvft} cdot {texthd7xj59 { r}}=int_{a}^{b} {textdpr7bp5 {p}} cdot frac{text577np7j {r} }{text79f9jp9t}= int_ {a}^{b} {u}cdottextnjjrtzn{p}= int_{a}^{b} frac{{p}cdottextzllvxdr{p} {m}\
筆記：
p={ frac{m_{0}}{ sqrt{1-{frac{u^2}{c^2}}} } }u\
m^2c^2-p^2=m_0^2c^2\
對(duì)兩邊求微分，我們得到：
{p}cdottext53zhxdb{p}=mc^2textbpnvx5bm\
代替：
E_{k2}-E_{k1}=int_{a}^{b} c^2textdrdv5nbm\
取初始狀態(tài)u=0，對(duì)應(yīng)的動(dòng)能E_{k1}=0，粒子質(zhì)量為m_0，有：
E_k=c^2int_{m_0}^{m}dm=mc^2-m_0c^2\
這是愛因斯坦的重要假設(shè)：粒子的總能量為E=mc^2，總能量等于動(dòng)能E_k和靜能m_0c^2之和。
會(huì)發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)假設(shè)下，低速時(shí)的動(dòng)能確實(shí)符合牛頓力學(xué)中的動(dòng)能形式； 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果也一致。
在這個(gè)能量定義下，如果S系統(tǒng)滿足能量守恒，即：
sum{E}_i=sum{i}{c^2}=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i'^2}{c^ 2}}} } {c^2}=const\
p_x 的最后一項(xiàng)也是守恒的：
p_x'= frac{p_x}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} } }-frac{m_0v}{{sqrt{1- frac{u^2}{c ^2} }}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} }}}=frac{p_x-{frac{vE}{c^2}}}{sqrt{1 - frac{v^2}{c^2} } }=const\
從而證明了S'中動(dòng)量守恒。
事實(shí)上，由于在獲取能量具體形式的過程中做了一定的假設(shè)動(dòng)量守恒定律的三個(gè)形成條件，我們也可以驗(yàn)證這種能量形式滿足原來的基本假設(shè)：能量在各個(gè)慣性系中是守恒的。
即如果慣性系S中存在能量守恒：
sum{E}_i= sum^2=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i^2}{c^2}}} } }c ^2=常量\
那么在另一個(gè)慣性系S'中也存在能量守恒：
sum{E}_i'= sum'c^2=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i'^2}{c^2}} } } }c^2=const\
假設(shè)S'隨著v相對(duì)于S沿x軸正方向移動(dòng)。 發(fā)現(xiàn)能量轉(zhuǎn)換公式滿足：
E'=frac{E-vp_x}{sqrt{1-{frac{v^2}{c^2}}}}\
那么如果 S 中動(dòng)量守恒且能量守恒，則 S' 中能量守恒。
在這樣的動(dòng)量和能量的定義下，如果能量守恒，則動(dòng)量守恒，反之亦然； 如果能量在慣性系中守恒，則動(dòng)量在慣性系中守恒，反之亦然。 兩者密不可分。
這樣的動(dòng)量和能量的定義也滿足了最初的基本假設(shè)：“孤立系統(tǒng)的動(dòng)量和能量在所有慣性系統(tǒng)中都是守恒的”。
這里的“完全非彈性碰撞”僅指兩個(gè)小球碰撞成一個(gè)物體。 由于能量形式尚不清楚，因此無法寫出具體的能量關(guān)系。 因此，速度設(shè)定在“彈性碰撞”的推導(dǎo)中仍然采用對(duì)稱性。 如果根本不使用對(duì)稱性，將很難獲得碰撞后速度——會(huì)出現(xiàn)無法公式化的問題，或者方程沒有意義，或者必須添加其他假設(shè)。
S0中兩個(gè)相同的小球以相同的速度相對(duì)碰撞。 碰撞前，S1和S2存在上述對(duì)稱速度關(guān)系。
碰撞后，由于S0中動(dòng)量守恒，球處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此S1和S2中y方向沒有速度。 質(zhì)量公式可由動(dòng)量守恒得到。
如果不使用S0而只使用S1和S2，則相當(dāng)于缺少一個(gè)對(duì)稱條件。 由于碰撞后速度未知，并且沒有可用于獲取碰撞后速度的能量關(guān)系或?qū)ΨQ性，因此您需要對(duì) y 方向上的碰撞后速度做出額外假設(shè)。 在此基礎(chǔ)上，我們?cè)倮脤?duì)稱性和速度變換來解決問題，如下（如果缺少一個(gè)對(duì)稱性條件，就必須用速度變換來彌補(bǔ)，需要更多的計(jì)算和判斷。如果沒有對(duì)稱性條件，恐怕無從下手。）：
總結(jié)
根據(jù)相對(duì)論、動(dòng)量守恒、能量守恒（特別是彈性碰撞中機(jī)械能守恒）的原理，我們做了適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，得到了動(dòng)量的具體形式，由此我們得到了力和力的具體形式。活力。
推導(dǎo)需要假設(shè)。 需要始終澄清推導(dǎo)的基本假設(shè)，避免引入太多新的假設(shè)。 同時(shí)要保證假設(shè)的合理性：可以在低速下轉(zhuǎn)化為牛頓力學(xué)形式； 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致； 理論驗(yàn)證符合預(yù)期。
上述推導(dǎo)僅關(guān)注如何在基本假設(shè)的基礎(chǔ)上逐步得到新的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。 其實(shí)狹義相對(duì)論在提出的過程中，思考的順序應(yīng)該是不一樣的，而且也有實(shí)驗(yàn)來支持，值得繼續(xù)去理解。 事實(shí)上，根據(jù)愛因斯坦的原文，他首先得到了坐標(biāo)變換公式和電磁力變換公式，然后利用帶電粒子牛頓第二定律的相同形式得到了質(zhì)量變換公式。 原文如下：
在推導(dǎo)過程中，我們也認(rèn)識(shí)到動(dòng)量和能量是密不可分的。 接下來你可以繼續(xù)探索它的聯(lián)系。
參考
[1]：約翰·威利父子公司，1968 年，第 112-114 頁。
[2]鄭永齡，賈啟民：《力學(xué)》，高等教育出版社，2018年版，第390-392頁。
[3][美]費(fèi)曼：《費(fèi)曼物理講座第一卷》，鄭永齡等譯，上海科學(xué)技術(shù)出版社，2013年版，第173-175頁。
這是我第一次發(fā)表文章。 我在學(xué)術(shù)上并不成熟。 我只是對(duì)我所看到的信息進(jìn)行總結(jié)和思考。 可能有很多問題。 歡迎您指正或補(bǔ)充！
愛因斯坦論的原始鏈接在上面。
這也是我第一次寫文章。 我對(duì)它比較陌生，布局也不是很好。 圖片也是手繪的。 我不知道怎樣才能畫得更好。 。 。 也歡迎提出建議。
本文由知乎創(chuàng)作并發(fā)布