【名師眼簾】當(dāng)速度一定時，弧長（或弦長）越長、圓周角越大，帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的時間就越長。 2、脹縮法的帶電粒子以任意速度、特定方向注入均勻磁場時，它們會在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，其軌跡半徑隨速度，如圖（圖中僅畫出粒子帶正電場景），速度v0越大，運(yùn)動半徑越大。 可以發(fā)現(xiàn)，這種粒子源產(chǎn)生的粒子注入磁場后，其運(yùn)動軌跡中心位于垂直于速度方向的直線PP'上。 由此我們可以得到確定臨界條件的方法：確定此類質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的臨界條件時，可以以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP′直線上，并將半徑縮放為探索臨界條件的軌跡。 條件容易解決問題，這種方法稱為“縮放法”。 【典型示例】如圖所示，寬度為d的均勻有界磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，MM'和NN'為磁場左右兩條邊界線。 有一個質(zhì)量為m、電荷為q的帶電粒子沿圖中所示方向垂直注入磁場，θ=45°。 為了防止粒子從右邊界NN′處被彈出，粒子入射率的最大值是多少？ 3． 當(dāng)平動法的帶電粒子以一定的速度向任意方向注入均勻磁場時，它們會在磁場中以相同的軌跡半徑做勻速圓周運(yùn)動。 若注射初速度為v0，則圓周運(yùn)動的半徑為R=mv0/(qB)，如圖所示。 同時可以發(fā)現(xiàn)，此類粒子源的粒子注入磁場后，粒子將在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，圓心為入射點(diǎn)P為圓心和半徑R = mv0/(qB)（這個圓將在下面描述）稱為“軌跡的中心圓”）。
由此我們還可以得到確定臨界條件的方法：確定該類粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界條件時，可沿半徑為R=mv0/(qB)的圓移動“軌跡中心圓”平移探索關(guān)鍵條件，這種方法稱為“平移法”。 【典型示例】 如圖所示，真空室內(nèi)存在均勻磁場。 磁場方向垂直于紙面。 磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.60T的大小。磁場中有一塊平坦的感光板ab。 板的表面平行于磁場方向。 距ab距離l=16cm處，有一個點(diǎn)狀α輻射源S，向各個方向發(fā)射α粒子。 α粒子的速度為v=3.0×106 m/s。 已知α粒子的電荷與質(zhì)量之比eq f(q,m)=5.0×107 C/kg。 現(xiàn)在我們只考慮在繪圖平面內(nèi)運(yùn)動的α粒子。 求 ab 上被 α 粒子撞擊的區(qū)域。 長度。 【分析】α粒子從S點(diǎn)垂直磁場以一定的速度向各個方向射出，均在磁場中逆時針方向作勻速圓周運(yùn)動。 求出它們的軌跡半徑R，為qvB=meq f (v2,R)，可得R=eq f(v,?q/m?B)，代入數(shù)值R=10 cm。 可見2R>1>R。 由于不同方向發(fā)射的α粒子的圓形軌跡都經(jīng)過S，因此可以首先檢查速度沿負(fù)y方向的α粒子。 其軌跡的中心是 x 軸上的 A1 點(diǎn)。 從α粒子軌跡的中心A1點(diǎn)開始，沿著“軌跡中心圓”逆時針移動，如圖所示。
【答案】20 cm 【典型示例】如圖所示，S為電子射線源，能向圖紙上各個方向、360°以內(nèi)以相同速率發(fā)射質(zhì)量為m、電荷為-e的電子。 MN是一塊足夠大的垂直擋板，距S的水平距離OS = L。擋板的左側(cè)充滿了從垂直紙面向內(nèi)的均勻磁場； ① 如果電子的發(fā)射速率為V0，則電子必須能夠通過O點(diǎn)，那么磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的條件是什么？ ② 如果磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，則S發(fā)射的電子能夠到達(dá)擋板的電子發(fā)射速率是多少？ ③ 如果磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，S發(fā)射的電子速度為，則電子在擋板上出現(xiàn)的范圍是多少？ 【題型復(fù)習(xí)指導(dǎo)】電子從S點(diǎn)發(fā)射出來后，會受到洛倫茲力的影響，在紙上做勻速圓周運(yùn)動。 由于電子從S點(diǎn)向不同方向噴射，會受到不同方向洛倫茲力的影響，導(dǎo)致電子的軌跡不同。 分析表明，只有從與SO及SO以上成銳角的S點(diǎn)發(fā)射的電子才能通過O點(diǎn)。由于粒子從同一點(diǎn)向各個方向發(fā)射，粒子的軌跡形成一個繞S點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動態(tài)圓。 ，動圈的每一圈逆時針旋轉(zhuǎn)，這樣就可以做出一條到達(dá)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的軌跡。 如圖所示，最低點(diǎn)為動態(tài)圓與MN相切時的交點(diǎn)，最高點(diǎn)為動態(tài)圓與MN的交點(diǎn)。 MN 是割線，當(dāng) SP2 是直徑時，P 是最高點(diǎn)。 【答】看分析【名師畫龍點(diǎn)睛】本題利用動圓法求出造成射程的“臨界軌跡”和“臨界半徑R0”，然后利用實(shí)際軌道半徑R與R0的關(guān)系的粒子運(yùn)動來確定范圍。
2. 帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的關(guān)鍵極值問題 1. 有界磁場分布區(qū)域的關(guān)鍵問題。 這類問題主要解決外界提供什么樣的磁場、多大的磁場，使運(yùn)動的電荷在有限的空間內(nèi)完成規(guī)定的偏轉(zhuǎn)。 為滿足度數(shù)要求，一般求解磁場分布區(qū)域的最小面積。 其實(shí)際應(yīng)用是磁約束。 容易混淆的一點(diǎn)是：有界磁場的圓形區(qū)域和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡的圓弧。 解決辦法是增強(qiáng)有界磁場的圓形區(qū)域與帶電粒子運(yùn)動的圓心和半徑之間的對比度。 在涉及多個物理過程的問題中，我們根據(jù)實(shí)際發(fā)生的物理場景，尋求不同過程中的物理量的聯(lián)系和聯(lián)系，并根據(jù)其發(fā)生的階段，采用遞歸分析或采用序貫的方法來分析不同的階段。 運(yùn)動定律已解決。 【典型例子】質(zhì)量為m、帶電為q的粒子從A點(diǎn)沿等邊三角形ABC的AB方向以速度V0射入垂直于紙面、強(qiáng)度為B的圓形均勻磁場區(qū)域。 要使粒子飛出磁場并沿BC噴射后高中物理帶電粒子偏轉(zhuǎn)角度，求圓形磁場區(qū)域的最小面積。 【題型復(fù)習(xí)指導(dǎo)】根據(jù)題中條件，確定質(zhì)點(diǎn)在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑為常數(shù)。 因此，粒子沿AB進(jìn)入磁場并從BC噴出磁場的運(yùn)動軌跡如圖中虛線圓圈所示。 只要一個小圓弧PQ能在磁場中就可以滿足問題的要求； 因此，由于直徑是圓的最大弦，可見圓形磁場的最小面積一定是以直線PQ為直徑的圓，如圖中的實(shí)心圓所示。 【典型示例】如圖所示，ABCD是邊長為a的正方形。 將質(zhì)量為 m、電荷為 e 的電子沿紙面垂直于 BC 邊注入正方形區(qū)域，初速度為 v0。 正方形內(nèi)適當(dāng)?shù)膮^(qū)域存在均勻的磁場。
如果一個電子從BC邊緣的任意點(diǎn)入射，它只能從A點(diǎn)發(fā)射磁場。忽略重力，求：（1）該均勻磁場區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小； (2)該均勻磁場區(qū)域面積的最小值。 【題型復(fù)習(xí)指導(dǎo)】根據(jù)帶電粒子的電特性和入射、出射方向，結(jié)合左手定則，能否確定均勻磁場區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小？ 能否根據(jù)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)入射的軌跡確定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的上邊界？ 取邊BC的中點(diǎn)，繪制軌跡，建立以D為原點(diǎn)、DC為x軸、DA為y軸的坐標(biāo)系。 你能寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？ 你會發(fā)現(xiàn)什么？ 【分析】（1）設(shè)均勻磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，設(shè)弧方程o(sup 5(︵ ),sdo 2(AEC))從點(diǎn)C 垂直于 BC 入射電子在磁場中的軌道。 磁場f=Bev0作用在電子上的力應(yīng)該指向圓弧的中心，因此磁場的方向應(yīng)該垂直于紙的外表面。 Arc eq o(sup 5(︵ ),sdo 2(AEC)) 圓心在邊 CB 或其延長線上。 根據(jù)題意，圓心在連接A、C的中垂線上，所以B點(diǎn)就是圓心。 半徑為a。 根據(jù)牛頓定律，f=meq f(voal(2,0),a)。 一起，我們得到 B=eq f(mv0,ea)。 圖中，弧eq o(圓心sup 5(︵ ),sdo 2(AP))為O，PQ垂直于BC邊。 根據(jù)式③，弧eq o(sup 5(︵ ),s do 2(AP))的半徑仍為a。 在以D為原點(diǎn)、DC為x軸、AD為y軸的坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)為x=asinθy=-[a -(a-acosθ)] =-acosθ 表示在0≤θ≤eq f(π,2)范圍內(nèi)，點(diǎn)P構(gòu)成以D為圓心、a為半徑的四分之一圓eq o。 (sup 5(︵ ),sdo 2(AFC))，是電子直線運(yùn)動和圓周運(yùn)動的分界線，構(gòu)成了所需磁場區(qū)域的另一個邊界。
因此，所需的最小均勻磁場面積是以 B 和 D 為圓心、a 為半徑的兩個四分之一圓 eq o(sup 5(︵ ),sdo 2(AEC )) 和 eq o(sup 5(︵ ),sdo 2(AFC))，其面積為S＝2(eq f(1,4)πa2－eq f (1,2)a2)＝eq f(π-2,2)a2。 【答案】 (1) eq f(mv0,ea) 垂直于紙面向外 (2) eq f(π-2, 2)a2 【名師要點(diǎn)】確定最小面積時????帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動，可以用標(biāo)準(zhǔn)尺子和圓規(guī)繪制出粒子運(yùn)動邊界點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，然后用數(shù)學(xué)方法找出邊界的特征。 最后用幾何方法求面積。 2、解決運(yùn)動電荷初始運(yùn)動條件的邊界臨界問題。 這類問題大多是指運(yùn)動電荷在不同的運(yùn)動條件下進(jìn)入有限的有界磁場區(qū)域，在有限的空間內(nèi)發(fā)生磁偏轉(zhuǎn)。 有可能是一個比較完整的勻速圓周運(yùn)動，也可能是圓周運(yùn)動的一部分。 后者常常需要被噴射到指定區(qū)域。 然而，由于初速度和方向的不同，運(yùn)動電荷在不同的位置被噴射，因此在不同情況下存在邊界極大值問題。 由于外部磁場空間范圍的限制，運(yùn)動的初始條件也有相應(yīng)的限制，表現(xiàn)為在指定范圍內(nèi)運(yùn)動。 確定運(yùn)動軌跡的中心并求解相應(yīng)的軌跡圓。 幾何半徑通過圓心角表達(dá)臨界最大值，應(yīng)該是解決此類問題的關(guān)鍵。
(1)帶電粒子在“平行直線邊界磁場”A、B、C中的運(yùn)動 a． 圓心在磁場原邊界上（如圖A）①速度小時，做半圓運(yùn)動后會從原邊界飛出； ②速度增加到某一臨界值時，質(zhì)點(diǎn)作部分圓周運(yùn)動，其軌跡與另一邊界相切； ③ 當(dāng)速度較大時，粒子作局部圓周運(yùn)動，然后從另一個邊界飛出。 b. 圓心在通過入射點(diǎn)并垂直于邊界的直線上（如圖B所示） ①當(dāng)速度較小時，粒子通過入射點(diǎn)做圓周運(yùn)動； ②當(dāng)速度增大到某一臨界值時，質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動，其軌跡與另一邊界切線一致； ③ 當(dāng)速度較大時，粒子作部分圓周運(yùn)動后從另一邊界飛出。 C。 圓心在通過入射點(diǎn)且垂直于速度方向的直線上（如圖C） ①當(dāng)速度較小時，粒子做圓周運(yùn)動后會從原來的邊界處飛出運(yùn)動; ②當(dāng)速度增大到某個臨界值時，質(zhì)點(diǎn)將做部分圓周運(yùn)動，其軌跡與另一個邊界相切； ③ 當(dāng)速度較大時，粒子作部分圓周運(yùn)動后從另一邊界飛出。 【典型示例】 如圖A所示，真空中寬度為d的區(qū)域存在強(qiáng)度為B的均勻磁場。 均勻磁場的方向如圖所示。 質(zhì)量為 m 且?guī)щ姙?q 的粒子以與 CD 成角度 θ 的速度 V0 垂直注入磁場。 中間。 為了使粒子從EF中噴射出來，初速度V0應(yīng)滿足什么條件？ EF 上是否有發(fā)射粒子的區(qū)域？ 【題型復(fù)習(xí)指導(dǎo)】如圖B所示，當(dāng)入射速度很小時，電子會在磁場中做圓弧旋轉(zhuǎn)，然后從同一側(cè)被彈射出去。 速度越大，軌道半徑越大。 當(dāng)軌道與邊界相切時，電子就無法從另一側(cè)噴射出來。 當(dāng)速度大于這個臨界值時，就會從右邊界被彈出。 據(jù)此畫出臨界軌跡，并利用幾何知識求解速度的臨界值。 對于噴射區(qū)域，只要找到上下邊界即可。
從圖中可以看出，粒子不能從P點(diǎn)下方噴射EF，即只能從P點(diǎn)上方的某個區(qū)域噴射； 由于粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場，受到洛倫茲力，會偏向右下，所以粒子不可能從直線AG上方彈出； 可以看出EF中發(fā)射粒子的區(qū)域?yàn)镻G，由圖可知： 。 【解答】參見分析【名師聚焦】帶電粒子在磁場中以不同速度運(yùn)動時，圓周運(yùn)動的半徑隨速度的變化而變化。 因此，可以使用“縮放法”軌跡對半徑進(jìn)行縮放并探索臨界點(diǎn)來解決問題； 對于距離型問題，解決問題的關(guān)鍵是找到引起距離的“臨界軌跡”和“臨界半徑R0”，然后利用粒子運(yùn)動的實(shí)際軌道半徑R和R0 (2)帶電粒子在“邊界磁場”中作“矩形”運(yùn)動 a． 圓的中心位于磁場的原始邊界上。 ① 當(dāng)速度較小時，粒子作半圓運(yùn)動，然后從原來的邊界飛出； ② 當(dāng)速度在一定范圍內(nèi)時，從側(cè)面邊界飛出； ③ 當(dāng)速度較大時高中物理帶電粒子偏轉(zhuǎn)角度，粒子從原來的邊界飛出。 圓周運(yùn)動的一部分從相對的邊界飛出。 b. 圓心位于穿過入射點(diǎn)并垂直于速度方向的直線上。 ① 當(dāng)速度較小時，質(zhì)點(diǎn)作局部圓周運(yùn)動，然后從原來的邊界飛出； ②當(dāng)速度在一定范圍內(nèi)時，從上邊界飛行； ③ 當(dāng)速度較大時，粒子從原來的邊界飛出。 部分圓周運(yùn)動從右側(cè)邊界飛出； ④ 當(dāng)速度較大時，顆粒以部分圓周運(yùn)動的方式從下側(cè)邊界飛出。 【典型例1】（多選）如圖所示，垂直于紙張的均勻磁場分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點(diǎn)為邊cd的中點(diǎn)。
只有在磁場力的作用下，帶正電的粒子才從O點(diǎn)沿紙面以垂直于邊cd的速度噴射到正方形內(nèi)。 時間t0之后，磁場從c點(diǎn)發(fā)射。 現(xiàn)在嘗試使帶電粒子從O點(diǎn)沿紙平面以30°角以不同的速度噴射到正方形中。 那么下列說法正確的是()A。如果帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是eq f(5,3)t0，那么它一定從cd側(cè)發(fā)射磁場B。 如果帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是eq f(2,3)t0，那么它必須從ad側(cè)發(fā)射磁場C。 如果帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間為eq f(5,4)t0，那么它必須從bc側(cè)發(fā)射磁場D。 如果帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間為 t0，則它必定從邊緣 ab 發(fā)射磁場 【分析】如圖所示， 【答案】交流 【典型例子】如圖所示，在足夠長的時間內(nèi)，長矩形區(qū)域abcd 有一個磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直于紙張的均勻磁場。 現(xiàn)在，從ad邊的中點(diǎn)O開始，以垂直于磁場的速度并與ad邊成30°的角度將帶電粒子注入到粒子中。 已知粒子的質(zhì)量為 m，電荷量為 q，邊長 ad 為 l，與粒子的重力無關(guān)。 求： (1) 若粒子從邊ab處射出，則入射速度v0的范圍是多少？ (2) 粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間是多少？ 【分析】①O點(diǎn)帶電粒子所施加的洛倫茲力的方向垂直于v0，即圖中的OO1方向。 所有粒子的軌道中心應(yīng)在直線OO1上。 ②由于矩形區(qū)域abcd足夠長，當(dāng)軌道與cd相切時，其半徑應(yīng)是ab所噴射出的所有粒子中最大的，相應(yīng)粒子的速度也應(yīng)是最大的。 假設(shè)上面的切點(diǎn)是M，那么粒子軌道的中心一定在經(jīng)過M并垂直于cd的直線上。 ③ 假設(shè)軌道與cd 相切的粒子的軌道半徑為R1。 由幾何關(guān)系可得°+eqf(l,2)=R1。 解為R1=l。 由公式 qvB = mv2/R 可知，在該軌道上 粒子速度為 v01=eq f(qBl,m)。 ④ 對于從 ab 處以最小速度射出的粒子，其軌道應(yīng)與 ab 相切。 假設(shè)切點(diǎn)為N，圓心為O2，半徑為R2，則R2+ °=eq f(1,2)l，解為R2=eq f(1,3)l，由 qvB=mv2/R 可以得到 v02=eq f(qBl,3m)。 [答案] (1 )eq f(qBl,3m)
