——以“函數概念及正反比例函數復習”為例
陳進
概括：
新課程改革下，《義務教育課程標準（2022）》提出以核心素養為先導，落實德育總目標，培養幼兒自主學習、合作探索、綜合素質發展的能力。但在現行數學教學下，教與學缺乏有效的統一，無效、機械的學習仍然占據著部分課堂。我們可以以大單元的視角為指導，以問題情境創設為血肉，以問題鏈教學為骨架，以跨學科應用分析為靈魂，幫助學生樹立自信心，增強自我效能，同化適應認知，激發數學學習興趣，發展其創新思維，實現學生綜合素質的培養。
關鍵詞：核心素養；數學教學；思維方式
《義務教育課程標準（2022）》提出，強化課程育人導向，優化課程內容，制定學業質量標準，以核心素養為基礎，結合初中學生特點，實現教學的連貫性和學習目標的推進性。數學承載著落實立德樹人教育的總目標，在幫助學生形成嚴謹的邏輯思維、嚴謹的科學精神、務實的價值素養、個人智力能力發展等方面發揮著關鍵作用。根據初中的特點，是學生形成個性思維品質、個人能力、正確認知的重要時刻，既要注重課本知識，更要強調以核心素養為導向的四大基本，重視學習的引導過程，注重思維的啟迪與發散，幫助學生逐步形成適合個人終身發展和社會發展需要的品格與能力。那么在普通數學課堂教學中如何教會學生基于核心素養的學習,落實德育總體目標呢?筆者以“函數概念及正反函數復習課”為例,談談自己的想法和感受。
1. 數學核心素養的概念
《義務教育課程標準（2022）》中數學課程的核心能力主要有三方面：用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界。數學的核心能力是指學生在現實生活中形式化、應用和解釋數學的關鍵能力、必備素質和價值觀。我們的課堂教學應該從注重學生的理解（知識的解構）轉向注重學生的自主活動（知識的自我建構）。[1]因此，作為基礎學科之一的數學，教師把握數學的核心能力、學生的學習能力都極其重要。
2. 初中數學核心素養課堂存在的問題
1. 教師無法有效、積極地促進課堂學習
教師在課堂上教條式或低效式授課。有的教師選擇逐字逐句地講授書本上的內容，不根據學生心理發展需求做出調整和改進，認為上課的最終目的是讓學生理解知識點、學會解決問題，沒必要浪費時間在花哨的形式上。有的教師在解釋知識點的由來時，要么追根溯源過多，超出了學生目前的認知能力，使學生無法理解；要么論證過于理論化、枯燥乏味，缺乏實際操作，不能使學生集中注意力、產生興趣；要么有些引言不恰當、不吸引人，與現實生活的聯系過于假設或牽強，無法引起學生的共鳴。過于牽強的引言和課堂控制，使學生無法快速識別本課的重點和知識點的有效運用。這些課堂教學不能促進學生思維的逐步成長，不能幫助學生學習和思考，使一些學生在進入初中后對數學望而卻步。無效的教學環節無法達到立德樹人的總目標，授人以魚不如授人以漁。新課標的學習，創新型、開放型數學題型的推出，提醒我們要跳出教條的框架，讓孩子知道學了什么、學了什么、為什么學。這背后跨學科知識、思想、情感的融合，都在幫助學生形成獨立自洽的思維體系、行為能力和價值觀念，培養成具有創造意識、創新能力、解決問題能力、全面發展的綜合人才。
2. 學生無法積極有效地內化課堂學習成果
學生對數學的認識存在主觀偏差。作為中考基礎科目之一，很多學生學習數學只是為了成績，課堂上只關注課本知識點內容和眼前的練習題，習慣于死記硬背、機械訓練，有的學生甚至在課外輔導班提前學習，不聽課直接做練習。重結果輕過程的現象，使學生在數學學習中缺乏探索過程和探究精神，不能體會到數學所帶來的美感和背后發人深省的思想情感價值。從系統的學科學習來看，一些學生在更加復雜抽象的下一階段學習中，會跟不上進度，舉步維艱；從學科情感來看，學生知其然不知其所以然，枯燥的填鴨式學習方式，使學生體會不到學習數學的樂趣，積極性不高，降低了學習效率。同時，學習難度的增加，又會反饋更大的學習壓力，形成惡性循環，打擊學生的自信心。如果學習太過理論化、抽象化，沒有思想情感的投入，不懂得學習的目的，那么就只能成為只有血肉而沒有靈魂和骨骼的學習機器。這違背了我們教育的初衷，即修身立德、立人立業。
3.基于核心素養的初中數學課堂轉型策略
初中生的思維方式已逐漸由形象思維轉向抽象思維，由淺入深，由低層次轉向高層次，認知理解能力也逐漸提高。這種轉變不僅需要學生自身能力的加強，也需要教師在課堂中逐步引導和培養。基于初中數學課堂核心素養，提出以下四個視角。
1. 從單元角度進行整合，有效確定學習目標和結構
數學教材是教學的重要資源，教材的編寫不僅蘊含著知識的線索和結構，還暗含著數學方法的邏輯關系。因此，在教學中，應從大單元的角度進行教學設計，擺脫單一知識點的局限。[2]初中數學應從單元整體出發，以學生核心素養為抓手，設計大任務，通過課堂上知識點的呈現，逐步實現單元的總體目標。[3]以函數概念、正反比例函數復習課為例，函數是初中數學重要的基本概念之一，是從現實世界中抽象出來的數學模型，是我們研究數量關系和變化規律的重要工具，也是一種數學思維方法，不僅加深了對代數的理解，還可以與平面直角坐標系、圖形相結合，以數建形，以形助數，數形結合，打破思維定式，拓寬思維方式。本單元圍繞函數及其基本量的學習和特殊函數兩大板塊展開。從單元的角度，根據客觀實際需要，抽象、總結建立函數模型，研究與運動變化有關的量與變化過程的關系，從一般到特殊的介紹正比例函數和反比例函數。重視數形結合的研究方法，從概念、形象、性質三個方面進行信息轉換與聯想，培養學生從形象思維向抽象思維發展，并運用到解決實際問題中。通過類比思維學習特殊函數，這種整體思維引導的學習，為以后學習和學習一次函數、二次函數、高中函數，甚至不熟悉的新函數提供了方向。從整體結構上建立知識網絡，構建清晰的思維導圖，層層推進，螺旋上升，通過思維方法的聯系，幫助學生理清具有數理邏輯和美感的各個知識點之間的關系，引導學生學會主動探究、積極思考、自主學習，改進學習方法。培養數學建模素養，培養數學思維，建立數學思維，使學生學會學習，學會思考，提高解決問題的能力，增強學習信心，對數學學習更加充滿熱情和興趣。
2.創設問題情境，感受數學的魅力
利用函數反映實際問題運動變化的特點，創設生活問題情境。例如，本課開始播放一段汽車加油的實際油費視頻，由于油價單價為6.51元/升，學生利用所學知識列出等價關系。
，其中當x的值改變時，y也會隨之改變。從實際問題中抽象概括，引入函數的概念。密碼學中的凱撒密碼就是一種代換加密技術。例如密文“QTQSM UIBPA( 8)”解密為明文“ILIKE MATHS”，背后的數學原理是y=x-8初中物理函數，函數表達式成立。函數的概念也可以通過數學史的脈絡來強化。函數一詞源于我國清代數學家李善蘭的拉丁文譯文，意為“每當這個變量是那個變量的函數時，那么這個就是那個的函數”。函數的由來是萊布尼茨用函數來表示冪。1718年，伯努利將其定義為“一個變量與任意常數組合而成的量”。此后，1755年的歐拉、1821年的柯西、1834年的羅巴切夫斯基、1837年的狄利克雷，以及康托爾的集合論，集合之間的對應關系得到了長期的發展和拓展，展現了歷代數學家對知識的追求、對科學的嚴謹態度和對初衷的堅持。數學家笛卡爾與瑞典公主的愛情故事以及他們所畫的心形線，將數學與人文情感結合在一起，體現了數學從冷酷美麗的轉變為火熱的思考，而不是直接枯燥的呈現。從這個環節，表明數學來源于生活，服務于生活，引發學生細心觀察周圍生活，思考學習數學的本質。通過魔術、游戲等活動，激發學生興趣，豐富認知，激發學生的探索精神和求知欲望，進行數學思維探索，學以致用，從而自己建構新的知識。了解數學的樂趣與實用性，發現數學的魅力，感知生活之美。
3.通過問題鏈式教學設計提高學生的學習效率
以問題為主線，以知識為載體，引導學生從知識學習走向思維拓展，從低級思維走向高級思維，注重動手實踐、自主探索、合作交流，實現學生從被動接受知識到主動獲取知識的轉變，真正提高學生的核心素養。[4] 本課首先在課堂上提出三個問題：什么是函數？正比例函數、反比例函數怎么學？函數學習蘊含了哪些數學思想？以此為總體框架，明確本課所要解決的問題。然后逐步細化從哪些角度、哪些方面逐一分解，并串聯起它們之間的聯系。
第一題通過前面的情景創設，引入函數的概念，然后對變量、常量、函數表達式、自變量、定義域、函數值等進行逐級分析和提問。例如，在分析函數定義域時，給出了三類表達式：????=5????3，
，
，從整數、分數、二次根（無理根）的意義出發初中物理函數，思考如何根據函數解析表達式的特點，確定函數的定義域？再從“三角形的三邊分別為3厘米、7厘米，
厘米，那么三角形的周長
（厘米） 是
(cm)函數”，得到解析表達式
，然后思考此時的定義域，是不是應該把實數全部去掉？以圍欄羊問題中木板總長和非負特征關系為例，發現實際問題也會影響函數的定義域，強調從兩個因素綜合考慮，得到第一題的知識框架（圖1）。掌握每個知識點的辯證統一、猜想論證，化繁為簡，解開謎團，體會數學嚴謹細致的思維與結構，幫助學生用數學的眼光看世界，用數學意識提升解決問題的能力。
第二題是特殊函數的學習，可以問關于正比例函數有哪些知識點，引入概念、圖像、性質三個維度，提出問題探索它們之間的聯系。然后問反比例函數怎么學？這體現了類比的思想（圖2）。在應用過程中，一些綜合函數題也可以從代數、幾何的多個角度入手，比如這道題：給定一個正比例函數和一個反比例函數????=
所有過點A的圖像（???，4），求（1）點A的坐標（2）比例函數的解析表達式？由解析表達式到點坐標再到解析，利用數學中的待定系數的方法。（3）求另一交點B的坐標。從幾何意義下，點A、點B關于原點中心對稱，可以直接推導出來。從代數意義下，找交點的問題可以歸結為解方程組，通過組合方程組得到結果。（4）過點B，以點M、N為垂線腳，分別作BM⊥???軸和BN⊥???軸。求矩形BMON的面積。掌握特殊直線、點坐標的特點，將點坐標轉化為線段長度再轉化為圖形面積問題，或反向轉化，循序漸進，實現數形有機結合、化簡的思路。提出問題由一般到具體，概念緊密聯系，舉一反三，求同存異，建立問題鏈（圖3）。環環相扣的思維過程，互利互惠的思維方式，讓學生體會到數學的美與精彩。雖然前面沒有專門問第三道題，但思維方式處處體現，把整個知識點串聯起來。所謂“做數學”，不是做數學題，而是探索、發現數學的過程，它的靈活性、探索性，往往會迸發出思維的火花。采用問題鏈式教學，讓學生學會基于已有的知識和經驗去研究和解決新問題，進行多層次、多維度的探索，提高解決問題的能力，激發興趣，不再畏懼困難，發現數學之美，勇于創新，真正幫助學生提高自我效能感，實現長遠發展。
4.應用跨學科分析實現綜合發展
華羅庚先生說：“宇宙浩瀚，粒子微小，火箭迅捷，化學巧妙，地球變化，生物奧秘，日月復雜，處處都用到數學。”函數用來描述變量之間的關系，也是描述客觀現象的科學工具。課堂上，要求學生列舉一些其他學科或身邊與函數模型有關的現象。例如，物理學中，在電阻固定的條件下，電流與電壓成正比；在相同電壓下，更換固定電阻，電流與電阻成反比。生物學中，我們測量樹木的生長，考察各種影響因素，通過控制變量，以時間為標志，確定樹木的年齡。在一定條件下，一段時期內，生長量是時間的函數。地理學中，利用函數圖讀溫度線圖，分析、考察氣候因素的原因，或對全球變暖進行模型預測，都離不開函數模型的建立。運用數學作為科學工具，向多學科邁進，不再只是做題時寫寫畫畫、計算而已，而是要發揮更多主觀能動性，運用到生活中、服務生活，提高學生解決問題的能力貝語網校，發展學生的綜合學科素質。
4. 核心學科素養的價值
教學會越來越精細化，越來越關注每一個孩子的成長發展。在課堂教學過程中，如何真正有效的幫助他們提高學習成績，學會學習。學習數學不只是為了考試成績，而是幫助學生正確認識數學的本質，體會數學之美，發現數學的樂趣，熱愛數學。在核心素養的基礎上，運用大單元視角的整體聯系，創設對應情境，引導問題鏈，結合學科交叉分析等方式在數學課堂上進行，是為了培養學生的應用意識，提高實踐能力，自我探索并聯系已有的經驗建構新的認知來解決不熟悉的問題，提高解決問題的能力。同時也拓展了學生的數學思維，學會用數學的方式處理問題。既掌握一般方法，又掌握優秀方法，靈活運用數學，真正做到“活”數學。幫助學生樹立信心，提高自我效能感，讓每一個孩子都得到很好的培育、成就每一個孩子，形成良性循環，實現綜合素質人才培養。
參考：
[1]許曉燕.概念理解與數學概念教學:基于任務設計的視角[M].上海教育出版社,2020(4):2-3.
[2]林日靜.基于智慧課堂的初中數學單元復習教學設計探析——以《線性方程組單元復習》教學為例[J].新課程指導，2021(19):48-49。
[3]徐曉英.大單元視角下的初中數學單元教學研究[J].數學教學通訊,2022(5):46-47.
[4]潘宏宇.基于問題鏈教學的初中數學深度學習研究[J].中學課程指導(教師教育),2020(17).