今天的調查
認識的方法是檢驗事物，然后認識。 不管是嚴肅的還是無稽之談，我總是想嘗試去理解人的正常行為和事物的正常原理。 你值得關注！
問題
如圖所示，質量為 的粒子與質量為 、半徑為 、密度均勻的球體的距離。 此時，對上的萬有引力為 。 當從球中挖出一個半徑為 的小球時，剩下一對的引力為 ，那么 的比值是多少？
登月艙在距月球表面112公里的高度繞月球運行，運行周期為120.5分鐘。 已知月球的半徑為 m。 嘗試估計月球的質量。
宇航員站在行星表面的高處，向水平方向扔一個小球。 一段時間后，球落到行星表面，測量了投擲點和著陸點之間的距離。 如果投擲時的初速度增加到2倍，則投擲點與落地點之間的距離為。 已知兩個著陸點在同一水平面上萬有引力定律及其應用，行星半徑為 ，萬有引力常數為 。 求行星的質量。
想法和答案
對于這個問題，當從一個大球體中挖出一個小球體時，雖然剩下的部分具有軸對稱的特征，但它不再是球對稱了。 當它與有質量的物體相互作用時，它不能簡單地被視為粒子。 即使我們可以計算出其余部分的質心位置萬有引力定律及其應用，但我們無法利用距質心的距離來計算兩者之間的相互作用力，因此必須考慮其他方法。 如果我們填充挖出的部分，令 表示填充的均質實心球對粒子的萬有引力，可以直接由萬有引力定律得到，其中 是 到均質實心球中心到粒子的距離。粒子。表示去掉小球后，不規則物體對粒子的引力。 由于去除部分對均勻實心球產生了位移，因此可以先計算去除部分對質點的引力，然后根據力疊加原理，用去除部分減去萬有引力即可得到。 當球是實心時，挖出的實心小球的質量就是這部分質量對質點的引力
所以
現在
登月艙與月球之間的引力提供了登月艙繞月球做圓周運動所需的向心力。 假設模塊的質量為 ，月球的質量為 ，月球的半徑為 ，模塊與月球表面的距離為 ，重力的大小為 ，模塊繞月球表面做圓周運動。月球，所以向心力的大小為
對于任何行星，在不考慮自轉的情況下，都有行星本身的半徑和行星表面的引力加速度。 一旦我們知道了總和，我們就可以確定行星的質量（或密度）。 本題是通過平拋運動定律確定行星表面的引力加速度，進而求出行星的質量。
扁平拋物線物體在垂直方向做勻加速運動，運動時間由拋物點的高度和行星表面的重力加速度決定。 它在水平方向做勻速直線運動，其水平范圍由運動時間和初速度決定。
根據問題的意思畫出動作圖。 假設投擲點的高度為 ，第一次平投的水平范圍為 ，則有。
當初速度增加到2倍時，水平范圍也增加到2倍。 也就是說，存在兩個聯立方程。 假設行星表面的重力加速度為，那么我們有
由萬有引力定律和牛頓第二定律，我們可以得到
概括
關于萬有引力定律的適用范圍，教科書上并沒有嚴格給出。 通常教學中只說明當r→0時，F→∞不會發生，這進一步說明了該定律只適用于質點或均勻球形物體。 ，并且對于球形物體，它們之間的距離計算為兩個球體中心之間的距離。 對于這些情況，僅限于高中階段對知識的掌握和理解，沒有也不可能給出嚴格的證明。 事實上，平方反比定律的適用對象一定是粒子或均勻球對稱物體。 這不僅是萬有引力定律，也是我們以后要學習的庫侖定律。
利用萬有引力定律估算天體質量是萬有引力定律應用中的重要問題之一。 應用方法類似。一方面是以行星繞恒星或衛星繞行星做圓周運動為背景，根據萬有引力提供向心力。 計算是在確定運動周期、運動半徑、中心天體半徑等相關量的前提下進行的，如上面問題2所示； 一方面，計算天體質量的依據是，對于任何行星，物體與行星之間的引力等于物體不自轉或不考慮自轉的重力，即
其中 是行星本身的半徑， 是行星表面的重力加速度，如上面問題 3 所示。
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