背景和基本假設
狹義相對論的基本假設：
1.物理定律在所有慣性系統中具有不變的形式（物理定律的形式保持不變，所有慣性系統的地位平等）
2. 自由空間中的光速保持不變
得到了洛倫茲變換、速度變換和加速度變換的運動學定律。
相對論速度變換如下（S'相對于S，v沿x軸正方向移動）：
begin{cases}u_x'= frac{u_x-v}{1- frac{vu_x}{c^2} }\u_y'= frac{u_y sqrt{1- frac{v^2} {c^2} } }{1- frac{vu_x}{c^2}} \u_z'= frac{u_z sqrt{1- frac{v^2}{c^2} } }{ 1- frac{vu_x}{c^2}} end{cases}\
在洛倫茲變換下，加速度不是不變量，與牛頓力學不一致。 現在我們希望獲得符合相對論原理的新的動力學定律。
在推導加速度變換時，我們發現形式極其復雜，因此推測力和加速度在牛頓力學中不再占據主導地位； 動量守恒定律和能量守恒定律可能更為重要。
現在我們希望在承認相對性原理以及所有慣性系統中孤立系統動量和能量守恒的基礎上找到動量、能量和力的具體定義和表示。
導出動量形式的想法
由于能量和力的具體形式尚未獲得，因此應避免使用。
想象動量以 {p}=m(u){u} 的形式表示。
為了避免涉及力的形式，可以研究兩個粒子的碰撞。 當討論碰撞滿足動量守恒、能量守恒和相對性原理時，動量應滿足的條件實際上就是質量m(u)應滿足的條件。
但粒子碰撞還涉及到“機械能是否守恒”的問題。 無論碰撞是“彈性”還是“非彈性”，由于能量的具體形式尚未確定，因此很難確定碰撞后的速度。 對于這個問題，在下面的分析中繼續討論——我們會發現關鍵在于“初始條件是對稱的”。
使用完美彈性碰撞導出
在承認能量守恒的基礎上，我們認為“完全彈性碰撞”所要求的“機械能守恒”也是可以發生的。 但如上所述，能量的具體形式尚未得到，很難判斷滿足機械能守恒定律的速度結果。 那么，將其命名為“使用完美彈性碰撞的推導”是否不合適？
然而，正如您將在下面看到的，方法（1）和（3）使用對稱性來直接斷言基于機械能守恒的碰撞后速度； 方法（2）不能直接根據機械能守恒來判斷，但實際上也隱含著“機械能守恒”。 ”條件，因此這三種方法在這里被稱為“完全彈性碰撞推導”。
方法一）
假設S0參考系中有兩個相同的粒子（質量m(u)的函數形式、形狀等都相同，簡言之，它們是相同的），以完全相同的速度向對方運動率，總動量為0，碰撞后可以相互形成一定角度離開（非中心碰撞）。
為了滿足動量守恒，碰撞后粒子的速度必須完全相反。 顆粒是完全一樣的。 為了滿足對稱性，碰撞后兩個粒子之間的速度應該完全相同。 假定這種碰撞是完全彈性碰撞并且滿足“機械能守恒”。 那么碰撞后的速度就與碰撞前相同——碰撞前后的所有物理量都相同。 由此可以得出“碰撞是滿足機械能守恒的彈性碰撞”。
至此，利用對稱性和機械能守恒，S0處的碰撞情況已經完全確定。 它還必須滿足相對論的變換條件——在另一個參考系S1中，它也滿足動量守恒。
令u_x=v。
在粒子 A 和 B 的對稱軸上建立如圖所示的坐標。為了便于計算，假設 S1 相對于 S0 以 v 的方式沿 x 軸負方向移動，因此粒子 B 沒有水平速度。
S1 滿足 y 方向動量守恒，可得：
m(u_1')u_y'=m(u_2')u_2'\
A粒子S0和S1之間的速度變換關系滿足：
u_y= frac{u_y' sqrt{1- frac{v^2}{c^2} } }{1- frac{vu_x'}{c^2}} , v= frac{u_x'- v}{1- frac{vu_x'}{c^2} }\
B粒子S0和S1之間的速度變換關系滿足：
u_y= {u_2 sqrt{1- frac{v^2}{c^2} }}\
計算：
frac{u_2'}{u_y'}= frac{1}{1- frac{vu_x'}{c^2} }\
v= frac{c^2}{u_x'}(1- sqrt{1- frac{u_x'^2}{c^2} } )\
因此有：
m(u_1')= frac{m(u_2')}{1- frac{vu_x'}{c^2} }\
m(u_1')= frac{m(u_2')}{sqrt{1- frac{u_x'^2}{c^2} }}\
取u_y=u_y'=0，則S1中粒子B靜止，粒子A的速度為u_x'，如下：
m(u_x')= frac{m(0)}{sqrt{1- frac{u_x'^2}{c^2} }}\
即質量變換關系。
方法二）
假設在S1中，相同粒子A和B碰撞，碰撞前速度為u_1'和u_2'，A的速度分量為u_x'和u_y'，B沒有水平速度分量。
S2相對于S1沿x軸向前移動u_x'，預碰撞速度在S2中對稱。
令u_x'=v。
為了滿足S1到S2變換前后速度的對稱性，有：
u_y'=u_2'{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}\
假設在S1中，B以相反方向反彈，速度為{u_2'}
（注：這里很難根據“滿足機械能守恒的彈性碰撞”求得碰撞后速度，因為碰撞前兩個球的速度不同，無法根據對稱性求得結果兩個球的能量形式是未知的；但“機械能守恒”實際上隱藏在S1和S2之間變換的對稱性中，下面可以看到）根據前后速度的對稱性從S1到S2變換后，S2中的A也以{u_2'}返回到原來的路徑，沒有水平速度
所以碰撞后A在S1中的水平速度仍為v。
S1中水平方向動量守恒，為：
m({u_1})v=m({u_1'})v\
A和B是相同粒子，質量m(u)的函數形式相同，所以有：
{u_1}={u_1'}\
因此，我們也有{u_2}={u_2'}，并且S1中碰撞前后的速度是對稱的（因此現在可以斷言機械能守恒）。
至此，利用參考系變換前后速度的對稱性和x'方向動量守恒，S1中的碰撞情況已經完全確定。
它還必須滿足y'方向動量守恒，因此有：
m(u_1')u_y'=m(u_2')u_2'\
現在：
m(u_1')=frac{m(u_2')}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}\
取u_y'=0，則S1中的粒子B靜止，粒子A的速度為v，如下：
m(v)= frac{m(0)}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} }}\
即質量變換關系。
方法(3)
你有沒有發現，S0、S1、S2都是同一個碰撞情況在不同參考系下的表現？
假設 S0 參考系中有兩個相同的粒子以完全相同的速度向彼此運動。 碰撞后，它們可以以一定的角度離開對方。
由于彈性碰撞中機械能的對稱性和守恒性（見式（1）），確定了 S0 中碰撞前后的速度，它們是相同的。
假設S1相對于S0沿x軸負方向移動u_x，S2相對于S0沿x軸正方向移動u_x，則S1和S2的速度一定是對稱的。
圖像
得到了各參考系中碰撞前后的速度關系。
S1和S2的速度變換滿足：
u_y'=u_2'{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}\
然后令S2滿足動量守恒，則可按式(2)同樣得到質量變換關系。
討論
事實上動量守恒定律的三個形成條件，S0、S1、S2都是同一碰撞情況在不同參考系下的表現。 方法(3)充分利用了對稱性。
在推導（1）和（2）時，你可能會隱約感到不爽——
(1)雖然充分利用了同質粒子的對稱性，但從S0到S1的速度變換缺乏對稱性，計算過于復雜。
(2) 雖然充分利用了S1到S2速度變換的對稱性，但很難直接得到結果{u_1}={u_1'}。 只有通過參考系變換的對稱性才能得到{u_1}={u_1' }，直接利用“機械能量守恒”條件實際上是很難的。
原因在于，（1）和（2）都沒有真正從改變參照系的角度“看到全貌”——
通過(3)我們可以發現，S0就像參考系變換中S1和S2之間的“對稱中心”。
(2)中S1和S2之間必然存在完全對稱的情況S0。 (2)中的假設確實滿足“機械能守恒”。 (1)中的S1也必須能夠得到另一個參考系中的對稱情況S2。 。
事實上，后來可以發現，這樣的碰撞系統的機械能在慣性系中是守恒的，相同粒子的碰撞總是可以通過適當的參考系變換轉化為S0中相同速度的相對碰撞。
完全非彈性碰撞
完全非彈性碰撞
這里的“完全非彈性碰撞”僅指兩個小球碰撞成一個物體。 由于能量形式尚不清楚，因此無法寫出具體的能量關系。 因此，速度設定在“彈性碰撞”的推導中仍然采用對稱性。 如果完全不使用對稱性，將很難獲得碰撞后速度——會出現無法列出的問題（實際上必須全部設置為未知數），或者必須添加其他假設（不正確的假設可能會因違反能量守恒定律而導致錯誤）。 如果使用過多的對稱性（相同小球的中心到中心彈性碰撞），則所有碰撞情況都將通過對稱性得知，列出的公式毫無意義。 最終，這取決于與靜態質量的關系。 需要采用先有速度再趨于0的方法（以獲得速度的存在所帶來的質量關系）。 如果速度選擇不當，將很難獲得與靜態質量的關系。 這是有關系的。
S0中兩個相同的小球以相同的速度相對碰撞。 碰撞前，S1和S2存在上述對稱速度關系。
碰撞后，由于S0中動量守恒，球處于靜止狀態，因此S1和S2中y方向沒有速度。 質量公式可由動量守恒得到。
如果不使用S0而只使用S1和S2，則相當于缺少一個對稱條件。 由于碰撞后速度未知，并且沒有可用于獲取碰撞后速度的能量關系或對稱性，因此您需要對 y 方向上的碰撞后速度做出額外假設。 在此基礎上，我們再利用對稱性和速度變換來解決問題，如下（如果缺少一個對稱條件，就必須用速度變換來彌補，需要更多的計算和判斷。如果沒有對稱條件，恐怕無從下手。）：
沒有S0的推導需要更多的計算和充分性和必要性的判斷。
以上就是質量變換的三個推導。
我們僅根據相對論原理、動量守恒和能量守恒（特別是彈性碰撞中的機械能守恒），利用對稱性就得到了動量的形式。
但這只是對對稱碰撞情況的討論。 基于動量形式的假設，所獲得的動量應滿足形式。 它包含假設并且是必要條件。
因此，實際上需要逆向證明充分性：如果動量采用這種形式，在洛倫茲變換下，確實存在“孤立系統的動量在所有慣性系統中守恒”。
即如果慣性系S內動量守恒：
sum{{p}}_i= sum{{u}}_i=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i^2}{c ^2}}} } }{{u}}_i=const\
那么在另一個慣性系S'中也存在動量守恒：
sum{{p}}_i'= sum{{u}}_i'=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i'^2 {c^2}}} } }{{u}}_i'=const\
下面將證明其充分性。
假設S'隨v相對于S沿x軸正方向移動，則動量變換公式計算為：
begin{cases}p_x'= frac{p_x}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} } }-frac{m_0v}{{sqrt{1- frac{u ^2}{c^2} }}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} }}} \p_y'=p_y \p_z'=p_z end{cases}\
你會發現，判斷p_y'和p_z'的守恒性沒有什么困難，但是p_x'多了一項，就很難判斷守恒性了。
這是因為忘記了一件事：如上所述，在推導動量形式的過程中，還有一個基本假設：能量守恒成立。 這個條件目前還沒有被使用過。
這里需要使用特定形式的能量。 由于上面已經得到了動量的形式，因此可以推導出并利用能量的具體形式。
首先明確力的具體形式——仍然保留牛頓力學“作用在質點上的力等于質點動量的變化率”的定義，即：
{F}= frac{texttxrzbvzd{p}}{texttxrzbvzdt}\
然后推導出能量的具體形式。
仍然保留牛頓力學中功的定義和動能定理“力對質點所做的功等于質點動能的增加”，即：
W= int_{a}^{b} {F} cdot{texttxrzbvzd{r}}=E_{k2}-E_{k1}\
但動能的形式發生了變化：
E_{k2}-E_{k1}= int_{a}^{b} frac{texttxrzbvzd {p} }{texttxrzbvzdt} cdot {texttxrzbvzd { r}}=int_{a}^{b} {texttxrzbvzd {p}} cdot frac{texttxrzbvzd {r} }{texttxrzbvzdt}= int_ {a}^{b} {u}cdottexttxrzbvzd{p}= int_{a}^{b} frac{{p}cdottexttxrzbvzd{p} {m}\
筆記：
p={ frac{m_{0}}{ sqrt{1-{frac{u^2}{c^2}}} } }u\
m^2c^2-p^2=m_0^2c^2\
對兩邊求微分，我們得到：
{p}cdottexttxrzbvzd{p}=mc^2texttxrzbvzdm\
代替：
E_{k2}-E_{k1}=int_{a}^{b} c^2texttxrzbvzdm\
取初始狀態u=0，對應的動能E_{k1}=0，粒子質量為m_0，有：
E_k=c^2int_{m_0}^{m}dm=mc^2-m_0c^2\
這是愛因斯坦的重要假設：粒子的總能量為E=mc^2，總能量等于動能E_k和靜能m_0c^2之和。
會發現，在這個假設下，低速時的動能確實符合牛頓力學中的動能形式； 與實驗結果也一致。
在這個能量定義下，如果S系統滿足能量守恒，即：
sum{E}_i=sum{i}{c^2}=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i'^2}{c^ 2}}} } {c^2}=const\
p_x 的最后一項也是守恒的：
p_x'= frac{p_x}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} } }-frac{m_0v}{{sqrt{1- frac{u^2}{c ^2} }}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} }}}=frac{p_x-{frac{vE}{c^2}}}{sqrt{1 - frac{v^2}{c^2} } }=const\
從而證明了S'中動量守恒。
事實上，由于在獲取能量具體形式的過程中做了一定的假設動量守恒定律的三個形成條件，我們也可以驗證這種能量形式滿足原來的基本假設：能量在各個慣性系中是守恒的。
即如果慣性系S中存在能量守恒：
sum{E}_i= sum^2=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i^2}{c^2}}} } }c ^2=常量\
那么在另一個慣性系S'中也存在能量守恒：
sum{E}_i'= sum'c^2=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i'^2}{c^2}} } } }c^2=const\
假設S'隨著v相對于S沿x軸正方向移動。 發現能量轉換公式滿足：
E'=frac{E-vp_x}{sqrt{1-{frac{v^2}{c^2}}}}\
那么如果 S 中動量守恒且能量守恒，則 S' 中能量守恒。
在這樣的動量和能量的定義下，如果能量守恒，則動量守恒，反之亦然； 如果能量在慣性系中守恒，則動量在慣性系中守恒，反之亦然。 兩者密不可分。
這樣的動量和能量的定義也滿足了最初的基本假設：“孤立系統的動量和能量在所有慣性系統中都是守恒的”。
這里的“完全非彈性碰撞”僅指兩個小球碰撞成一個物體。 由于能量形式尚不清楚，因此無法寫出具體的能量關系。 因此，速度設定在“彈性碰撞”的推導中仍然采用對稱性。 如果根本不使用對稱性，將很難獲得碰撞后速度——會出現無法公式化的問題，或者方程沒有意義，或者必須添加其他假設。
S0中兩個相同的小球以相同的速度相對碰撞。 碰撞前，S1和S2存在上述對稱速度關系。
碰撞后，由于S0中動量守恒，球處于靜止狀態，因此S1和S2中y方向沒有速度。 質量公式可由動量守恒得到。
如果不使用S0而只使用S1和S2，則相當于缺少一個對稱條件。 由于碰撞后速度未知，并且沒有可用于獲取碰撞后速度的能量關系或對稱性，因此您需要對 y 方向上的碰撞后速度做出額外假設。 在此基礎上，我們再利用對稱性和速度變換來解決問題，如下（如果缺少一個對稱性條件，就必須用速度變換來彌補，需要更多的計算和判斷。如果沒有對稱性條件，恐怕無從下手。）：
總結
根據相對論、動量守恒、能量守恒（特別是彈性碰撞中機械能守恒）的原理，我們做了適當的假設，得到了動量的具體形式，由此我們得到了力和力的具體形式。活力。
推導需要假設。 需要始終澄清推導的基本假設，避免引入太多新的假設。 同時要保證假設的合理性：可以在低速下轉化為牛頓力學形式； 與實驗結果一致； 理論驗證符合預期。
上述推導僅關注如何在基本假設的基礎上逐步得到新的動力學規律。 其實狹義相對論在提出的過程中，思考的順序應該是不一樣的，而且也有實驗來支持，值得繼續去理解。 事實上，根據愛因斯坦的原文，他首先得到了坐標變換公式和電磁力變換公式，然后利用帶電粒子牛頓第二定律的相同形式得到了質量變換公式。 原文如下：
在推導過程中，我們也認識到動量和能量是密不可分的。 接下來你可以繼續探索它的聯系。
參考
[1]：約翰·威利父子公司，1968 年，第 112-114 頁。
[2]鄭永齡，賈啟民：《力學》，高等教育出版社，2018年版，第390-392頁。
[3][美]費曼：《費曼物理講座第一卷》，鄭永齡等譯，上海科學技術出版社，2013年版，第173-175頁。
這是我第一次發表文章。 我在學術上并不成熟。 我只是對我所看到的信息進行總結和思考。 可能有很多問題。 歡迎您指正或補充！
愛因斯坦論的原始鏈接在上面。
這也是我第一次寫文章。 我對它比較陌生，布局也不是很好。 圖片也是手繪的。 我不知道怎樣才能畫得更好。 。 。 也歡迎提出建議。
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