極化恒方程是一個(gè)有關(guān)向量和二次型的知名恒方程。
二次型[]
我們可以將二次型的概念推廣到通常的線性空間中，假定域K{\{K}}
上的線性空間（不一定是有限維的）V{V}
上定義了一個(gè)共軛雙線性函數(shù)(,){(,)}
極化恒等式例題，即(,):V×V→K{(,):VtimesVto{K}}
滿足：
第一對(duì)稱性：(λx1+μx2,y)=λ(x1,y)+μ(x2,y),?λ,μ∈K,?x1,x2,y∈V.{(x_{1}+mux_{2},y)=(x_{1},y)+mu(x_{2},y),\,muin{K},x_{1},x_{2},yinV.}
第二性：(x,λy1+μy2)=λˉ(x,y1)+μˉ(x,y2),?λ,μ∈K,?x,y1,y2∈V.{(x,y_{1}+muy_{2})={{}}(x,y_{1})+{{mu}}(x,y_{2}),\,muin{K},x,y_{1},y_{2}inV.}
這兒xˉ{{{x}}}
表示數(shù)x{x}
的共軛。定義如下函數(shù)
q(x):=(x,x){q(x):=(x,x)}
稱為V{V}
上由(,){(,)}
誘導(dǎo)的二次型，即便內(nèi)積可以誘導(dǎo)二次型。
一個(gè)二次型q(x){q(x)}
的取值是實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)誘導(dǎo)它的函數(shù)(,){(,)}
滿足(x,y)=(y,x)ˉ,?x,y∈V.{(x,y)={{(y,x)}},x,yinV.}
極化恒方程[]
二次型有知名的極化恒方程：
(x,y)=14[q(x+y)?q(x?y)+iq(x+iy)?iq(x?iy)]{(x,y)={dfrac{1}{4}}{big[}q(x+y)-q(x-y)+{text{i}}q(x+{text{i}}y)-{text{i}}q(x-{text{i}}y){big]}}
在實(shí)線性空間中簡(jiǎn)化為
(x,y)=14[q(x+y)?q(x?y)].{(x,y)={dfrac{1}{4}}{big[}q(x+y)-q(x-y){big]}.}
因?yàn)閮?nèi)積誘導(dǎo)的二次型是內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)之平方，因而當(dāng)(,){(,)}
是內(nèi)積時(shí)，上式繼續(xù)變?yōu)?span style="display:none">tJ0物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
(x,y)=14[‖x+y‖2?‖x?y‖2].{(x,y)={dfrac{1}{4}}{big[}|x+y|^{2}-|x-y|^{2}{big]}.}
在空間中內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)就是距離的平方極化恒等式例題，即
(x,y)=14[|x+y|2?|x?y|2].{(x,y)={dfrac{1}{4}}{big[}|x+y|^{2}-|x-y|^{2}{big]}.}
函數(shù)空間（學(xué)科代碼：，GB/T13745—2009）
距離空間
測(cè)度空間?完備測(cè)度空間?完備化空間?列緊空間?定律?-定律
賦范空間
準(zhǔn)范數(shù)?半范數(shù)?范數(shù)?空間?賦范線性空間?空間?Riesz引理?泛函?凸集?凸映射
內(nèi)積空間
內(nèi)積?復(fù)二次型?內(nèi)積空間?空間?極化恒方程?不方程?方程?最佳迫近
事例
空間?連續(xù)函數(shù)空間?可積函數(shù)空間?Lp空間?解析函數(shù)空間?S空間?空間?H?lder空間?空間
所在位置：物理（110）→泛函剖析（11057）→函數(shù)空間（）