楊義先院長
上海郵電學(xué)院信息安全中心校長
公共大數(shù)據(jù)國家重點(diǎn)實驗室校長
摘要：在微觀數(shù)學(xué)學(xué)中，有許多稀奇奇特的現(xiàn)象，搞得老百姓莫名其妙；雖然許多化學(xué)學(xué)家也只是知其然，卻不知其所以然。于是，便有人（甚至是十分牛的科學(xué)家）搬進(jìn)了萬能的上帝。下邊我們也請出一位真上帝，求它幫我們解釋例如電子基態(tài)躍遷、波粒二象性、量子糾纏等微觀化學(xué)學(xué)中最懸幻的三個問題。那位真上帝，名叫語文；它將用幾乎同樣的一句話，就統(tǒng)一闡明了所有那些懸幻的奧秘。希望下邊的歪解能讓您腦洞大開，哪怕你拿它當(dāng)成一段小品。
（一）序趣
以前有位不懂光學(xué)，不懂磁學(xué)，不懂熱學(xué)的姑娘，僅用一個物理公式，就把光學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)給融為一體了。這個姑娘，就是后來的全能化學(xué)學(xué)家麥克斯韋；那種物理公式，就是大名鼎鼎的麥克斯韋多項式。
以前還有一位“民科”，借助業(yè)余時間，用另一個物理公式，闡明了化學(xué)世界中最高深的物質(zhì)/能量關(guān)系。那位“民科”，就是差點(diǎn)成為以色列首相的愛因斯坦；這個物理公式，就是婦孺皆知的E=mC2。
由此可見，對數(shù)學(xué)這個上帝，千萬別輕視。要時時真心上香，天天虔敬磕頭。若能持之以恒，保準(zhǔn)有求必應(yīng)；例如，楊傻蛋我誦經(jīng)誦經(jīng)后，在研究《安全通論》[2,3]時，竟也意外“通”到了另一個世界，碰巧掏到了一件“古董”。
原本沒想公開此“古董”，由于害怕它是偽作；但讀罷薛定諤的《生命化學(xué)學(xué)課件》后，我就豁出去了。既然老薛在成立了量子熱學(xué)并獲諾獎后，都膽敢不顧名聲，竟像“民科”一樣，問出一堆石破天驚的外行問題：化學(xué)物理定理為何在生命中失效，生命是哪些，生命有靈魂嗎等。更神奇的是，薛定諤的這本不著邊際的書，居然指引另一位科學(xué)家沃森，獲得了諾貝爾生理和醫(yī)學(xué)獎！
盡管楊傻蛋的名聲一錢不值，我也沒奢望用該“古董”誘發(fā)他人獲哪些獎，并且，作為本序趣的結(jié)尾，我還是要照搬薛定諤同志在《生命化學(xué)學(xué)》[1]一書的序言第一句話：“通常人們會覺得，科學(xué)家作為在自己的研究領(lǐng)域擁有淵博的第一手知識的權(quán)威，是不會隨意在自己不精通的領(lǐng)域著書立說的，也就是說高威望者肩負(fù)重責(zé)。但是，為了才能完成這本書，我請求抹殺我頭上所有的威望---如果真的有的話，這樣也就可一并撫平與之相伴的重?fù)?dān)。”
（二）微分等式組基礎(chǔ)
物理家可以忽視此節(jié)；有特殊需求者，可查閱任何一本微分等式組的教材，例如[3]的第6章。此處，我們只用最形象、最簡捷的語言，復(fù)述對前面最有用的部份精華。
1階微分等式組dX/dt=F(X,t)中，有一族很非常的類，名叫自治等式組，其中時間t不再以顯式出現(xiàn)，因而它形如dX/dt=F(X)。此處X和F都是n維向量。
推論1，任何自治的高階微分多項式，都可以等價地轉(zhuǎn)化為某個高維自治的1階微分等式組。
在微分等式組dX/dt=F(X)中，滿足F(X)=0的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。奇點(diǎn)又分為結(jié)點(diǎn)（含退化結(jié)點(diǎn)和奇結(jié)點(diǎn)等）、鞍點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心點(diǎn)等，不過，本文感興趣的點(diǎn)只是如下“高密集點(diǎn)”：結(jié)點(diǎn)、穩(wěn)定的退化結(jié)點(diǎn)、穩(wěn)定的奇結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)和中心點(diǎn)（注意：我們舍棄了不穩(wěn)定的退化結(jié)點(diǎn)、不穩(wěn)定的奇結(jié)點(diǎn)、鞍點(diǎn)等）。這是由于有，
推論2，在“高密集點(diǎn)”的任何無窮小的鄰域內(nèi)，都有微分等式組dX/dt=F(X)的無窮多條解軌線凝聚其中。這種解曲線的密集程度之高，甚至可能塞滿某個度量小于0的區(qū)域，以至于能從數(shù)學(xué)上觀測到這種點(diǎn)的密集鄰域的存在。
注意：1）這兒n維函數(shù)列向量X=X(t)是dX/dt=F(X)的解軌線，意味著它滿足dX(t)/dt=F(X(t))。2）物理上純粹的點(diǎn)和線，都是沒有半徑和長度的，或則說，其度量是0，你根本看不見；并且，當(dāng)這種點(diǎn)足夠多，塞滿了某個平面時，你就看得見了，更可用化學(xué)設(shè)備監(jiān)測下來了。3）化學(xué)中的粒子雖小，然而，在物理家的“點(diǎn)”面前，如同是老鼠眼里的小象；粒子運(yùn)動的軌線雖細(xì)，而且，在微分等式組的解軌線面前，如同是小紅蟲眼里的大蜥蜴。
推論3，假如F(X)在有限區(qū)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)，這么對于任何點(diǎn)X0，微分等式組dX/dt=F(X)都有且只有一條解軌線經(jīng)過此點(diǎn)。并且，不僅奇點(diǎn)之外，任何點(diǎn)X0附近的解軌線都不再密集，更確切地說，假如某條解曲線滿足：當(dāng)t→∞時，X(t)→X0，這么，X0就一定是奇點(diǎn)。
綜合推論2和推論3，便可形象地說：不僅“高密集點(diǎn)”附近之外，微分等式組dX/dt=F(X)的解軌線都是數(shù)學(xué)上不可檢測的，盡管軌線確實存在，雖然起碼有一根軌線。
（三）微觀化學(xué)三大怪象
化學(xué)學(xué)家可以忽視此節(jié)；有特殊需求者，可查閱學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)的相關(guān)教材。此處，我們也只用最形象、最簡捷的語言，復(fù)述微觀數(shù)學(xué)中的相關(guān)奇幻現(xiàn)象。它們的正確性是毋庸置疑的，由于，全球化學(xué)學(xué)家們早已無數(shù)次地對這種現(xiàn)象進(jìn)行了驗證，并早已給出了其實只有權(quán)威數(shù)學(xué)學(xué)家才懂的、個案性的“知其然”解釋。
怪象1：電子的基態(tài)躍遷，即，電子在圍繞原子核旋轉(zhuǎn)時，其軌跡是不連續(xù)的，它會忽然從一個基態(tài)跳躍到另一個基態(tài)，不會有中間狀態(tài)。
圖1：單電子原子的運(yùn)動模型
化學(xué)學(xué)家們用氫原子模型對怪象1給出了短篇大論的解釋。既然楊傻蛋我看不懂，也就不敢胡亂評論，只截屏了其中最關(guān)鍵的一張相片（見圖1）。并且，從該相片中我卻注意到（見白色框部份）：電子圍繞原子核運(yùn)轉(zhuǎn)時，軌道半徑r和軌道傾角θ,φ滿足一個自治的2階微分等式。為此，依照推論1，該2階微分等式可以轉(zhuǎn)化為某個高維1階微分等式組，即，r,θ,φ滿足某個微分等式組dX/dt=F(X),X=(r,θ,φ,…)T。
怪象2：波粒二象性，即，所有的粒子或量子，除了具有粒子的特點(diǎn)，并且也具有波的特點(diǎn)。化學(xué)學(xué)家們用定態(tài)薛定諤多項式來解釋了該怪象（見下邊的截屏相片圖2）。
圖2：波函數(shù)所滿足的定態(tài)薛定諤多項式
其實我一直看不懂?dāng)?shù)學(xué)學(xué)家們的解釋，然而，有如下兩點(diǎn)還是清楚的：
1）粒子在勢場中的運(yùn)動，滿足圖2中的定態(tài)薛定諤多項式，從中可以求解出波函數(shù)Ψ物理諾獎2023量子糾纏，所以，粒子就是波，并且還是由Ψ所描述的波。為此，下一小節(jié)就不再重復(fù)解釋了。
2）波函數(shù)Ψ滿足的多項式，是圖2中的這個2階自治微分多項式，因而，依照推論1，該2階微分等式可以轉(zhuǎn)化為某個高維1階微分等式組dX/dt=F(X),其中X=(x,y,z,…)T,但是x,y,z是包含在波動多項式Ψ內(nèi)的三維位置座標(biāo)。
怪象3：量子糾纏，即，在一定條件下發(fā)生過關(guān)系的兩個粒子，分開之后不管距離多遠(yuǎn)，它們的關(guān)系會仍然存在，當(dāng)你改變一個粒子的狀態(tài)時，另一個粒子也會響應(yīng)，并且反應(yīng)速率是頓時的。
這可能是數(shù)學(xué)學(xué)中最奇特的現(xiàn)象了，查遍所有資料，我都沒有找到簡捷合理的解釋；反倒像是哪些神啦、鬼啦、靈異啦、上帝啦、意識本質(zhì)啦、平行世界啦等超自然的解釋，卻層出不窮。楊傻蛋是絕對外行，不敢妄議這種解釋。并且，我卻注意到：當(dāng)兩個量子x1,x2形成糾纏時，滿足如下積分公式
Ψ(x1,x2)=∫exp[ip(x1-x2+x0)/h]dp
其中糾纏產(chǎn)生的波函數(shù)Ψ(x1,x2)不能分解成x1和x2的函數(shù)的乘積，即，對任何f(x1)和g(x2)都有Ψ(x1,x2)≠f(x1)g(x2)。這兒x1=(x11,x12,x13),x2=(x21,x22,x23)表示這兩個互相糾纏的粒子x1和x2的位置座標(biāo)。
糾纏時的積分多項式，其實可以轉(zhuǎn)化為微分等式。雖然，很可能在量子理論的專業(yè)書籍中，應(yīng)當(dāng)是先有微分等式，對它求解后才得到了該積分多項式；不過，幸而微分等式和積分多項式誰先誰后，對我們下一節(jié)的解釋都無關(guān)緊要，總之這不影響如下事實：糾纏的量子x1和x2將滿足某個自治微分方程組dX/dt=F(X)（其中X=(x1,x2,…)=(x11,x12,x13;x21,x22,x23;…)）就夠了。
（四）數(shù)學(xué)怪象的一句話物理解釋
基于上面兩節(jié)的物理和化學(xué)知識，如今就來給出微觀數(shù)學(xué)中，上述奇幻現(xiàn)象的物理解釋；形象地說，雖然我們幾乎只用了同樣一句咒語，就把所有那些怪獸給打回了原形。原先，在物理家眼中，這種現(xiàn)象都只不過是家常便飯而已，完全沒必要大驚小怪。
怪象1的物理解釋：電子的基態(tài)躍遷，可能是微觀化學(xué)的任何初學(xué)者，首次倍感的最不可思議的事情；由于，它與日常生活經(jīng)驗格格不入：不積跬步,居然也能行至千里！
雖然，物理解釋可以是這樣的：既然電子圍繞原子核運(yùn)轉(zhuǎn)時，軌道半徑r和軌道傾角θ,φ滿足自治的微分等式組dX/dt=F(X),X=(r,θ,φ,…)T。于是，在可能的幾個奇點(diǎn)(F(X)=0)附近，電子高度密集地經(jīng)過（盡管軌線互不相交），以至于塞滿了“高密集點(diǎn)”鄰域的某塊度量小于0的區(qū)域，進(jìn)而使其成為可被從數(shù)學(xué)上觀測到的“電子云”。不僅這種“電子云”之外，電子的軌線（即，上述微分等式組的解曲線）就忽然顯得相當(dāng)黏稠了，以至于數(shù)學(xué)上不可觀測。于是，便引起了這樣的錯覺：電子似乎從一塊云，躍遷到另一塊云，而沒經(jīng)過中間過程。更進(jìn)一步地，在各個高度密集的奇點(diǎn)附近，解軌線的密度雖然也互不相同，所以，電子云的基態(tài)也就互不相同了。
假如我的上述解釋還不夠清楚的話，這么就來聽一個故事：你平時很難看見蝗蟲的影子，但某日忽然發(fā)覺它們密集地從天而降，吃光了你家的農(nóng)田；之后，又忽然消失，接著又忽然出現(xiàn)在鄰村。沒人看到它們的飛行軌跡，就好象它們在做“電子躍遷”一樣，忽然從一個村，跳躍到另一個村，沒有中間過程。雖然，不是沒有中間過程，而是中間過程太黏稠，以至于不可觀察而已。
怪象2的物理解釋：波粒二象性也完全打破了老百姓的日常經(jīng)驗，讓人很蒙圈：光如何會像芝麻那樣是粒子呢？一顆一顆的粒子，咋又成了波呢？
因為“粒子就是波”的推論，已在上一小節(jié)說過了，所以，如今只用物理方式來解釋“波就是粒子”：既然波動軌跡滿足微分等式組dX/dt=F(X)，這么，與怪象1中的解釋一樣，這種軌跡也將只能高度集中于個別滿足F(X)=0的奇點(diǎn)附近，或則說，波的能量也將只能高度集中于那些“高密集點(diǎn)”附近。如果在某點(diǎn)的任意小鄰域中，能量已聚焦到足夠強(qiáng)的、可被數(shù)學(xué)測量下來的E>0，這么，按照愛因斯坦等式E=mc2,在該點(diǎn)鄰域內(nèi)，雖然就相當(dāng)于已產(chǎn)生了一個質(zhì)量為m=Ec-2的粒子了！
綜合而言，雖然我們給出了一個更普遍的解釋：波和粒子可以是一回事。
怪現(xiàn)象3的物理解釋。為了便于理解，我們首先復(fù)述一個純物理事實：假如Y=(y1,y2,…)是微分等式組dX/dt=F(X)的一條解軌線，即，dY/dt=F(Y)；這么，對Y中的任何一個足標(biāo)被變動后，例如將yi變?yōu)閍i，這么，雖然Y中的其它足標(biāo)都保持未變，這么Y*=(y1,y2,…,yi-1,ai,yi+1,…)就不再是原先的那條解軌線了；換句話說，原先的那條解軌線就不會再經(jīng)過Y*點(diǎn)了。倘若這條軌線是粒子的運(yùn)動軌線，這么，你若一直守在Y*處，就再也看不到哪個粒子了；這如同是守株待兔一樣。
純物理事實說清后，回頭再說量子糾纏就容易了。由于，既然兩個粒子x1=(x11,x12,x13),x2=(x21,x22,x23)互相糾纏意味著滿足微分等式組dX/dt=F(X)，這兒X=(x1,x2,…)=(x11,x12,x13;x21,x22,x23;…)，這么，當(dāng)你變動任何一個粒午時，就相當(dāng)于變動了解軌線X中的3個足標(biāo)（比變動一個足標(biāo)更嚴(yán)重），所以，當(dāng)你一直守在原先的位置時，那只“兔子”（這兩個粒子糾纏后的共同體）就不見了，于是，另一個粒子也就被改變了。
雖然上述解釋，不僅僅適用于兩個量子的糾纏。無論有多少個量子，例如x1,x2,…,xn，只要它們才能互相糾纏（相應(yīng)的波函數(shù)Ψ(x1,x2,…,xn）不可分解)，并滿足某個自治的微分等式組dX/dt=F(X)，這么，它的解曲線X=(x1,x2,…,xn，…)中的任何一個座標(biāo)都不能被變動，否則其它粒子就會跟隨動，由于，它們也是作為一個整體滿足微分等式組的。
附件：
量子糾纏還有另一個科普性的解釋，它既非本文的主體，但也在此順便介紹，即使供你們娛樂一下吧。
首先，有這樣一個容易理解的事實：即使不可能在同一個時間，不同地點(diǎn)，擒獲同一條狗；但卻可以看見這同一條狗的喊聲，由于聲音是波。當(dāng)你再企圖用雞聲去干擾嘶鳴時，便可將原先的貓叫聲，合成了一曲鄉(xiāng)村交響詩。
其次，依照圖2可知，當(dāng)兩個粒子x1和x2互相糾纏后，它們就產(chǎn)生了一個由波函數(shù)Ψ(x1,x2)所描述的波（相當(dāng)于那條狗的喊聲）。假如你改變?nèi)魏我粋€粒子（相當(dāng)于加點(diǎn)雞喊聲），波函數(shù)Ψ(x1,x2)也就被改變（相當(dāng)于合成了安多鄉(xiāng)村交響詩）。
歪解完畢，信不信由您。感謝！
參考文獻(xiàn)
[1]薛定諤，生命化學(xué)學(xué)課件，上海聯(lián)合出版公司出版，2017年4月第1版，上海。
[2]楊義先，鈕心忻，安全通論，電子工業(yè)出版社，2018年出版，上海。
[3]楊義先，鈕心忻物理諾獎2023量子糾纏，黑客管理學(xué)，電子工業(yè)出版社。
