經過受力分析，自由擺的動力學方程可寫為：
m frac{d^2 x}{dt^2}=mgsintheta
其中，圓的知識為：x=ltheta
這樣我們就可以得到關于角位置θ的微分方程。 接下來的問題就是解決，怎么解決呢？
這次又出現了新的問題
θ
非線性函數（正弦函數是非線性的），它是一個非線性二階微分方程，很難求解。 怎么辦？本科普通物理實驗中，采用小振幅近似，運用極限思維
正弦θ
變得
θ
，簡化為線性微分方程，則解很容易求解。 我不想在下面這樣做，我希望得到任何幅度的結果。
此時可以從機械能守恒的角度來求解。假設初始力矩為0，則此時的角位置和角速度分別為
,
，則線速度為
v_0=l
，可以寫出機械能的表達式。 同理高中物理單擺圖像變化問題，任意時刻t的機械能表達式都可以寫出。由于機械能守恒定律，有
E(t)=E(0)
，由此可以求解出角速度與角位置的關系，表征了擺的運動狀態。給定一組初始值
,
，就可以得到一條曲線。 因此，自由擺的通解是一系列曲線。 這其實就是“相圖”的概念，由龐加萊在數學中首先提出。 相空間各軸所表示的量正是系統的各種狀態參數。 相空間中的一個點代表系統的一種狀態。 相空間中的點連接起來的軌跡就是相軌道，它代表了系統狀態隨時間的演化。 借助“相圖”的概念，我們無需直接求解微分方程，就可以得到方程解的一些性質。 這后來發展了一個新的數學分支，稱為“微分方程定性理論”。
核心理念：
1.養護：
通俗地說：保持不變。
如果它隨時間守恒，則意味著數量不隨時間變化而變化。
如果是隨位置守恒的，則意味著無論位置如何變化，數量都不會改變。
守恒通常與對稱性有關。 例如，時間平移對稱性會引起能量守恒，空間平移對稱性會引起動量守恒。
2、對稱性：
通俗地說：執行某項操作后，系統仍然與操作前“一模一樣”。
例如，如果您圍繞其中心繞一個圓，它將與以前完全相同。 因此我們說圓的圓周在任何角度都具有旋轉對稱性。 如果你敲掉這個圓上的一個小點，它的對稱性就會降低。 只有旋轉360度，破壞的圓才會和旋轉前一樣。
3、相圖：
見文字說明。
引申：“相圖”的概念在求解非線性振動方面有很多應用，延伸到“極限環”、“吸引子”、“龐加萊截面”、“混沌”等概念。 不僅如此高中物理單擺圖像變化問題，“相空間”的概念在理論力學和熱力學統計物理中也發揮著重要作用。
參考
【1】《新概念物理教程-力學》
