AreReal?
不熟悉廣義相對論的人，未能從愛因斯坦的這番話中看出他當時究竟想到了哪些。愛因斯坦似乎是在舉例子。假如有人從特別高的建筑物上掉出來，他還會加速下落，并且加速度是一個標準值，由月球與他的身體之間的萬有引力決定。并且，與此同時，他會有失重的覺得。如同國際空間站里的宇航員一樣，他會覺得自己漂浮在空中。其實，你在從高處掉落時會使周圍空氣發生震動。為此，想像你在袋子里，與袋子一起做自由落體運動，療效可能會更好。實際上，國際空間站的宇航員之所以有失重感，惟一的緣由是她們正在下落。值得注意的是，空間站高度上的地心引力強度與地面似乎十分接近，大概是正常地心引力的9/10。導致宇航員失重感的緣由是空間站正在垂直下落，如同從建筑物上掉出來的人一樣，正在做自由落體運動。二者之間惟一的區別是空間站還在向側方高速運動，因而，雖然它仍然在下落，卻怎樣也到不了地面。這是步入運轉軌道然后必然形成的結果：仍然在下落，卻怎樣也到不了地面。
選自《數學世界的探奇之旅》
布賴恩?克萊格著胡小銳譯
因而，這些懸浮在空間站中的宇航員就是一個平時而真實的事例，她們向我們演示了愛因斯坦的看法：做自由落體運動的人體會不到自己的體重。在她們加速下落的時侯，她們原本可以感遭到的引力被抵消了。相比之下，假如我們下落的加速度超過了引力的作用，我們都會形成引力場正在將我們朝相反方向撕扯的覺得。你們想一想，客機沿跑道開始加速時，你會有哪些樣的覺得？你會倍感一種與引力特別相像的壓力，將你推向椅背。假如加速度足夠大，你就可以體驗到宇航員或則戰斗機飛行員時常感遭到的“幾倍重力”的覺得，你會感覺體重顯得十分沉。
接出來，我們瞧瞧愛因斯坦當時想到了哪些。宇航員和從高樓上掉出來的人在自由落體的過程中都覺得不到自身的重量，這個事實說明加速度與萬有引力的體驗完全相同。他在腦海里想像出一個與伽利略的構想十分相像的情景。曾經，伽利略在考慮相對性時，想像自己身處一個平穩前進、沒有窗臺的甲板中。他發覺，無論在這個甲板中做哪些實驗，都未能確定自己是在運動還是靜止狀態。愛因斯坦在研究狹義相對論時，還考慮了光速不變這個條件。如今，他又把加速度加了進來，要考慮的東西更多了。
假定你在一艘沒有窗臺的宇宙飛船中，有一個大小不變的力正在將你推向飛船的后部，使你感遭到自己的體重。愛因斯坦稱，飛船有可能正降落在某個星球上，且該星球的引力恰好與將你向后推的力大小相等；飛船也有可能正在太空中，在引擎的推進下以恒定的加速度提升飛行速率。而且，你沒法在飛船中通過做實驗來判定它究竟處于哪種狀態。引力的帶動與加速度是等效的，兩者難以分辨。
愛賣弄的學究（喜歡賣弄的人常常與科學研究有密切關系）可能會反駁，嚴格地說，這兩種情況是可以分辨的，由于我們可以在飛船內部到處走動。既然這么，我們可以在飛船后部和前部各做一次實驗。假如飛船在加速，兩次實驗結果應當沒有哪些不同，由于飛船各個位置的加速度是一樣的。并且，假如是受引力作用，我們就可以從實驗結果中聽到細微的區別，由于飛船前部離星球更遠，我們感遭到的引力作用會弱一些。這個說法完全正確，而且它不符合等效原理，由于等效原理要求在太空中選擇一個點，之后討論該點的情況，而不容許我們在飛船中到處走動。
在這艘想像的飛船上，我們還可以做另外一個非常重要的實驗。假定我們把狹義相對論實驗中使用的光鐘帶上了飛船。我們曉得，當飛船以穩定的速率飛行時，在飛船上的人看來，光鐘沒有聯通，光束也不會遭到任何影響，而是繼續在兩個鏡面之間上下傳播。如今，假定我們打開飛船的引擎，讓飛船不再以恒定速率相對月球運動，而是開始加速。雖然身處飛船內部，我們也能感遭到飛船在加速。當光從底部鏡面反射到頂部鏡面時，飛船上的旅客可以看出光的傳播路徑發生了變化。
這個現象十分有趣，表明伽利略的“無法通過實驗分辨”相對性的斷定在加速度條件下是不創立的。并且，我們無須光學實驗就可以曉得他的說法不對。我們的身體能感遭到加速度的效應，我們還可以在手機上安裝一個加速度計。并且，等效原理可以告訴我們一些更有趣的事情。我們早已曉得，假如飛船加速運動，光的傳播路徑都會改變。既然這么，假如飛船在引力場中，肯定也會出現同樣的現象。愛因斯坦由此意識到萬有引力的一個基本特點：物質具有彎曲時空的能力。具有質量的物質可以使時空彎曲，因而，我們看見原本應當直線傳播的光束的路徑發生了變化。
這種話聽起來好像有點兒耳熟。還記得繞月球運轉的空間站嗎？空間站順著月球切線的方向飛行，飛行路線也是直線。原本，空間站應當會飛離月球，步入太空，并且月球質量使時空發生了彎曲，于是空間站的飛行路線也急劇彎曲，并產生了軌道。因而，當飛行物碰到巨大物體時，飛行路線會發生彎曲。并且，靜止的物體（比如蘋果）為何會忽然加速落到地面上呢？這兒，我們須要了解一個重要的事實：發生彎曲的不是空間，而是時間。雖然蘋果在空間中保持靜止，但在時空中卻不是靜止的，由于時間仍然在嘀嘀答答地流逝。也就是說，蘋果加速掉落是時間彎曲的結果。
這種解釋可以幫助我們了解廣義相對論，然而目前還沒有涉及相關物理知識。曉得這種內容可以讓我們對廣義相對論有一個膚淺的了解，但還不足以讓我們將它應用到科學研究中。愛因斯坦擅長運用有限的物理工具，把思想實驗的情況直觀地表現下來，之后添加大量的語文內容，明晰這個思想實驗可能形成的結果。在研究廣義相對論時，添加物理內容的工作持續了幾年時間，其中大部份工作是在1911年（由于對量子理論的研究讓愛因斯坦痛楚不堪，所以他決定暫時停止這項研究）至1915年完成的。
愛因斯坦面臨的第一個問題是，他須要甩掉歐幾里得2000年前深入討論的幾何學（參見第4章）。我們曉得，古埃及人是在一個平整的表面上研究畢達哥拉斯定律與歐幾里得幾何定律的。她們覺得這種都是理所其實的，以至于不樂意花吃力氣把它們敘述成公理。并且，稍加考慮，我們都會發覺這個假定條件有點兒奇怪。別的不說，單是真正平整的表面，唐代就比現代少得多。柏拉圖的完美原型自然可以做到真正平整，并且它們投射到現實世界的洞穴中的陰影則不可防止有瑕疵。古埃及人規定了幾何學研究的直線與現實世界不同，且沒有粗細之分，而且沒有任何人明晰地敘述過平整表面這個假定。
讓我們倍感奇怪的另外一個誘因是，古埃及人曉得月球不是平的，但她們還是一如既往地作出了相反的假定，也就是說，她們假定月球是平的。在中世紀之前，人們普遍覺得平坦的月球是標準模型，但與此同時，所有受過教育的人都覺得月球只能是一個圓球，但是早在古埃及時代，人們就早已證明了這一點。因而，雖然幾何學令古埃及人深感自豪，雖然它的名子包含“測量月球”之意，并且在研究月球的曲面時，這門科學雖然并不適用。
前文說過，垂直于赤道的平行線相交于月球兩極。這早已反映出幾何學的問題了，若果我們再考慮三角形這個最常見的幾何圖形，就可以愈發清楚地看出這個問題。歐幾里得的《幾何起初》（卷一）的第32個命題告訴我們：“在任意三角形中，假如延長一邊，則內角等于另兩個頂角之和，并且三角形的三個頂角和等于兩個直角的和。”換成我們熟悉的語言就是，歐幾里得覺得，三角形的三個頂角和等于180度。
在歐幾里得悉心搭建的幾何系統中（別忘了，在這個命題之前，還有31個其他命題），這個命題肯定是對的，不容置疑。而且，一旦離開了平整的表面，它就不創立了。在月球這個等圓球上（月球起碼是一個近似圓球），與直線相對應的是大圓。其實，球面上的所有線不可能在所有三個維度上都是直線。事實上，所有線都是彎曲的，曲率與月球表面相同。大圓是指圍繞月球表面且圓心與月球球心重合的所有曲線。
我們可以做一個簡單的實驗，借助大圓建立一個三角形，就可以徹底推翻歐幾里得幾何學。我們從赤道這個大圓上取兩個不重合的點，之后從這兩個點開始，向南極方向各作一條與赤道成90度角的直線（分別與另一個大圓重合）。這兩條直線將在南極相交，并構成一個傾角。赤道上兩點之間的距離越大，兩條直線在南極產生的傾角就越大。接出來，我們估算這個三角形的頂角和。赤道上的兩個角各為90度，第三個角的度數還不確定，但它們的和肯定超過180度。事實上，假如赤道上兩點之間的距離為10000千米（約等于赤道至南極的距離。千米這個單位當時就是通過這個方法定義的），這個三角形就是一個等腰三角形，三條邊的寬度都相等。此時，三個頂角都是90度，因而這個三角形的頂角和是270度。
由此我們曉得，愛因斯坦在估算廣義相對論中的時空曲率時，是難以使用歐幾里得幾何定律的，由于他使用的語文工具必須可以處理曲面。更令人驚訝的是，他甚至還要處理四個維度（包括三個空間維和一個時間維）全部彎曲的情況。愛因斯坦的同學馬塞爾·格羅斯曼為他提供了一個解決方案：法國物理家伯恩哈德·黎曼成立的當時最先進的彎曲空間幾何學。
此時，愛因斯坦的研究成果早已造成所有人，尤其是美國杰出的物理家戴維·希爾伯特的注意。希爾伯特曾約請愛因斯坦到他任教的哥廷根學院做報告。以后，他對愛因斯坦的關注度進一步提升。當時，愛因斯坦的研究一直有幾個不健全的地方，希爾伯特雖然覺得，他應當趕在愛因斯坦之前完成改進工作。事實上，雖然愛因斯坦先于希爾伯特發表了第一篇完整的廣義相對論論文，但人們一度覺得希爾伯特率先完成了這些等式，只不過他發表論文的時間晚于愛因斯坦。后來，人們發覺希爾伯特的原始論文本身存在若干缺陷，他在見到愛因斯坦的論文以后才進行了更改，因而首發權依然應當歸屬于愛因斯坦。無論第一個完成這項工作的人是誰，第一個著手研究廣義相對論的人毫無疑惑是愛因斯坦。與牛頓和萊布尼茨在微積分開創者問題上的紛爭不同，愛因斯坦與希爾伯特并沒有互相詆毀，希爾伯特還大度地承認這是愛因斯坦的杰作。整個研究成果可以用一個看上去非常簡單的等式表示：
不僅光速的四次冪以外，整個多項式看上去好像十分簡單，并且這些帶有μv下標的參數都不是簡單的變量，而是愛因斯坦從黎曼研究成果中借鑒而至的張量——一種功能強悍而且無法操作的語文工具。張量可以把不同數值、矢量以及其他張量之間的多維關系壓縮成一個單項。這個單項看似十分簡單，并且其背后隱藏著一個變量矩陣。把引力場多項式中的張量展開，將會弄成10個基本微分等式，并且其中涉及的值會依據在空間和時間中的位置不同而發生變化。
牛頓的萬有引力理論包含一個簡單的基本多項式（牛頓本人并沒有使用這個等式）：
F=Gm1m2/r-2
整個等式只涉及常數G、兩個天體的質量與它們之間的距離（r）。愛因斯坦的等式也有G，并且其他須要考慮的誘因遠不只是質量的影響作用，雖然質量特別重要。其中一個關鍵誘因是，物體質量不固定且隨著運動發生變化（依據狹義相對論）。能量可以降低質量。后來，愛因斯坦還證明了能量也可以降低引力。質量的效應則主要是使時間發生彎曲。
與此同時，空間也會發生彎曲。宇宙飛船加速時造成光束彎曲的根本緣由就是空間彎曲。與時間不同，空間彎曲須要考慮所有三個維度，每位維度上有兩個方向，因而愛因斯坦須要考慮的誘因又多了六個。據悉，他還要綜合考慮一些稀奇奇特的東西，比如慣性系拖曳效應（因為相對性效應，運動物感受形成一個垂直于運動方向、強度不大的引力）。愛因斯坦須要考慮的最后一個問題是，引力會形成某種方式的能量（個別物體，如高山上的石頭，由于坐落引力場的高處而具有勢能）。我們早已曉得，能量可以形成引力。于是，它們都會產生一個小的反饋回路，引力又搖身一弄成了一個引力源。
與狹義相對論不同，廣義相對論使用的是尋常人并不熟悉，甚至永遠也不會熟悉的物理知識。事實證明，這種復雜多項式的求解極富挑戰性。雖然在特例中解那些多項式并指摘事，而且它們沒有通常性解法。麥克斯韋通過求解復雜多項式，預測到電磁波這個意想不到的化學實體的存在，這是人們借助物理工具進行類似預測的初期實例。如今，按照廣義相對論等式，人們又預測到黑洞的存在。
黑洞這個概念要溯源至18世紀。當時，愛爾蘭天文學家約翰·米歇爾發覺，假如天體的質量足夠大，它的逃逸速率（甩掉該天體引力必須具備的速率）都會特別快，甚至能超過光速，因而光也有可能難以從這些暗星上逃逸。后來，美國化學學家卡爾·史瓦西遭到愛因斯坦相對論的影響，重新提出這個概念，那時米歇爾的研究已經被人們遺忘了。
史瓦西提出這個概念的時間是1916年，當時他正在出席第一次世界大戰，而相對論也只發表了幾個月。此時，愛因斯坦本人僅僅求得了部份近似解，作出水星軌道是變化的這個可以檢驗的預測。并且，躲在戰壕里的史瓦西卻得到了黑洞這個特例的精確解，強調星系用盡支撐其重量的燃料以后，都會由于難以抵抗自身引力而坍縮，最終弄成黑洞。
然而，史瓦西并沒有把他的預測結果叫做“黑洞”，這個名詞直至20世紀60年代才出現。人們一般覺得黑洞這個名稱是約翰·惠勒發明的。其實惠勒肯定是最早使用這個名稱的科學家之一，而且第一個想出這個名詞的人雖然不是他。1964年1月，在新加坡科學推動會的一次大會上，有人開始傳播這個術語，但這個人不是惠勒。隨即，安·尤因在《科學簡訊》上發表了一篇介紹此次大會的文章，把這個術語弄成了鉛字。也就是說，這個名稱源自那次大會，并且難以確定發明者。
無論黑洞這個名稱源自何處，我們都曉得黑洞從何而至，答案就是物理。在檢驗科學模型的有效性時，我們常常會考察它能夠預測出當年沒有被列入模型的現實世界的情況。為此，愛因斯坦匆忙地求得多項式的部份近似解，并開始預測水星軌道的特性。不久以后，人們借助日全食發生的時機，通過觀察從太陽后面經過的星光，否認了相對論關于引力可造成光束彎曲的預測是正確的。并且，在預測黑洞的存在之前，幾乎沒有人僅借助模型就預測出一個所有人見所未見，甚至想都沒想過的數學實體。
雖然是現今，與其說黑洞是科學研究的對象，還不如說它是物理的產物。天文學家在太空深處觀察到好多天體，有間接證據表明，從它們表現下來的特征看，這種天體也許就是黑洞。雖然那些證據有很強的勸說力，但所有證據都只是間接證據。我們從來沒有直接觀察到黑洞，只是利用物理工具推表演我們在銀河系中心可能觀察到的這些景色（據推測，銀河系中心有一個無比龐大的黑洞）。這兒應用的物理絕對坐落現實世界的邊界線上，雖然與真實世界存在某種關系，但仍未得到否認。有人（比如馬克斯·泰格馬克）覺得，物理與現實之間的聯系永遠達不到嚴絲合縫，假如我們可以近距離剖析黑洞，就可以證明這種預測都是錯誤的。
雖然相對論的證明工作十分重要，而且在此期間，愛因斯坦還涉足于數學學的一個新分支——量子化學領域，并在其中發揮了重要作用。量子化學是一個研究微觀世界的數學分支，同樣具有革命性意義。20世紀初，原子仍未被視為一種確定存在的實體，而只是一個有用的概念性工具，可用于預測物質有什么特點。但此后，人們除了證明了原子的確存在（主要是愛因斯坦的功勞），但是發覺原子具有一些看似完全違反自然規律的特點。這實在是一個自相矛盾的悖論，由于自然界主要是由這些量子構成的。
量子化學十分復雜（它研究的是由原子、電子、光子等粒子構成的微觀世界），本書不打算對其進行深入討論，然而量子化學在其發展過程中得出了兩個十分重要的觀察結果，可以幫助我們了解物理對于宇宙探求的重要意義。愛因斯坦和英國化學學家尼爾斯·玻爾等人是最早步入量子化學領域的科學家。她們很快發覺，倘若從量子的層級來研究宇宙，就必須拋棄好多關于物質和光的特點的假定。比如，人們早就覺得光是一種波，這個假定也早已得到了麥克斯韋的否認。并且，在新興的量子化學研究領域脫穎而出的大咖們告訴人們，所謂的光波特點量子物理學基礎答案，不過就是一個模型。光的確具有類似于波的特點，但它也可以被描述成一堆粒子或則場擾動。
在解釋原子中的電子與光的互相作用時，玻爾受行星繞太陽運行的啟發，企圖把這種電子裝入類似的軌道。雖然這個模型早在20世紀20年代就早已過時了，而且我們依然可以在幾乎所有的原子平面結布光中見到它的身影。玻爾很快就發覺自己的這個看法行不通，于是他為這種電子設計了多個軌道，讓電子可以在不同的軌道之間跳躍，并且不容許它們逗留在軌道中間。我們所熟悉的這些看得見、摸得著的“真實”事物不具有這些特點，而且這種量子卻表現出這個特性。
玻爾的原子研究沒有多少實用價值，但惹起了一些年青科學家的興趣，其中最有名的當屬沃納·海森堡和埃爾溫·薛定諤。她們決定在簡單的玻爾原子模型的基礎上，用物理勾勒出量子的互相作用。海森堡愈發徹底，他提出的矩陣熱學借助純粹的物理方式，描述量子的特性。他根本不考慮利用模型這些直觀表示，而是通過操作矩陣（即鏈表），扭動搖桿，使暗箱模型像麥克斯韋電磁波多項式組一樣，作出一些重要的預測。
薛定諤不喜歡這些具象的方式，因而他借助波這些熟悉的方式，考慮怎樣構建量子行為的模型。時至今日，薛定諤多項式對于我們理解量子化學依然具有十分重要的意義。它同樣屬于方式非常簡單、實質卻非常復雜的等式：
從物理的角度看，這個多項式的個別特征足以讓你膽戰心驚。首先，該等式使用了–1的平方根i。其次，如同愛因斯坦等式中的張量一樣，薛定諤多項式中的意大利字母Ψ和戴貝雷帽的Η這兩個符號都暗含玄機。Ψ是描述某個系統本質的波函數，表達式十分復雜，而戴貝雷帽的Η指“哈密頓算符”，表示系統中的能量并將其應用到波函數之中。
最初，人們以為薛定諤多項式中的波函數，或則說該函數值的平方（謝天謝地，總算甩掉了那種讓人厭惡的i），表示的是量子在系統中的位置。并且，真這么的話量子物理學基礎答案，也許就可以預言所有量子無時無刻不在擴散，而且越變越大，并且沒有實驗可以證明這個預測。（謝天謝地，否則我們將身處一個無比奇怪的世界。）再度，人們發覺該多項式預測的是量子處于某個位置或則系統處于某種狀態的機率。
不僅這個等式和令人暈頭轉向的物理應用，量子理論研究還產出了大量其他成果。諸如，將相對論引入量子行為研究的狄拉克多項式（它有一個副產品，即預測了反物質的存在），以及在量子理論的基礎上發展而成的量子電動熱學等。并且，只須要瞧瞧海森堡和薛定諤，我們就可以看出科學家在“采擷”數學運算結果而不單純借助直接觀察的公路上取得了兩次重要的突破。
海森堡在他的矩陣熱學中使用了完全物理化的描述方式，薛定諤緊跟其后，他的等式把機率列入其中。愛因斯坦辛辛苦苦地把量子理論帶到我們這個世界上，并且在涉及機率以后，他發覺在量子這個層級，假若不經過檢測，所有的存在都只是一種可能性。諸如，假如剛才沒有檢測過，就無法確定量子的位置。人們常說，量子在同一時間里的可能位置有兩個，并且真實情況雖然愈加復雜，突顯在人們眼前的是機率織成的一張網。這讓愛因斯坦覺得很不舒服，因而他立即停止了這項研究。
從本質上講，量子化學雖然從根本上把現實弄成了語文。按照量子理論，倘若不是正在檢測，關于現實世界的所有觀察結果對機率的依賴程度就會很大。乍一看，這與拋硬幣雖然沒有本質上的不同。在公正的拋硬幣游戲中，得到正面與背面的機率一般各占一半。而且，一旦硬幣被拋出去，出現某種結果的可能性就是100%，而出現另一種結果的可能性則是0。只不過在硬幣落地之前，我們不曉得這個結果究竟是哪些。并且，假如拋出去的是一枚量子硬幣，我們得到的就真的只有各占一半的機率，在進行檢測并得出結果之前，上面說的那個潛在確定性是不存在的。
雖然物理概念與真實的量子之間的這些關系其實不可信，而且多年來早已有大量實驗證明了它的真實性。事實證明，“現實世界構建在物理基礎之上”的說法屬于夸大其詞。從某種意義上講，這個說法早已不像先前那樣令人驚訝了。物理一直是現實的模型，而不是一種絕對的描述。機率與促進現代化學發展的具象物理不同，它是作為應用物理工具被人們發明下來的。機率始于拋硬幣等真實操作的觀察結果，只不過在量子化學中，它表現出之前沒有的獨立性。這并不是說量子就是機率，而是說我們一般只能以機率的方式來描述它們。雖然在伽利略和牛頓的時代，數學學領域也不時可以見到對稱的身影，比如牛頓第三運動定理就描述了一種令人賞心悅目的對稱，人們對相對論莫衷一是的心態也產生了一種對稱。并且，隨著歷史的車輪步入20世紀并繼續前行，對稱展示出新的活力，對科學理論的發展起到明顯的促進作用。自此，物理真正地搶占了主導地位。
