我系盧海舟院長(zhǎng)課題組近來在非線性霍爾效應(yīng)理論方面取得進(jìn)展，在法國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)《物理評(píng)論快報(bào)》()發(fā)表文章，第一作者為博士后杜宗正博士，武漢學(xué)院謝心澄教授是合作者。她們也參與了日本麻省理工大學(xué)實(shí)驗(yàn)組的最新實(shí)驗(yàn)工作，早已在美國(guó)《自然》雜志在線刊載。
具有時(shí)間反演的非線性霍爾效應(yīng)是一個(gè)全新的研究方向。本文將介紹哪些是非線性霍爾效應(yīng)以及最新理論進(jìn)展。
霍爾效應(yīng)
我們?cè)谛W(xué)就學(xué)習(xí)過霍爾效應(yīng)。在磁場(chǎng)中三維量子霍爾效應(yīng)，電壓I感遭到垂直于磁場(chǎng)和運(yùn)動(dòng)方向的洛倫茲力，發(fā)生偏轉(zhuǎn)，并在兩端產(chǎn)生電勢(shì)差V，這一現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)(如圖1所示)。
圖1霍爾效應(yīng)。
霍爾效應(yīng)仍然是匯聚態(tài)化學(xué)研究的一個(gè)主流方向。迄今為止，早已有4次諾貝爾化學(xué)學(xué)獎(jiǎng)和霍爾效應(yīng)有關(guān)(圖2)，分別是1985年的量子霍爾效應(yīng)，1998年的分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)，2016年的拓?fù)湮锵嗪屯負(fù)湎嘧儯?010年諾獎(jiǎng)石墨烯的重要實(shí)驗(yàn)證據(jù)也是半整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。
圖2和霍爾效應(yīng)有關(guān)的諾貝爾化學(xué)學(xué)獎(jiǎng)。
幾何相位
霍爾效應(yīng)最重要的意義在于對(duì)其來源的幾何理解，對(duì)這個(gè)理解的推廣形成了好多新數(shù)學(xué)。我們學(xué)習(xí)量子熱學(xué)的時(shí)侯都學(xué)過幾何相位。幾何相位聽上去名子很神秘。雖然我們視察博物館的時(shí)侯常常會(huì)看到的傅科擺()就是幾何相位的反例。傅科擺是根據(jù)美國(guó)化學(xué)學(xué)家萊昂?傅科的名子命名的，是證明月球自轉(zhuǎn)的一種簡(jiǎn)單設(shè)備。這個(gè)實(shí)驗(yàn)的裝置包括一個(gè)高大的、在任意垂直平面上振蕩的單擺(圖3上）。單擺擺動(dòng)的方向會(huì)由于月球自轉(zhuǎn)而改變(圖3下左)，每晚改變的角度只和傅科擺所在的維度θ0有關(guān)，大小為360o(1-θ0)。這個(gè)角度可以證明恰好等于傅科擺每晚隨月球自轉(zhuǎn)走過的路徑所覆蓋的面積乘以月球直徑的平方。球體上面積減去直徑的平方就是空間角的定義。傅科擺三天變化的角度居然等于單擺隨月球自轉(zhuǎn)所覆蓋的空間角，實(shí)在是神奇。這是幾何相位在精典系統(tǒng)中最直觀的反例。
圖3上:上海天文館的傅科擺.下左:圓環(huán)代表傅科擺隨著月球自轉(zhuǎn)一圈走過的路徑。θ0是傅科擺所在的維度。圓環(huán)所覆蓋的面積乘以月球直徑的平方等于傅科擺每晚擺動(dòng)方向改變的角度。下右:量子熱學(xué)精典例題“電子載流子磁矩在絕熱轉(zhuǎn)動(dòng)的外磁場(chǎng)B中積累的幾何相位”
量子幾何相位
1984年的時(shí)侯日本化學(xué)學(xué)家Berry撰寫了一篇文章，闡述了量子熱學(xué)系統(tǒng)中的幾何相位問題。他的文章中舉了一個(gè)反例，電子載流子磁矩在絕熱轉(zhuǎn)動(dòng)的外磁場(chǎng)中積累的幾何相位(圖3下右)。載流子是電子攜帶的角動(dòng)量。角動(dòng)量是描述轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)數(shù)學(xué)量，簡(jiǎn)單地說，同一個(gè)物體旋轉(zhuǎn)的快慢就是用角動(dòng)量的大小來描述。帶電的粒子，例如電子，自轉(zhuǎn)的時(shí)侯會(huì)形成一個(gè)磁矩，如同環(huán)型電壓形成磁場(chǎng)一樣。假如再施加一個(gè)外磁場(chǎng)，電子的載流子磁矩會(huì)順著磁場(chǎng)的方向極化。電動(dòng)機(jī)就是類似的原理。簡(jiǎn)單地說，假如外加一個(gè)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)的足夠慢，電子的載流子會(huì)仍然跟隨磁場(chǎng)的方向轉(zhuǎn)動(dòng)，但是會(huì)積累一個(gè)量子熱學(xué)“相位”。
相位是描述波的概念。例如水面上的水波，我們可以用震動(dòng)頻度，震動(dòng)幅度，和震動(dòng)的相位來描述。量子熱學(xué)主要就是把微觀粒子用波來描述。Berry的文章強(qiáng)調(diào)，電子的載流子磁矩方向被磁場(chǎng)拉著轉(zhuǎn)一圈之后會(huì)多出一個(gè)相位，大小為1/2個(gè)空間角，和傅科擺類似。非常是，這個(gè)相位可以用一個(gè)優(yōu)美的面積分抒發(fā)下來(前方高能,物理較多)
其中,
就是轉(zhuǎn)動(dòng)的磁場(chǎng)在單位圓上劃出的面積，
是面積微分元，被積分函數(shù)
被稱為Berry曲率(Berry)，其定義為
其中，
是載流子順著磁場(chǎng)方向的某個(gè)瞬時(shí)本征量子態(tài)(依據(jù)順著或則反著磁場(chǎng)方向，也稱載流子上或則載流子下)，
，
是關(guān)于磁場(chǎng)的三維矢量的微分算符。
霍爾效應(yīng)的幾何來源
講了如此多，物理早已聽到雙眼發(fā)黑。這個(gè)幾何相位和霍爾效應(yīng)有哪些關(guān)系呢？由于，當(dāng)不考慮無序的時(shí)侯，霍爾濁度的主要貢獻(xiàn)可以寫成類似的對(duì)Berry曲率的積分
其中e是電子電荷，h是普朗克常數(shù)，對(duì)N求和表示有多少能帶被電子填充。等1982年發(fā)表文章發(fā)覺了這件事情[6]。她們發(fā)覺，當(dāng)這個(gè)積分包裹整個(gè)球面的時(shí)侯(借助圖3去想像下)，這個(gè)積分
給出的是1/2個(gè)球體的空間角,也就是
,這樣霍爾濁度就量子化為
其中
被定義為量子濁度,n是個(gè)整數(shù)，由積分
描述，這個(gè)包裹球面的積分實(shí)際上是一個(gè)拓?fù)鋽?shù)，叫做拓?fù)潢悢?shù)，“陳”代表知名物理家陳省(fú三聲)身。這是拓?fù)溥@門語文和匯聚態(tài)化學(xué)學(xué)的一次優(yōu)美的合作。
霍爾效應(yīng)須要磁場(chǎng)。近來15年，Berry曲率相關(guān)的這套物理描述被推廣到?jīng)]有磁場(chǎng)的本征材料體系，造成了量子載流子霍爾效應(yīng)的發(fā)覺，三維拓?fù)浣^緣體的發(fā)覺，量子反常霍爾效應(yīng)的發(fā)覺，拓?fù)浒虢饘俚陌l(fā)覺，以及整個(gè)拓?fù)鋽?shù)學(xué)學(xué)的寬廣領(lǐng)域。現(xiàn)今拓?fù)鋽?shù)學(xué)學(xué)是匯聚態(tài)化學(xué)的一個(gè)主要的方向，研究匯聚態(tài)化學(xué)或多或少還會(huì)涉及到拓?fù)涞膯栴}。這種概念也被推廣到光學(xué)和原子分子化學(xué)。
Berry曲率和彎曲空間
講了那么多，以上只是想說明發(fā)覺Berry曲率
這件事情很重要。帶電粒子在處于電磁場(chǎng)中的固體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，Berry曲率描述了動(dòng)量空間的彎曲。有點(diǎn)類似廣義相對(duì)論在描述引力場(chǎng)的時(shí)侯使用時(shí)空彎曲的氣味(圖)。大約是說固體中的Berry曲率可以彎曲動(dòng)量空間，所以電子可以走偏了，形成縱向的電流和霍爾效應(yīng)。更重要的是，這些彎曲可以通過好多化學(xué)效應(yīng)被檢測(cè)，也對(duì)發(fā)展未來電子元件有指導(dǎo)意義。
?
圖4:Berry曲率和廣義相對(duì)論的時(shí)空彎曲的類比。
線性霍爾效應(yīng)和非線性霍爾效應(yīng)
繞了如此大圈，總算快要步入明天這篇文章的主題。目前，我們所曉得的霍爾效應(yīng)都是線性的(圖5)。
圖5各類線性霍爾效應(yīng).上：霍爾效應(yīng)，載流子霍爾效應(yīng)，反常霍爾效應(yīng)。中：量子霍爾效應(yīng)，量子載流子霍爾效應(yīng)，量子反常霍爾效應(yīng)。下:三維量子霍爾效應(yīng)。
線性霍爾效應(yīng)檢測(cè)方式是，在橫向施加一個(gè)電壓，縱向檢測(cè)電流，為了混頻消除噪音，實(shí)驗(yàn)就會(huì)使用鎖相放大器(Lock-in),意思就是說橫向電壓根據(jù)一個(gè)很慢的頻度振蕩，例如15赫茲，同時(shí)檢測(cè)縱向電流的時(shí)侯只把15赫茲的訊號(hào)挑下來，這樣無關(guān)的噪聲就被過濾掉。非線性霍爾效應(yīng)的一種檢測(cè)方式是選購(gòu)2外頻率檢測(cè)縱向電流，例如30赫茲(圖6)。
圖6非線性霍爾效應(yīng)的檢測(cè)。
對(duì)稱性剖析
哪些時(shí)侯可以檢測(cè)到非線性霍爾效應(yīng)呢？我們又須要一點(diǎn)數(shù)學(xué)和對(duì)稱性剖析了。
上面我們說過三維量子霍爾效應(yīng)，霍爾效應(yīng)是Berry曲率的積分。Berry曲率有兩個(gè)對(duì)稱性性質(zhì)。一是在時(shí)間反演下變號(hào)，二是在空間反演下不變號(hào)。線性霍爾效應(yīng)是Berry曲率的積分，假如有時(shí)間反演，積分的時(shí)侯正動(dòng)量和負(fù)動(dòng)量的部份會(huì)抵消。所以必須破缺時(shí)間反演能夠觀測(cè)到霍爾濁度，例如加磁場(chǎng)或則參雜磁性雜質(zhì)(因而非磁性無磁場(chǎng)的載流子霍爾效應(yīng)很難被觀測(cè)到)。
不同于線性霍爾效應(yīng)，麻省理工大學(xué)的和付亮以及Low發(fā)覺非線性霍爾效應(yīng)反比于一個(gè)被叫做Berry曲率偶極子的量(簡(jiǎn)稱Berry)
它有兩種等價(jià)的抒發(fā)形式，一種是在費(fèi)米面上的群速率除以Berry曲率(第一個(gè)等號(hào))，另外一種是對(duì)費(fèi)米面下所有Berry曲率的一階行列式求和(第二個(gè)等號(hào))。第二個(gè)等號(hào)告訴我們，非線性霍爾效應(yīng)是Berry曲率的高階效應(yīng)，所以是新數(shù)學(xué)，特別特別重要。
第一個(gè)等號(hào)可以幫我們剖析哪些時(shí)侯可以觀測(cè)到非線性霍爾效應(yīng)(圖7)。
首先，在時(shí)間反演下，速率和Berry曲率都反號(hào)，因而速率和Berry曲率的乘積不反號(hào)，這樣我們?cè)谟袝r(shí)間反演的時(shí)侯可以也有可能觀測(cè)到非線性霍爾效應(yīng)，這和線性霍爾效應(yīng)須要破缺時(shí)間反演很不同。
其次，在空間反演下，速率反號(hào)，Berry曲率不反號(hào)，這樣速率和Berry曲率的乘積反號(hào)，積分的時(shí)侯正動(dòng)量和負(fù)動(dòng)量的部份會(huì)抵消。假如想觀察到非線性霍爾效應(yīng)，必須破缺空間反演。
圖7對(duì)稱性剖析.非線性霍爾效應(yīng)在時(shí)間反演破缺時(shí)也可能存在.非線性霍爾效應(yīng)須要破缺空間反演.
實(shí)驗(yàn)進(jìn)展
總結(jié)一下，線性霍爾效應(yīng)須要破缺時(shí)間反演能夠觀測(cè)到；非線性霍爾效應(yīng)須要破缺空間反演能夠被觀察到。
近來有多個(gè)實(shí)驗(yàn)小組報(bào)導(dǎo)了具有時(shí)間反演的非線性霍爾效應(yīng)的觀測(cè)結(jié)果，包括MIT的Pablo組和Gedik組的單層WTe2實(shí)驗(yàn)(并列一作為馬瓊，徐蘇揚(yáng)，沈匯濤)，的Mak&fú實(shí)驗(yàn)組的多層WTe2實(shí)驗(yàn)等。
名星材料WTe2
等一下，又是WTe2？近來這個(gè)材料是挺火的，其二維塊材是第二類的Weyl半金屬,雙層可能會(huì)有低溫的量子載流子霍爾效應(yīng)或則超導(dǎo),多層的時(shí)侯有鐵電性.
非線性霍爾效應(yīng)的理論進(jìn)展
北方科技學(xué)院盧海舟課題組和上海學(xué)院謝心澄院士也發(fā)表了相關(guān)理論121,(2018)[1]。這篇文章中她們回答了一個(gè)實(shí)驗(yàn)關(guān)心的問題，哪些樣的能帶特點(diǎn)可以對(duì)應(yīng)強(qiáng)非線性霍爾訊號(hào)？她們發(fā)覺可以用二維狄拉克模型描述的傾斜的能帶反交叉點(diǎn)或則拓?fù)浞磶У奈恢镁蜁?huì)帶來比較強(qiáng)的非線性霍爾訊號(hào)。據(jù)悉，她們的理論還和的實(shí)驗(yàn)的角度依賴關(guān)系進(jìn)行了對(duì)比。
無序貢獻(xiàn)的非線性霍爾效應(yīng)
這些新奇的非線性霍爾效應(yīng)的研究才剛才開始。實(shí)驗(yàn)和理論研究證明無序是反常霍爾效應(yīng)主要來源。非線性霍爾效應(yīng)從第一階就強(qiáng)烈依賴無序，高階效應(yīng)更是Berry曲率和無序紛繁復(fù)雜作用的結(jié)果，無序?qū)Ψ蔷€性霍爾效應(yīng)的貢獻(xiàn)將是一個(gè)重要的題目。
論文鏈接：
