§5 定積分在物理學中的應用 定積分在物理學中有極其廣泛的應用。在物理問題中，經常遇到的物理量都有連續性和可加性，要求返回某個物理量，重要的是求出然后 例1 如圖所示，pipe為管道。 解 以圓心為原點，建立如圖所示的坐標系，此時圓的正方形（設水直徑為m）的靜壓強為多少。 問水平面與直圓形閘門（半徑為3）的交界處？ 由于水的靜壓強在同一深度時是相同的，其值等于水而總的靜壓強為各窄條上靜壓強之和，所以這個過程是比重與深度的乘積，所以在很小的時候，從深度x到x的窄條上所受的靜壓強為2。 引力 例2 一長度為l的均勻細條，建立如圖所示的直角坐標系。 細桿位于x軸上，質點位于y軸上a點，取任意質點壓力公式液體定積分，該質點的質量為m，試求細桿上的質點。在距細桿一定距離處，有一質量為m的質量桿，其垂直線為質量微分元，它對質點m的引力為。由于細桿上各點對質點m的引力方向不同，所以dF不能直接積分，因此將dF分解到x軸和y軸方向，垂直方向上總的合力為，負號表示合力與y軸方向相反。
例3 水池與水池之間的力。 例4 一個圓錐形水池，水池 三、功與功率的解 如圖所示建立直角坐標系。所作的功？水池里盛滿水。試計算在一個開口直徑30米，深度10米的水池中，將一層薄薄的水從深度x抽到水池開口xx+Δx所做的功W。微分元為 因而得例5的解 顯然，我們只需要計算一個周期內的平均功率即可。在這種情況下， *§6 定積分的近似計算 雖然可以用牛頓-萊布尼茨公式精確計算，但用近似計算方法可以算出數。這里我們介紹定積分的計算，但它只適用于被積函數的原函數。按照定積分的定義，用幾何術語來說，這是用一系列小矩形來近似小曲邊的方法。 矩形法精度較差，通常采用下面介紹的梯形面積的結果，所以這種近似計算方法叫做矩形法。1.梯形法把積分區間對應的被積函數值記為曲線上對應點為曲線上的每一段。這使得各小于，而整個彎曲梯形面積的近似值為即將彎曲梯形換成梯形，其面積為上面的近似公式叫做梯形法求定積分的公式。2.拋物線法用梯形法求定積分的近似值，當是凸曲線時它太大，當是凹曲線時它太小，拋物線法可以克服上面的缺點。
將區間分成幾點： 所對應的被積函數值記為 曲線上對應點記為 現在把區間上的曲線代之以一條過三點的拋物線來近似，就得到了最后的結果，這就是拋物線公式，又稱辛普森公式。 示例 計算的近似值。 解 將區間分成十等份，各點處被積函數的值列示如下： xi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 yi 1 0. 0. 0. 0. 0. xi 0.6 0.7 0.8 0.9 1 yi 0. 0. 0. 0. 0.5 （1）利用矩形法公式 （2）利用梯形法 （3）利用拋物線法 與精確值相比，矩形法只精確到一位有效數字； 梯形法精確到一位有效數字。形狀法有三位有效數字，精確；拋物線法有六位有效數字。復習題 定義1 設平面曲線C用下列參數方程表示： §3 平面曲線的弧長與曲率 本節定義光滑曲線的弧長，并給出利用定積分計算弧長的公式。 一、平面曲線的弧長 返回定義2 設平面曲線C用參數方程曲線表示，則可算出C，弧長為 定理10。
1（光滑曲線弧長公式） 設曲線C用參數平方表示。若C為光滑曲線，則 證明 由第一章§1練習6可知， 即，所以當f在[a,b]上連續可微時，C也可看作 注1 若曲線C用直角坐標方程表示，則C也可看作 注2 若曲線C用極坐標方程表示，則 例1 a 例2 求線段的弧長。 例3 在光滑曲線上，圓弧段和的長度相差不大。 *二、平面曲線的曲率 曲率是描述曲線曲率大小的概念，如圖所示，曲率的大小差別很大。 動點由Q移至R時，旋轉角遠大于切線。當切線移至Q時，旋轉角反映的是動點沿曲線從P點移動時切線的傾斜角。設表示點處切線的傾斜角，表示動點沿曲線從P點移動到R時切線傾斜角的增量。若長度為，則稱為圓弧段的平均曲率。若存在有限極限，則這個極限K稱為曲線C在點P處的曲率。由于曲線是光滑的，總有，即若用表示曲線，則例1 求橢圓上由于極大點與極小點而產生的曲率解。 所以橢圓在每一點的曲率為 ，當 時，在 處曲率最大，由例1可知，若 ，則各點曲率相等，在 處曲率最小，顯然直線上每一點的曲率都為0。
設曲線上某點P處的曲率為 ，若過P點畫一個半徑為 的圓，它與P點處的曲線有相同的切線，并和P附近曲線在切線的同一側（見圖），即P處的曲率圓。曲率圓的圓心叫曲率中心，半徑叫曲率半徑，我們把這個圓叫曲線。當列車軌道由直道（用虛線表示）進入半徑為R的圓曲線時，使列車的向心加速度增大，為保證列車安全，必須經過緩沖軌道，以保證行車安全。例2 如圖所示，由此曲線的曲率公式可得：緩沖曲線常采用曲率由0逐漸增大到接近于的三次曲線，從而起到緩沖曲線段的作用。 §4 旋轉曲面面積定積分的所有應用問題，都可用“除以量的積分形式”來處理，但在實際應用中，常常要經過“截取、近似、求極限”三個步驟來求出所求的返回值。那么，當上式中的連續函數時，若第一種，微元法現在只需將問題反過來：若所求量在面積上分布或者是區間端點x的函數，即式中f為連續函數，當，當x=b時，它就是所求的最終值。
那么只要進行計算，就是在任意小區間上的問題，如果的小增量可以近似為的線性形式一般來說，嚴格檢查上述方法通常稱為微分方法。在使用微分方法時，應注意：解的結果。 (2)微分方法的關鍵是正確地給出高階無窮小量的近似表達式并不是一件容易的事。 (1)所求的量必須相對于分布區間是可加的。 這段曲線繞x軸旋轉，得到一個旋轉曲面（如下圖所示）。設平面光滑曲線C的方程為2。旋轉曲面的面積在x軸上過點x分別作一個垂直于x軸的平面。其中，由于時，這條窄帶的面積近似為截頭圓錐的邊面積，也就是表面壓力公式液體定積分，它們在旋轉曲面上截斷出一條窄帶。 當很小時，可以保證的連續性，于是我們得到如果光滑曲線由參數方程給出，那么將曲線C繞x軸旋轉得到的旋轉曲面的面積就是作為例1的求橢圓繞x軸旋轉得到的橢球面的面積。解：將橢圓的上半部分寫成參數方程。讓例2求心形線繞極軸旋轉得到的曲面的面積。當然，這也可以從上面得到的橢球面的面積得到。解：用參數方程表達曲線：所以請讀者自己想辦法做到這一點？ 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 §1 平面圖形面積 本節介紹利用定積分計算各種表達形式的平面圖形面積： 1.用直角坐標方程表示的平面圖形面積 2.用參數方程表示的平面圖形面積 3.用極坐標表示的平面圖形面積。 返回平面圖形面積 1.用直角坐標方程表示的平面圖形面積 向上移動，由定積分的幾何意義可知A的面積為 例1 解 所以 所以 例2 解 那么 顯然，由于g1(y)和g2(y)不是分段定義的函數，所以比較容易計算。 2.用參數方程表示的平面圖形面積 設曲線C用參數方程表示，則乘積