我系盧海舟院長課題組近來在非線性霍爾效應理論方面取得進展，在法國數(shù)學學會《物理評論快報》()發(fā)表文章，第一作者為博士后杜宗正博士，武漢學院謝心澄教授是合作者。她們也參與了日本麻省理工大學實驗組的最新實驗工作，早已在美國《自然》雜志在線刊載。
具有時間反演的非線性霍爾效應是一個全新的研究方向。本文將介紹哪些是非線性霍爾效應以及最新理論進展。
霍爾效應
我們在小學就學習過霍爾效應。在磁場中三維量子霍爾效應，電壓I感遭到垂直于磁場和運動方向的洛倫茲力，發(fā)生偏轉(zhuǎn)，并在兩端產(chǎn)生電勢差V，這一現(xiàn)象稱為霍爾效應(如圖1所示)。
圖1霍爾效應。
霍爾效應仍然是匯聚態(tài)化學研究的一個主流方向。迄今為止，早已有4次諾貝爾化學學獎和霍爾效應有關(guān)(圖2)，分別是1985年的量子霍爾效應，1998年的分數(shù)量子霍爾效應，2016年的拓撲物相和拓撲相變，2010年諾獎石墨烯的重要實驗證據(jù)也是半整數(shù)量子霍爾效應。
圖2和霍爾效應有關(guān)的諾貝爾化學學獎。
幾何相位
霍爾效應最重要的意義在于對其來源的幾何理解，對這個理解的推廣形成了好多新數(shù)學。我們學習量子熱學的時侯都學過幾何相位。幾何相位聽上去名子很神秘。雖然我們視察博物館的時侯常常會看到的傅科擺()就是幾何相位的反例。傅科擺是根據(jù)美國化學學家萊昂?傅科的名子命名的，是證明月球自轉(zhuǎn)的一種簡單設備。這個實驗的裝置包括一個高大的、在任意垂直平面上振蕩的單擺(圖3上）。單擺擺動的方向會由于月球自轉(zhuǎn)而改變(圖3下左)，每晚改變的角度只和傅科擺所在的維度θ0有關(guān)，大小為360o(1-θ0)。這個角度可以證明恰好等于傅科擺每晚隨月球自轉(zhuǎn)走過的路徑所覆蓋的面積乘以月球直徑的平方。球體上面積減去直徑的平方就是空間角的定義。傅科擺三天變化的角度居然等于單擺隨月球自轉(zhuǎn)所覆蓋的空間角，實在是神奇。這是幾何相位在精典系統(tǒng)中最直觀的反例。
圖3上:上海天文館的傅科擺.下左:圓環(huán)代表傅科擺隨著月球自轉(zhuǎn)一圈走過的路徑。θ0是傅科擺所在的維度。圓環(huán)所覆蓋的面積乘以月球直徑的平方等于傅科擺每晚擺動方向改變的角度。下右:量子熱學精典例題“電子載流子磁矩在絕熱轉(zhuǎn)動的外磁場B中積累的幾何相位”
量子幾何相位
1984年的時侯日本化學學家Berry撰寫了一篇文章，闡述了量子熱學系統(tǒng)中的幾何相位問題。他的文章中舉了一個反例，電子載流子磁矩在絕熱轉(zhuǎn)動的外磁場中積累的幾何相位(圖3下右)。載流子是電子攜帶的角動量。角動量是描述轉(zhuǎn)動的一個數(shù)學量，簡單地說，同一個物體旋轉(zhuǎn)的快慢就是用角動量的大小來描述。帶電的粒子，例如電子，自轉(zhuǎn)的時侯會形成一個磁矩，如同環(huán)型電壓形成磁場一樣。假如再施加一個外磁場，電子的載流子磁矩會順著磁場的方向極化。電動機就是類似的原理。簡單地說，假如外加一個磁場，磁場轉(zhuǎn)動的足夠慢，電子的載流子會仍然跟隨磁場的方向轉(zhuǎn)動，但是會積累一個量子熱學“相位”。
相位是描述波的概念。例如水面上的水波，我們可以用震動頻度，震動幅度，和震動的相位來描述。量子熱學主要就是把微觀粒子用波來描述。Berry的文章強調(diào)，電子的載流子磁矩方向被磁場拉著轉(zhuǎn)一圈之后會多出一個相位，大小為1/2個空間角，和傅科擺類似。非常是，這個相位可以用一個優(yōu)美的面積分抒發(fā)下來(前方高能,物理較多)
其中,
就是轉(zhuǎn)動的磁場在單位圓上劃出的面積，
是面積微分元，被積分函數(shù)
被稱為Berry曲率(Berry)，其定義為
其中，
是載流子順著磁場方向的某個瞬時本征量子態(tài)(依據(jù)順著或則反著磁場方向，也稱載流子上或則載流子下)，
，
是關(guān)于磁場的三維矢量的微分算符。
霍爾效應的幾何來源
講了如此多，物理早已聽到雙眼發(fā)黑。這個幾何相位和霍爾效應有哪些關(guān)系呢？由于，當不考慮無序的時侯，霍爾濁度的主要貢獻可以寫成類似的對Berry曲率的積分
其中e是電子電荷，h是普朗克常數(shù)，對N求和表示有多少能帶被電子填充。等1982年發(fā)表文章發(fā)覺了這件事情[6]。她們發(fā)覺，當這個積分包裹整個球面的時侯(借助圖3去想像下)，這個積分
給出的是1/2個球體的空間角,也就是
,這樣霍爾濁度就量子化為
其中
被定義為量子濁度,n是個整數(shù)，由積分
描述，這個包裹球面的積分實際上是一個拓撲數(shù)，叫做拓撲陳數(shù)，“陳”代表知名物理家陳省(fú三聲)身。這是拓撲這門語文和匯聚態(tài)化學學的一次優(yōu)美的合作。
霍爾效應須要磁場。近來15年，Berry曲率相關(guān)的這套物理描述被推廣到?jīng)]有磁場的本征材料體系，造成了量子載流子霍爾效應的發(fā)覺，三維拓撲絕緣體的發(fā)覺，量子反常霍爾效應的發(fā)覺，拓撲半金屬的發(fā)覺，以及整個拓撲數(shù)學學的寬廣領(lǐng)域。現(xiàn)今拓撲數(shù)學學是匯聚態(tài)化學的一個主要的方向，研究匯聚態(tài)化學或多或少還會涉及到拓撲的問題。這種概念也被推廣到光學和原子分子化學。
Berry曲率和彎曲空間
講了那么多，以上只是想說明發(fā)覺Berry曲率
這件事情很重要。帶電粒子在處于電磁場中的固體中運動時，Berry曲率描述了動量空間的彎曲。有點類似廣義相對論在描述引力場的時侯使用時空彎曲的氣味(圖)。大約是說固體中的Berry曲率可以彎曲動量空間，所以電子可以走偏了，形成縱向的電流和霍爾效應。更重要的是，這些彎曲可以通過好多化學效應被檢測，也對發(fā)展未來電子元件有指導意義。
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圖4:Berry曲率和廣義相對論的時空彎曲的類比。
線性霍爾效應和非線性霍爾效應
繞了如此大圈，總算快要步入明天這篇文章的主題。目前，我們所曉得的霍爾效應都是線性的(圖5)。
圖5各類線性霍爾效應.上：霍爾效應，載流子霍爾效應，反常霍爾效應。中：量子霍爾效應，量子載流子霍爾效應，量子反常霍爾效應。下:三維量子霍爾效應。
線性霍爾效應檢測方式是，在橫向施加一個電壓，縱向檢測電流，為了混頻消除噪音，實驗就會使用鎖相放大器(Lock-in),意思就是說橫向電壓根據(jù)一個很慢的頻度振蕩，例如15赫茲，同時檢測縱向電流的時侯只把15赫茲的訊號挑下來，這樣無關(guān)的噪聲就被過濾掉。非線性霍爾效應的一種檢測方式是選購2外頻率檢測縱向電流，例如30赫茲(圖6)。
圖6非線性霍爾效應的檢測。
對稱性剖析
哪些時侯可以檢測到非線性霍爾效應呢？我們又須要一點數(shù)學和對稱性剖析了。
上面我們說過三維量子霍爾效應，霍爾效應是Berry曲率的積分。Berry曲率有兩個對稱性性質(zhì)。一是在時間反演下變號，二是在空間反演下不變號。線性霍爾效應是Berry曲率的積分，假如有時間反演，積分的時侯正動量和負動量的部份會抵消。所以必須破缺時間反演能夠觀測到霍爾濁度，例如加磁場或則參雜磁性雜質(zhì)(因而非磁性無磁場的載流子霍爾效應很難被觀測到)。
不同于線性霍爾效應，麻省理工大學的和付亮以及Low發(fā)覺非線性霍爾效應反比于一個被叫做Berry曲率偶極子的量(簡稱Berry)
它有兩種等價的抒發(fā)形式，一種是在費米面上的群速率除以Berry曲率(第一個等號)，另外一種是對費米面下所有Berry曲率的一階行列式求和(第二個等號)。第二個等號告訴我們，非線性霍爾效應是Berry曲率的高階效應，所以是新數(shù)學，特別特別重要。
第一個等號可以幫我們剖析哪些時侯可以觀測到非線性霍爾效應(圖7)。
首先，在時間反演下，速率和Berry曲率都反號，因而速率和Berry曲率的乘積不反號，這樣我們在有時間反演的時侯可以也有可能觀測到非線性霍爾效應，這和線性霍爾效應須要破缺時間反演很不同。
其次，在空間反演下，速率反號，Berry曲率不反號，這樣速率和Berry曲率的乘積反號，積分的時侯正動量和負動量的部份會抵消。假如想觀察到非線性霍爾效應，必須破缺空間反演。
圖7對稱性剖析.非線性霍爾效應在時間反演破缺時也可能存在.非線性霍爾效應須要破缺空間反演.
實驗進展
總結(jié)一下，線性霍爾效應須要破缺時間反演能夠觀測到；非線性霍爾效應須要破缺空間反演能夠被觀察到。
近來有多個實驗小組報導了具有時間反演的非線性霍爾效應的觀測結(jié)果，包括MIT的Pablo組和Gedik組的單層WTe2實驗(并列一作為馬瓊，徐蘇揚，沈匯濤)，的Mak&fú實驗組的多層WTe2實驗等。
名星材料WTe2
等一下，又是WTe2？近來這個材料是挺火的，其二維塊材是第二類的Weyl半金屬,雙層可能會有低溫的量子載流子霍爾效應或則超導,多層的時侯有鐵電性.
非線性霍爾效應的理論進展
北方科技學院盧海舟課題組和上海學院謝心澄院士也發(fā)表了相關(guān)理論121,(2018)[1]。這篇文章中她們回答了一個實驗關(guān)心的問題，哪些樣的能帶特點可以對應強非線性霍爾訊號？她們發(fā)覺可以用二維狄拉克模型描述的傾斜的能帶反交叉點或則拓撲反帶的位置就會帶來比較強的非線性霍爾訊號。據(jù)悉，她們的理論還和的實驗的角度依賴關(guān)系進行了對比。
無序貢獻的非線性霍爾效應
這些新奇的非線性霍爾效應的研究才剛才開始。實驗和理論研究證明無序是反常霍爾效應主要來源。非線性霍爾效應從第一階就強烈依賴無序，高階效應更是Berry曲率和無序紛繁復雜作用的結(jié)果，無序?qū)Ψ蔷€性霍爾效應的貢獻將是一個重要的題目。
論文鏈接：
