美與數學
十九世紀數學的三大最高成就是熱力學、電磁學和統計量熱法。 其中，統計熱是基于麥克斯韋（J.，1831-1879）、玻爾茲曼（L.，1844-1905）和吉布斯（W.Gibbs，1839-1903）的工作。 玻爾茲曼曾說過：音樂家看過幾個韻母就能辨別出莫扎特（ ）、貝多芬（ ）或舒伯特（ ）的音樂。 同樣，數學家或化學家在閱讀幾頁后可以識別柯西、高斯、雅可比、亥姆霍茲或克紹的工作。
其實，有人可能對他的這段話有疑問：科學是研究事實，事實就是事實。 哪有什么風格？ 我之前已經討論過這個問題如下：
我們以數學為例。 數學原理有其結構。 這個結構充滿了美麗和奇跡。 不同的數學家對這種結構的不同美感和奇跡有不同的欣賞。 因為有不同的經歷，每個工作者都會形成自己獨特的研究方向和研究方法。 也就是說，他會產生自己的風格。
我明天的演講將嘗試探討前面的段落。 讓我們從兩位著名化學家的風格開始吧。
1.狄拉克
狄拉克（P.Dirac，1902-1984）是二十世紀偉大的化學家。 關于他的故事有很多。 例如：有一次狄拉克在耶魯大學演講。 講座結束后，有觀眾站起來說：“我有一個問題，請回答：我不知道如何從式（2）推導出式（5）。” 狄拉克沒有回答。 主持人說：“狄拉克院士，請回答他的問題。” 狄拉克說：“他沒有問問題，只是說了一句話。”
這個故事之所以被廣泛流傳，是因為它確實描述了狄拉克的一個特點：話不多，但卻富含簡單、直接、原始的邏輯。 一旦掌握了別人想不到的獨特邏輯，他的文章讀起來就如“秋水文章不染塵埃”一樣流暢，不留任何殘渣，直達宇宙的深處和奧秘。 。
狄拉克最杰出的作品是 1928 年發表的兩篇短論文，記錄了狄拉克多項式。 這個簡單的方程是一項驚天動地的成就，一個劃時代的里程碑：它為原子和分子結構提供了新的維度和新的、極其精確的理解。 沒有這個多項式，就不會有明天的原子分子化學和物理學。 如果沒有狄拉克提出的想法，就不會有明天臨床上常見的磁共振成像（MRI）技術，但這項技術實際上只是狄拉克多項式的一個非常小的應用。
狄拉克多項式“無中生有、開創性”強調了為什么電子有“自旋”（自旋），以及為什么“自旋角動量”是1/2而不是整數。 第一次了解其中奧秘的人，難免贊嘆它是一支“神筆”，是別人難以想象的奇妙計算。 當時最著名的海森堡（W.，1901-1976）讀了狄拉克的文章，很難理解狄拉克是如何想出這支神筆的。 1928年5月3日，他給泡利（W. Pauli，1900年-1958年）寫了一封信，描述了他的苦惱：
為了不被狄拉克不斷打擾，我改變了話題，得到了一些結果。 （按：這個結果是另一個重要貢獻：為什么磁鐵是磁鐵。）
狄拉克多項式的美妙立刻得到了當時的同事們的認可，但是它有一個前所未有的特點，叫做“負能量”現象，這是你絕對不能接受的。 狄拉克文章發表后的兩年里，關于負能量現象有很多復雜的討論。 最后，狄拉克在1931年大膽提出“反粒子”理論來解釋負能量現象。 這一理論更不被當時的同事所接受，因此流傳出許多半羨慕半開玩笑的故事。 直到1932年秋安德森（CD，1905-1991）發現了電子的反粒子，你才逐漸認識到反粒子理論是數學的又一個里程碑。
在20世紀的數學殿堂中，風格最為奇特的當屬狄拉克。 我曾想向文學、歷史、藝術界的同仁展示他的文章風格，但一直不知道如何寫。 今年，我偶然在臺灣《明報》風景專欄看到一篇文章，引用了高適（700-765）在《答侯少甫》中的一句話：“靈性生于萬象，力生于萬象”。品格超越一般道德。” 我很高興，我想用這兩行詩來形容狄拉克多項式和反粒子論是最好的：一方面，狄拉克多項式確實包羅萬象，而“出”字來形容狄拉克的靈感尤為突出。生動。 另一方面，在1928年之后的四年里，盡管受到玻爾（N. Bohr，1885-1962）、海森堡、泡利等當時偉大的化學家的冷嘲熱諷，他仍然堅持自己的理論，并最終獲得了全面的認可。認出。 勝利，正好符合“品德不凡”。
但什么是“精神”呢？ 字典里對這兩副對聯的解釋并不切題。 如果直觀地加上“性”、“性”、“心”、“魂”、“靈感”、“靈犀”、“圣靈”（鬼）等，似乎指的是直接的、原始的、不加思考的-出想法，而這恰好是狄拉克多項式的精神。 恰在此時，我和新加坡英語學院的童元芳博士在《21世紀》1996年6月號上提到了錢鎖橋的一篇文章，然后我們了解到袁弘道（1568-1610）（以及后來的周作人） [1885-1967]、林語堂[1895-1976]等）的靈性理論。 袁宏道說，他的父親袁仲道（1570-1623）的詩是“獨立表達靈魂和精神，不拘泥于公式”，這也是狄拉克風格的特點。 “我不想寫任何東西，除非它來自我自己的憂郁”物理學理論的目的和結構，這恰恰描述了狄拉克的獨創性！
2.海森堡
海森堡比狄拉克年長一歲，是二十世紀另一位偉大的化學家。 有人認為他稍微領先于狄拉克。 他于 1925 年秋天寫了一篇文章，促進了量子熱的發展。 三十八年后，科學史家庫恩（T. Kuhn，1922-1996）采訪他，提到了他構思這類作品時的情況。 海森堡說：徒步旅行的時候，你想爬某座山，但常常到處都是霧……你有一張地圖，或者其他索引什么的，你知道你的目的地，但你還是掉進霧里。 然后……突然間，你在短短幾秒鐘內，模糊地看到霧中出現了一些人影，然后你說：“哦，這就是我要找的巨石。” 不知道你是否能到達那塊巨石，但突然你說：“我知道我現在在哪里。我必須靠近那塊巨石，然后我就會知道如何移動向前。”
這段對話生動地描述了海森堡在1925年夏天的摸索進展。要了解當時的氣氛，必須知道自從1913年玻爾提出他的原子模型以來，數學進入了一個特殊的時代：牛頓的基礎（I.，1642） -1727）熱力已經動搖，但利用牛頓熱力學的一些概念加上一些往往不能成立的新假設，卻能準確地描述許多原子結構的獨特實驗結果。 奧本海默（JR，1904-1967）這樣描述這個不尋常的時代：
那是一個在實驗室里耐心工作的時代，有許多關鍵的實驗和大膽的決定，有許多錯誤的試驗和不成熟的假設。 那是一個真誠的通信和倉促的會議、大量激烈的辯論和無情的批評、充滿巧妙的身體擊劍的時代。
對于這些與會者來說，這是一個創新的時代，他們因對宇宙結構的新認識而充滿活力，但也感到焦慮。 這段歷史似乎從未被完整記錄。 要寫這段歷史，需要用筆寫梅賽德斯帕斯或克倫威爾，但由于所涉及的知識與日常生活相距甚遠，很難想象任何作家或歷史學家有能力做到這一點。
1925年秋，23歲的海森堡在迷霧中摸索，終于找到了方向，寫下了上述文章。 有人說，這是繼牛頓《數學原理》之后三百年來數學史上影響最深遠的一篇文章。
但這篇文章只是創造了一個探索的方向，在接下來的五年里，將經過玻恩（M. Born，1882-1970）、狄拉克、薛定諤（E.，1887-1961）、玻爾等人。 量子熱的整體框架是通過自己的努力才逐步完成的。 量子熱將化學帶入了一個新時代，并直接影響了20世紀的工業發展。 核能發電、核設備、激光器、半導體器件等都是量子熱的產物。
1927年夏天，25歲仍未離婚的海森堡出任不萊梅學院理論化學系主任。 后來成名的布洛赫（F.Bloch物理學理論的目的和結構，1905-1983，核磁共振機制的創造者）和泰勒（E.，1908-，“氫彈之父”，我在洛杉磯學院的博士生導師）是都是他的中學生。 他喜歡打乒乓球，而且很有競爭力。 在他上任的第一年，他就主導了這個部門。 1928年秋，一位博士后從日本趕來，海森堡從此只能暫時成為冠軍。 這位博士后的名字大家都很熟悉——周培源。
海森堡的所有散文都有一個共同的特點：云里霧里、不清楚、渣滓，這與狄拉克的散文風格形成了鮮明的對比。 讀完海森堡的文章，你會驚嘆于他的獨創性（），但你會認為問題還沒有完成，還得展開； 而讀完狄拉克的文章后，你也會驚嘆于他的同時，他認為雖然自己已經將一切發展到了最后，但也沒有什么可以做的了。
后來提到狄拉克的文章給人的感覺是“秋水文章不染塵埃”。 海森堡的文章則截然不同。 兩者的對比是清晰又渾濁。 我想不出任何句子或單詞可以描述海森堡的這篇文章，從而既表達了他天才的獨創性，又表達了他思想中不明確、粗俗、有時令人沮喪、摸索的品質。
3.物理與物理
為什么海森堡和狄拉克的風格如此不同？ 主要原因是它們關注的數學內涵不同。 為了解釋這一點，請看圖1所代表的數學的三個部門以及它們之間的關系：現象學理論（）（2）是實驗（1）和理論框架（3）之間的研究。 (1)和(2)的結合是實驗化學，(2)和(3)的結合是理論化學，理論化學的語言是物理學。
圖1 化學的三個領域
化學的發展一般是從實驗（1）開始的，即從對現象的研究開始。 對于這個發展過程，我們可以舉出很多大大小小的反例。 以牛頓熱力學的歷史為例。 布拉赫（T.Brahe，1546-1601）是一位實驗天文學家，活動領域是（1）。 他對行星軌道進行了精確的觀測。 后來，開普勒（J.，1571-1630）仔細分析了布拉赫的數據，發現了著名的開普勒三定理。 這就是現象學理論（2）。 最后，牛頓在開普勒三定理的基礎上創建了牛頓的熱和萬有引力理論。 這就是理論框架（3）。
另一個反例：通過十八世紀末十九世紀初的多次熱和磁實驗（1），安培（A.）發展了一些現象學理論（2）。最后被麥克斯韋總結成著名的麥克斯韋多項式（即電磁多項式），進而進入理論框架（3）的范疇。
另一個反例：19世紀下半葉的大量實驗工作(1)導致了1900年普朗克(M., 1858-1947)的現象學理論(2)。 后來通過愛因斯坦（A.，1879-1955）的文章和前面提到的玻爾的工作有了一些重要的發展，但這些仍然是現象學理論（2）。 最后，通過量子力學的形成，進入理論框架（3）的范疇。
海森堡和狄拉克的工作重點在哪里，如圖 1 所示？ 狄拉克最重要的貢獻就是上面提到的狄拉克多項式。 海森堡最重要的貢獻是海森堡多項式，它是量子熱的基礎。
這兩個方程是理論框架 (3) 中的前沿貢獻。 兩者都達到了化學的最高水平。 而且這兩個方程的寫法也大不相同：海森堡的靈感來自于他對實驗結果（1）和現象學理論（2）的理解，于是在摸索中得出了方程（H）。 狄拉克受到他對數學之美的直覺欣賞（4）的啟發，巧妙地寫出了他的多項式（D）。 他們兩人喜歡和關注的方向不同，所以他們的工作領域也不同，如圖2所示。（該圖也標出了玻爾、薛定諤和愛因斯坦的研究領域。愛因斯坦興趣廣泛，從（2）到（3）再到（4）在多個領域做出了劃時代的貢獻。）
圖2 二十世紀幾位數學家的研究領域
海森堡從實驗（1）和現象學理論（2）開始：實驗和現象學理論豐富多彩，錯綜復雜，所以他必須探索，猶豫，嘗試再嘗試，所以他的文章也是為了讀者。 不知道，有一種殘留的感覺。 狄拉克從他對數學的啟發出發：物理學的最高境界是結構之美，也就是簡潔之美和邏輯之美，因此他的文章給讀者以“秋水文章不染塵埃”的味道。
讓我補充一下物理和化學之間的關系。 我最初把兩者之間的關系表達為兩根莖重疊在莖上。 重疊的地方同時是這三者的根源，也是兩者的源頭。 比如微分多項式、偏微分多項式、希爾伯特空間、黎曼幾何、纖維叢等等，都是明天兩人共同分享的基本概念。 這是一個驚人的事實，因為最先提出這個想法的化學家和物理學家遵循了完全不同的道路、完全不同的傳統。 為什么不同的路線會達到同一個目標？ 明天你不會有一個好的答案，即使你永遠不會，因為答案必須涉及宇宙論、認識論和宗教信仰等困境。
必須說明的是，在重疊的地方，共享的基本概念其實是驚人的相同，而且重疊的地方并不多，只占兩者各自的一小部分。 例如，實驗（1）和現象學理論（2）并不在重疊區域內，而且大部分體力勞動也在重疊區域外。 另外值得注意的是，雖然在重疊的領域，雖然化學和物理的基本概念是共享的，而且兩者的價值觀也與傳統完全不同，但兩者發展的活力也隨之而來不同的莖，如圖3所示。
年輕的同事經常問我他應該學習數學還是物理。 我的答案是，這取決于你在哪個領域有更高的判斷能力以及對美和奇跡的熱愛。 愛因斯坦此前曾討論過他為何在晚年選擇數學（1949）。 他說：
在物理學領域，我沒有足夠的直覺來區分這些是真正重要的研究，而這些只是不重要的主題。 在數學領域，我很快學會了如何找到需要解決的基本問題。
年輕人在面臨選擇未來方向時，必須對自己的喜好和判斷能力有正確的自我評價。
4.美與數學
數學從表層到深層從（1）到（2）再到（3）發展。 表面有表面的結構和表面的美感。 例如，彩虹和霓虹燈都是非常美麗的表面現象，每個人都可以聽到。 實驗者做了測試后發現，42高曼楚的彩虹外面是紅色，里面是紫色； 倪是50高滿楚A里面是紅色的，外面是紫色的。 這些精確的定律降低了實驗者對自然現象之美的認識。 這是第一步（1）。 進一步的現象學理論研究（2）使化學家們了解到，這42升 P50升可以通過陽光在水滴中的折射和反射來推演，而這種理解展現出更深層次的美感。 對折射和反射現象的進一步研究和更深入的理解可以從許可的麥克斯韋多項式中推斷出來，這顯示了極其深刻的理論框架的美妙（3）。
牛頓運動多項式、麥克斯韋多項式、愛因斯坦狹義相對論和廣義相對論方程、狄拉克多項式、海森堡多項式等五六個多項式是數學理論框架的支柱。 他們將幾個世紀的實驗工作 (1) 和現象學理論 (2) 提煉成科學研究的最高水平。 他們用極其凝練的物理語言寫出了化學世界的基本結構，可以說是造物主的詩篇。
這些多項式與詩歌還有另一個共同點：隨著物理學的發展，它們的內涵常常形成最初沒有想到的新含義。 舉兩個反例：前面提到的十九世紀中葉寫成的麥克斯韋多項式只是通過本世紀初愛因斯坦的工作才表現出高度的對稱性，而這些對稱性在二十世紀才逐漸發展成為數學中的一個學習最重要的中心思想。 另一個反例是狄拉克多項式。 起初完全被物理學家忽視，如今狄拉克流形（ ）已成為物理學家研究的新熱點。
當數學學生理解了這些富有詩意的多項式的含義后，他們對它們之美的欣賞既直接又極其復雜。
他們的極度專注和包羅萬象的品質也許可以用 W. Blake（1757-1827）的不朽詩句來描述：
一粒沙的托西世界
安達納野生
握在手掌上
安迪南小時
他們的巨大影響也許可以用教皇的詩句來描述（A. Pope, 1688-1744）：
和'：
神說，就這樣吧！ 一切都很輕松。
但這些還不夠，還不足以充分表達學習數學的人對多項式之美的欣賞。 缺乏的是一種莊嚴感，一種神圣感，以及一種初見宇宙奧秘的恐懼感。 我認為缺少的是哥特式修道院的建筑師想要頌揚的崇高之美、精神之美、宗教之美和終極之美。
【第0515期】華為：用員工自己的錢激勵自己，用公司未來的錢激勵員工！