辰國際（山西省晉城市晉城第一中學）
薛紅霞（山西省教育科學研究院）
摘要：從考點、題量、題型、分數、難度、內容特點、考試思維方法、文理科差異等方面總結了概率統計與計數原理的考試特點，并進行了分析。從課程標準依據、總體思路、題型、命題考核范圍等方面進行了探討，并對2015年典型題進行了實例分析。 本文縱向分析了近年來命題的變化，分析了高考數學試題中該命題的命題趨勢。 最后給出了相應的模擬題。
關鍵詞：概率統計； 計數原理； 命題規則
統計概率與計數原理多年來在各省市的高考中發揮了看似簡單、有時卻困難的作用。 以史為鑒，可以知興衰，所以我們必須縱橫交錯地研究命題規則，即一方面要看往年的高考題，另一方面，要全面分析2015年各省市高考題型。 只有這樣，我們才能深刻認識命題的特點和規律。 下面是基于這個思想的統計概率和計數原理的分析。
一、試題及考點分析
據統計，2015年高考數學試題（試卷）中，除江蘇文理科外，其他文理科試卷共30篇，分別是新課程國家試卷一、二、北京試卷、天津試卷、上海報、重慶報。 、廣東卷、福建卷、浙江卷、四川卷、湖南卷、湖北卷、安徽卷、陜西卷、山東卷。 對以上試題進行分析和統計后發現，除了浙江試卷外，統計和概率部分都考了（浙江《考試大綱》明確沒有要求）。 由于文科和理科的差異，計數原理只在上海試卷中測試2014天津高考數學，其他省份沒有測試。 理科除了浙江卷子外，也有相關知識的測試。
1.測試點分析
經過對2015年高考數學試題的整理分析，總體來看，統計與概率部分考查的知識點覆蓋面較廣。 除了獨立性測試外，其他知識點也涵蓋在內，以統計學為背景開出概率測試題也成為特色。 計數原理以常規排列、組合、二項式定理等題目為載體，重點考查運用兩個原理分析和解決問題的能力。 其中，最常出現的測試點是二項式定理。
具體考查的知識點包括：統計學中的簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣； 繪制頻率分布直方圖，利用頻率分布直方圖、莖葉圖進行觀察，計算均值和方差、眾數和中位數。 數字等數字特征； 使用樣本的數字特征來估計總體； 回歸分析中的正相關和負相關，以及回歸方程的確定和應用。 概率知識主要考經典概念、幾何概念、隨機數、相互獨立事件的概率、互斥事件的概率加法公式、隨機變量的分布序列、數學期望、方差、獨立重復實驗、超幾何分布、二主要知識有項分布、正態分布等。 計數原理研究排列問題、組合問題和組合數的性質。 在二項式定理中，利用展開式的通項公式來求指定項的系數、二項式系數以及全部系數和部分系數之和。
2.題量及分數分析
測試統計、概率、計數原理的29份試卷中，廣東科普試卷題目數量最多，有4道小題、1道大題，得分為32分，占總分的21.3%測試問題。 福建科論文（28分）、湖南科論文、陜西科論文、湖北科論文共有3個小題、1個大題，得分為27分。 其他大部分是2個小題和1個大題，得分為22分； 新課程國家文科卷一、新課程國家文科卷二、新課程國家理科卷二、北京理科卷、山東理科卷、天津理科福建文科卷、湖南文科卷、四川文科卷、陜西文科試卷均為一小題一大題，共17分； 安徽文科卷子有一個大題值12分； 天津文科試卷有1道，江蘇文科試卷有2道小題，共10分。 上海文科試卷題目數量最少，有2道小題2014天津高考數學，共8分。 占總分的5.3%。
3.題型、內容特點及難度分析
統計與概率題的題型包括選擇題、填空題和解答題。 總體來看，大部分省份的題目都是中低水平題，難度不是很大。 試題重點測試統計、概率的基礎知識和基本方法； 檢驗運用統計、概率等知識和方法分析和解決實際問題的能力； 測試計算解決能力和應用意識。 題目設計更注重數學與生活的聯系，背景聚焦生活中的焦點和熱點問題，讓學生感到親切。 同時，學生會自然地認識到數學的應用價值，體驗必然性和概率的思想，在解決具體問題的過程中感受到數學的魅力。 計數原理試題主要采用填空題和選擇題形式。 二項式定理中，用通項求具體項系數的問題是最常見的，總體難度不高。
具體來說：有4個小題和2個大題，檢驗統計學中的抽樣方法。 主要測試系統抽樣和分層抽樣，比較容易； 頻數分布表（直方圖）有1個小問題和4個大問題； 莖葉圖有2個小題和1個大題，主要是看圖理解圖，觀察計算樣本的數值特征來估計總體的概率。 難度為中等或簡單； 回歸分析有2個小問題和2個大問題。 湖北文科試卷檢驗兩個變量正負相關的判斷； 福建科學論文測試了使用回歸方程來計算預測； 重慶文科試卷測試了線性回歸方程的解和預測。 這三道題都來源于課本上的例題和練習題，比較容易得分。 新課程國卷一中的回歸分析解題為非線性回歸問題，主要考驗學生分析問題、解決問題的能力，有一定的難度和區分度。 雖然試題提供了相關數據運算的結果，降低了運算難度，但對于不注重數學思想和方法積累的學生來說卻很難下手。 通過對部分學生的調查，我們發現這也是他們做題難的原因。 可見，有些老師不重視課本實例的學習。
所有概率試題中，涉及經典概念的小題4道，解題11道。 幾何概念共有 4 題。 隨機事件的概率分布有 8 個答案。 考察了互斥事件、對立事件、相互獨立事件、獨立重復實驗等事件的概率計算以及概率分布列的數學期望和方差。 新課標國文卷二、新課標國科卷二、天津文科卷、安徽文科卷、北京文科卷、北京理科卷、福建文科卷、陜西文科卷、 《陜西科學卷》都是基于統計思維的。 以方法為背景的概率題占概率題的近一半。 這類題背景新穎，充滿生活氣息，比較接地氣，可以直接讓學生感受到數學的應用價值。 剩下的問題都是傳統的概率題類型。 理科試題常依靠兩種計數原理和排列組合進行計數，而文科試題則常采用計數方法。 一般來說，試題的難度屬于中等。 湖北科文、山東科文、湖南科文也檢驗了正態分布。 他們分別測試了對正態分布曲線和標準正態分布的“3σ”原理的理解。 前者比較簡單，后者難度中等。 ．
計數原理試題中，傳統的排列組合題較少。 四川理科試卷考的是排列問題中的排列問題，廣東理科試卷、上海文科試卷和理科試卷測試組合問題，山東理科試卷考的是組合數的計算和性質。 問題也比較常規。 只要能運用兩個原則來分析和解決問題，就可以獲得積分。 剩下的試題集中在二項式定理，主要涉及求指定項的系數或二項式系數。 由于二項式的類型不同，題目的難度也略有不同。 北京科技論文、福建科技論文、四川科技論文、陜西科技論文、湖北科技論文中的二項式都是整數，所以比較容易。 廣東科技論文、湖南科技論文、上海科技論文、天津科技論文、重慶科技論文、安徽科技論文這兩個詞含有分數或部首，稍復雜，更容易出錯。 新課程的全國I卷和上海科普卷都是三項展開題，可以轉化為二項展開式，或者追蹤展開式各系數的構成，利用計數原理進行計算。 思維層次明顯，有一定的難度和區分度。
4.文科與理科差異分析
由于《中學數學課程標準》中文科和理科的概率和計數原理的內容和要求不同，文科學生不學習計數原理和概率分布。 因此，總體來說，文科和理科的試題是有很大不同的。 主要體現在有無計數原理試題，以及概率題中需要計數時的不同方法。 因此，在概率問題中，理科可以以計數原理為背景，制定測試題，以多種靈活的方式解決問題，而文科只能測試原理，所以需要盡可能降低計數難度。 江蘇論文分為文科和理科。 文科試卷中，只有上海試卷考的是計數原理和二項式定理。 其他文科試卷沒有涉及計數原理的問題。 理科試卷中，浙卷不考統計、概率、計數原理，所以沒有相關試題； 統計部分和科學部分基本上沒有區別。 例如，新課程國卷一、新課程國卷二、重慶卷、湖南卷、陜西卷的論文和科學論文是一模一樣的。
五、思路與方法分析
統計、概率、計數原理蘊藏著豐富的數學思想和獨特的方法。 比如隨機思維、變換還原思維、數學組合思維、模型思維等，這些思維方法都可以在試題的解答中得到體現。 例如，重慶科技論文回歸分析中回歸方程的確定和預測就是一種模型思維方法。 新課標科學第一卷和科學第二卷中的非線性回歸需要轉換為線性回歸。 新課標科學卷I和上海科學卷需要轉換成線性回歸。 卷三項展開可轉化為二項式展開，變換與約簡的思維方法，各卷中概率與必然性的隨機思維方法，頻數分布直方圖、莖葉圖的觀察、正態分布曲線問題需要數字與形狀的結合、思維方法等。
2、造命思想分析
1.根據考試大綱，考試內容全面
單獨看一張試卷，似乎每年都考什么內容，隨機性很大。 但縱觀歷年高考題，對于同樣的內容，通過多年的測試是可以實現考試大綱要求的全覆蓋的。 所以說大綱的指導對于高考起著決定性的作用。 對于這部分內容，無論課程標準還是考試大綱，對文科和理科的要求都是不同的。
2.緊扣大綱、注重基礎是考試主旋律
以新課程國考試卷為例，無論文科還是理科，每年的考題數量基本穩定在1道大題和1到2道小題。 大題難度一般為中等，小題為簡單或中等難度。 考試內容每年交替。 近幾年來，其覆蓋范圍已經比較完整。 下面詳細介紹其特點。
（一）根據課程標準和考試大綱確定試題目的。
新課程高考試題與往年相比最大的特點是表面上沒有大的變化。 題目的設置和題型沒有太大變化，但具體試題的意圖卻發生了根本性的變化。
課程標準中概率內容的設置分為兩部分，安排在數學3和選修1-2（文科）或選修2-3（理科），排列、統計、概率的位置進行了調整。 這是為了退一步，冷卻以往概率教學中過于注重計數的計算，從而達到凸顯概率本質的目的。
教學大綱教材中，首先學習排列組合，其次學習概率，而概率的學習主要以經典概念為主，而統計學則安排在選修部分。 這樣的設置給學生一種概率很簡單的印象。 他們只需要清楚地區分幾種概率模型即可。 關鍵是要正確計算數字。 因此，概率學習和訓練的重點是計數。 學生對概率的理解完全是基于確定性數學的一組模型和計數，沒有任何概率的思想。
課程標準教材改變了上述安排。 首先學習統計學（抽樣、數據收集、排序、分析等），然后學習概率的含義、經典概念、幾何概念。 對于文科生來說，這都是高中的概率學習。 對于理科生，他們將在選修課2-3中繼續學習概率和統計案例。 這種安排弱化了概率學習第一階段中概率學習中的計算（沒有計數工具，經典概念只學習其他可能事件和互斥事件的概率），加強了對概率本質的理解，尤其是在統計學習概率的基礎上，加入了利用模擬方法（包括計算器生成隨機數進行模擬）來估計概率，初步了解幾何概念的意義。 如果教學中能夠真正落實課程標準的要求，學生就能體驗到計算的應用。 通過使用機器和計算機處理數據并進行模擬活動，學生可以更好地理解統計思維和概率的含義。 這樣的教學才是真正的用概率思維進行教學。
針對此次課程標準的變化，實驗區高考概率內容將如何考查？ 由于文科專業的學生不再學習計數原理，所以文科試題中所有計數問題都可以通過枚舉來解決，這里不再舉例。 對于理科試題，由于選修課本2-3中學生要學習計數原理，所以仍然會有排列組合與概率相結合的題，但此類題的比例會減少，而且除了少數題外，這幾題的計數問題都比較簡單。
①文科試題以計數為基本計數方法。
比如2015年國家新課程第一卷第四題，看似需要計數原理知識，但通過計數就能快速輕松解決。
② 無論文獻還是科學，通過頻率估計概率是計算概率的主要方法。
例如，2013年國家新課程第一卷科學第19題就是代表之一。
③多次檢查遺忘在角落的內容造成波動。
在實際教學和備考階段，一些教師存在認知偏差，隨意弱化某些知識的講授深度，人為制造學生學習薄弱環節，導致考試時措手不及，原本簡單的題變成了問題。更困難的。 ．
【解說】這道題是2015年考試蝴蝶效應的始作俑者。 用學生的話說，這很“奇怪”。 他們做這道題花了很長時間，影響了他們對后續題的回答。 這甚至可能會對后續的科目考試產生負面影響。 山西省考生做這道題的難度系數為理科0.35，文科0.15，明顯低于往年統計概率難度。 2014年新課程全國第一卷第19題難度系數為0.311； 文科第十九題難度系數為0.534； 2014年新課程全國第二卷科學題18的數據為0.432； 文科第18題0.624； 2013年全國卷第19題理科、文科難度系數分別為0.297和0.158。 2012年國卷第18題理科和文科難度系數分別為0.316和0.270。 從往年的情況來看，這個難度是比較正常的，但是文科的難度偏低。 為什么會出現這樣的情況呢？ 當學生第一次看到這個問題時，首先感覺不習慣。 他們在考場待了很多時間，這影響了他們對整張試卷的回答。 事實上，線性回歸在各省市的高考試卷中已經被多次測試。 最早的是2007年廣東文科試卷第17題。
④審視統計不確定性，回歸統計學習的本質。
統計學使用確定性數學作為研究不確定現象的工具。 然而，許多教學和考試只關注計算圖表在統計中的應用。 事實上，他們并沒有測試統計的核心。 面對同一套統計數據，不同的決策者會做出不同的決策。 這是統計數據。 例如，2009年的國卷，理科第18題和文科第19題，這道題就是利用頻率分布直方圖來估計人口。 這也是一種符合時代特點、符合課程標準和教材的考試方法。 另外，2013年新國考I卷和理科第18題和2014年文科卷II第19題的最終判斷都是基于莖葉圖。 結論可能是一致的，但原因可能基于不同的統計數據。 出去。 這些問題都顯示了統計學和確定性數學之間的本質區別。
（2）注重與其他內容的結合，考驗學生綜合分析問題的能力。
例如，與分段函數結合。 高考分段函數的考試在這里找到了一個很好的結合點。 又如2012年新課程國卷，科學第18題，2013年新課程國卷一，科學第19題。 這些問題首先需要建立函數關系，然后利用函數關系來解決問題； 2014年新課程全國第一卷科學第19題中，最后一題需要將其與函數結合起來求最優值。 另外，2007年理科第20題、2010年理科第13題、文科第14題結合了隨機模擬實驗和定積分，2007年文科第20題結合了方程是否有實數根等等。 可見，高考中統計概率的測試總是能與相關知識緊密結合。
（3）以簡單題或中等難度題作為考試的難度位置。
上面引用的例子都在統計概率部分。 在某些特殊情況下測試難度低于0.3，出現疑難問題。 大多數題目的難度都大于0.3。 當然，文科和理科之間存在一定的差異。 例如，從上面給出的數據可以看出，文科生在解決統計概率大題上并不具備優勢，其難度系數連續幾年在0.150左右。
2013年新課程國家第一卷科學科目第14題測試經典概念，難度系數0.532； 新課程新國卷第二卷科學第9題測試二項式定理，難度系數0.700；
新課程2013年全國第一卷文科課程第13題測試經典一般概念，難度系數0.813； 新課程新國文第二卷第三題測試經典一般概念，難度系數0.883；
2014年新國標Ⅰ科學科目第5題考排列組合和概率，難度系數0.779； 新國標科學II第5題考察獨立事件概率，難度系數0.382； 新國家課程科學第13題II 該題檢驗二項式定理，難度系數0.719；
新課程2014年全國第一卷文科第13題測試經典概念，難度系數0.773； 新國二卷文科課程第13題測試經典概念，難度系數為0.808。
從這些數據可以看出，這部分測試的題，除了少數題外，基本上都是簡單題。
這與許多老師所經歷過的基于排列組合計數原理的復雜計算的概率完全不同。 如果不了解這些特點，不掌握新課程標準的要求，不遵循新的考試大綱，不參考課程標準中的歷年試題，那么必然會出現上述情況。
三、2015年典型題分析
(1)考察定理的形成過程。
【解說分析】本題緊扣課程標準，考驗學生獲取統計信息并根據統計圖表進行估算的意識和能力。 這是現代公民必備的素質。 同時，基于統計數據的概率計算是課程標準和考試大綱的要求，也是近年來典型的考試方法。 新國標二冊科學科目第18題與此題基本類似。 類似題還有2015年安徽文科第17題、2015年北京文科第17題、2015年理科第16題、2015年福建文科第18題、2015年廣東文科第17題、湖北文科2015年。問題14等。
(4) 根據排列組合求概率。
例5（2015年福建卷18）某商場舉辦有獎促銷活動。 顧客購買一定數量的商品后可以抽獎。 每期抽獎從一個包含 4 個紅球和 6 個白球的盒子和一個包含 5 個紅球和 5 個白球的盒子中抽取，每個盒子隨機抽取 1 個球。 抽出的2個球中，如果都是紅球，則中獎； 如果只有 1 個紅球，您將贏得一等獎。 二等獎； 如果沒有紅球，則不會頒發獎金。
(1) 求顧客在一次抽獎中中獎的概率；
(2)如果客戶有3次抽獎機會，則記錄該客戶在3次抽獎中中獎的次數為X，并求出X的分布級數和數學期望。
【分析】本題以有獎促銷為背景，以獨立事件概率、互斥事件概率、分布列和數學期望為載體制定主要內容。 主要考驗學生的統計計算能力。 此類試題在各省市的高考題中經常見到。 它延續了大綱試卷的考試特點，體現了計數原理和概率統計內容的結合。 類似的題還有安徽試卷中的理科第17題、天津試卷中的理科第16題、川卷中的理科第17題、湖南試卷中的理科第18題等。不是考試分布欄目，其制定思路是符合科學題的本質的。 他們只使用計數方法來測試平均值等。
(5) 檢查系統抽樣和正態分布。
【解說】本例以某工廠工人的年齡為背景，考察系統抽樣的操作方法和均值方差的計算，隱式考察正態分布。 多年來，對系統抽樣的測試在大學入學考試問題中很常見，但其中大多數專注于直接測試結果。 這個問題朝著相反的方向發展，并測試了系統采樣的操作過程。 正態分布的檢查也主要基于直接檢查。 類似的問題包括山東卷的科學主題的問題8和福建卷科學主題的問題16。
（6）對計數原理的排列和組合的測試主要是簡單的問題。
示例7（2015年四川體積·理論6）使用數字0、1、2、3、4和5，形成一個五位數的數字而沒有重復數字。 甚至有大于40,000（）的數字。
（a）144（b）120（c）96（d）72
[評論]這個問題直接測試了排列公式的應用。 近年來，這種檢查方法也是各種測試問題集中的常見形式。 這些問題是簡單或中等的問題。
4.承諾趨勢分析
多年來，全面看一下大學入學考試問題，水平分析2015年各省和城市的大學入學考試問題，并期待明年的大學入學考試，問題的趨勢應具有以下特征。
（1）根據考試教學大綱提出測試問題。
這是命題的基本基礎，也是命題的一般趨勢。 一方面，對教學大綱的理解是明確和特定的知識，另一方面是它的內涵反映。 此外，我們還應該注意不同省和城市中的測試問題。 考試教學大綱的相同要求在考試問題中反映了不同的重點。 因此，根據這一一般原則，我們必須將考試教學大綱與前幾年的特定測試問題相結合，以查看考試規則。
（2）關注基礎知識并檢查應用程序。
在這部分中，大學入學考試問題主要是基本問題，這是所有省和城市中測試問題的共同特征。 這部分的內容是與實際應用聯系的良好載體，因此大學入學考試經常在此部分測試應用能力。 有時，陌生的情況可能會妨礙轉變，從而導致困難的問題。
（3）應保持測試問題的數量。
至于大學入學考試問題的數量，大多數省和城市都將保持當前狀態，即一個大問題和2至3個小問題。
（4）通過兩種方式研究了計數原理的相關內容。
對計數原則的檢查并非每年都出現。 它將與排列，組合和二項式定理交替出現。 檢查排列和組合的一種方法是直接檢查它們。 另一種方法是在計算分布列中使用它們。
（5）基于統計數據和基于置換和組合的概率計算的概率計算分布在不同的測試論文中。
這是兩個測試方向。 在國家課程標準論文中，超過80％的測試問題是基于概率的統計計算。 在其他測試論文中，很大一部分的測試問題基于置換和組合計算。
（6）文科和科學測試問題之間存在差異。
這是不可避免的，是由文科和科學課程標準和考試教學大綱決定的。 但是，文科和科學測試問題通常以姊妹問題的形式出現。 例如，科學測試測試期望，文科測試測試平均值。 科學測試測試測試排列和組合，然后簡化數字并在文科測試中直接計算它們。 因此，文科和科學方面的一些測試問題非常相似，但是由于數據的變化，解決方案的難度本質上會發生變化。
（7）分配柱和相關問題的檢查是主流，統計案例也將在間隔出現。
在檢查主要問題時，分布主要用作檢查的載體，但是對其他知識的檢查也將顯得散布，因此每個內容都不能忽略，并且必須全面地進行檢查。
3.欣賞模擬問題
無論使用哪種教學模式，都需要通過一定數量的解決問題來鞏固和改進知識。 準備模擬問題在教學中起著指導作用。 因此，準備模擬問題的過程是研究教科書和課程標準，考試教學大綱和大學入學考試的過程。 回答這些問題是這些研究的具體表達。 只有成功制定和回答模擬問題，我們才能以有針對性和高效的方式掌握教學規則并為考試做準備。 以下模擬問題是您的參考。
教育出版社。
[2]教育部考試中心。 高中文科測試問題的分析（課程標準測試·2011年版）[M]。 北京：高等教育出版社。
[3]教育部考試中心。 高中科學測試問題的分析（課程標準測試·2013年版）[M]。 北京：高等教育出版社。
[4]教育部考試中心。 高中文科測試問題的分析（課程標準測試·2013年版）[M]。 北京：高等教育出版社。
[5]教育部考試中心。 高中科學測試問題的分析（課程標準測試·2014年版）[M]。 北京：高等教育出版社。
[6]教育部考試中心。 高中文科測試問題的分析（課程標準測試·2014年版）[M]。 北京：高等教育出版社。
[7] Zhou ，Yu 。 在2014年大學入學考試[J]，中國數學教育（高中版）中對“概率和統計，計數原則”的特別分析，2014年（7/8）106-119。
