共8頁 第1頁 淺談高中物理中的等效替代法 林曉琪 福州高級中學 物理學是研究物質運動、物質組成以及物質間相互作用等最基本、最普遍規律的科學。物理學在長期的發展過程中，形成了一整套完整的思維方法，這些方法不僅對物理學的發展起了重要作用，而且對其他相關學科的發展乃至社會思想、社會生活也產生了一定的影響。自然界中物質的運動、組成和相互作用極其復雜，但它們之間存在著各種等價關系。為了認識復雜物理事物的規律，我們往往從事物的等效效應出發，將其轉化為簡單易學的物理事物，這種方法就叫等效替代法。根據等效效應表現形式的不同，可分為模型等效替代、過程等效替代、作用等效替代和本質等效替代。 1.模型等效替代法在研究物理問題的過程中高中物理等效替代法，我們常常用簡單易學的模型去代替復雜的物理原型，這種方法叫模型等效替代法。它既包括各種理想模型的具體應用，也包括用各種物理模型去模仿和再現原型的某種特征、狀態和本質。這種方法不研究客觀物理對象，而是通過對模型的研究來達到認識原型的目的。用模型代替原型的方法，是通過抽象和概括的思維過程形成的理想模型，如一個粒子、重心、理想氣體、點電荷等等，它們都是實際物體在一定條件下和一定精度范圍內的等效替代物。
我們以重心為例來說明這個問題。同學們對引力似乎很熟悉，覺得很簡單。但是如果仔細想一想，其實并沒有那么簡單。物體有無數個微小的組成部分，其實每個部分都受到微小的引力，而這些微小引力的作用點都是不一樣的。如果這樣來研究引力，未免太復雜了，無從下手。物理學的研究方法，就是把無數個微小的引力想象成一個等效引力來代替，重心就是這個等效引力的作用點。當然，隨著條件和要求的精度的變化，這些模型也要隨之變化，從而換成更能反映實際物體性質的模型。模型等效代替的另一種形式，就是用物理模型來代替實際物體，通過對物理模型的研究來了解其原型的本質性質和規律。在物理教學中，常常制作發電機模型、內燃機模型、電動機模型等，以模擬實際的發電機、內燃機、電動機的工作過程網校頭條，使學生更好地理解它們的工作原理。2.過程等效替代所謂過程等效替代，就是用一個或幾個簡單過程代替一個復雜過程的一種方法。例如，引入“平均速度”概念，就是把變速運動等同于勻速運動，從而把復雜的變速運動轉化為簡單的勻速運動進行處理；引入“平均加速度”概念，就是把變加速度運動等同于勻加速度運動進行處理；對于碰撞問題的研究，由于兩物體在碰撞過程中，相互作用力是不斷變化的，為了便于研究碰撞前后兩物體的運動規律，可以把這一過程等效為一個力不變的過程，引入“平均力”的概念。
再如，在曲線運動的研究中，我們把它分解成若干個等效的直線運動，逐一研究這些直線運動的規律，然后把它們合成曲線運動。例如，水平拋射運動可以分解為水平方向的勻速直線運動與豎直方向的自由落體運動，斜拋射運動可以分解為水平方向的勻速直線運動與豎直方向的豎直向上（或向下）運動。 共8頁，第3頁 例1 如圖1所示的升降箱，底部裝有若干根彈簧。假設在某次事故中，升降繩在空中斷裂，忽略摩擦力，從彈簧下端觸地后直至升降到最低點（假設彈簧在壓縮過程中處于彈性極限之內），升力加速度的值與重力加速度的值之間是什么關系呢？解決這個問題，可以采用過程等效替代法進行分析。設電梯在彈簧下端剛好接觸地面時的速度為v。此時，我們可以想象同樣的電梯和同樣的彈簧，將彈簧下端固定在地面上，然后將整個電梯拉到彈簧原長以上的位置，松開靜止狀態。當彈簧恢復原長時，速度也恰好為v。由簡諧運動的對稱性可知，其最低點的加速度等于其最高點的加速度。在最高點，電梯所受外力總和大于重力，因此加速度也大于重力加速度。由于問題中從彈簧接觸地面到最低點的過程與假想模型中同樣過程的運動完全相同，因此電梯在最低點的加速度大于重力加速度。 3.作用的等效代換所謂作用的等效代換，是指從不同的物理對象或同一物理對象的不同形式在一定的物理過程中對外界產生的相同作用出發，來研究物理對象的性質和規律，分析和處理物理問題的一種思維方法。
在矢量的合成與分解中，“合成”與“分解”概念的建立，其實是從作用的等價性出發的。例如力的合成，就是用一個力代替幾個力同時作用，使它們有相同的作用效果，這個力就叫合力；力的分解，就是用幾個力同時作用的效果代替一個力的作用，這些力就叫分力；在電磁學中，幾個帶電體對一個電荷產生的電場作用，相當于每個帶電體單獨存在時對電荷作用的矢量和。因此，在空間某一點，從對電荷的同樣作用出發，可以用幾個帶電體在該點的電場強度的矢量和來代替這些帶電體產生的電場強度。在矢量的合成與分解中，必須遵循平行四邊形定律或三角形定律，但必須注意，分解矢量的方法有很多種，要根據具體問題而定。例2 如圖2所示，一根長度為l的細導線固定在O點，其下端系有一個質量為m的小球。它放在一個很大的均勻電場中，電場強度為E，方向為水平向右。已知小球在B點處于平衡狀態，細導線與垂直線的夾角為α（α≤450）。求：（1）懸掛導線與垂直方向的夾角應為多少，使得小球由靜止狀態松開后，當細導線到達垂直位置時，小球的速度恰好為零？（2）當細導線與垂直方向成α角時，使小球在垂直平面內做圓周運動所需的最小沖量為多少？分析：本題原型是重力場中的單擺模型，現在小球不僅受到重力mg的作用，而且受到電場力qE的作用。如果將這兩個力合成為一個力——等效重力，很容易看出小球在均勻電場和重力場的復合場中運動，其等效重力加速度（復合場強）（見圖A）為等效重力加速度（復合場強）（見圖A）。小球在A和C之間的運動類似于單擺，B點為振動的平衡位置，A和C點為最大位移。
由原型的結論可以推斷，小球在通過平衡位置時速度最大，在最大位移時速度為零。進而由對稱性可以得出：=2α。 繩拴小球在復合場中做圓周運動的條件與在重力場中類似，OE 圖2B 圖A Bmg' 圖B BvB 復合場g'ODvD 共8頁 第5頁 唯一的區別是其等效“最高”點為D，“最低”點為B，其等效重力加速度（或復合場強）為（圖B）。由此可解得施加在小球上的沖量至少應為 例3 如圖3所示，在電場強度為E的水平均勻電場中，一個質量為m，帶電量為+q的小球以初速度v0垂直向上發射。求小球在運動過程中的最小速度。分析如圖3所示，小球受到重力G和電場力F的作用，兩個力的合力為F。顯然小球應該做曲線運動。如果我們取F總的反方向作為y方向，垂直于y軸且斜向上的方向作為x軸方向，并將v0在這兩個方向上分解。那么我們在x方向做勻速直線運動不會變化，在y方向做勻速減速直線運動（類似垂直向上運動）。這樣，我們就用兩個簡單的直線運動代替了一個復雜的曲線運動，當y方向的速度減小到零時，兩者的合速度就是運動過程中的最小速度，也就是。這道題的解法采用了兩種等效思想：一是用力F總來代替小球所受的重力和電場力，采用力的等效思想；另一種是把初速度分解到x方向和y方向，利用運動等效的思想。
通過這兩個等效，把這個復雜的曲線運動分解成y+x在x、y方向的直線運動，從而簡化了問題。等效電阻的計算問題也是運用等效代換的一個例子。我們知道，串聯電路的總電阻等于各支路電阻的和，并聯電路的總電阻的倒數等于各支路電阻的倒數和。這個總電阻的作用和原電阻的共同作用是一樣的，所以叫等效電阻。就是說它接入電路之后，并不影響電路中的電流、電壓等參數。同時，在一段時間內，總電阻所消耗的電能和原電阻所消耗的電能是完全一樣的。實際的電路一般比較復雜，計算等效電阻需要進行電路分析，理清電阻間的串并聯關系，畫出等效電路，化繁為簡，解決問題。等效替代法在電學實驗中也經常用到。例四：用“伏安法”測電阻的連接線有兩條：外接電流表和內置電流表。但由于電流表和電壓表都不是理想儀表，用這兩條線測電阻有明顯的誤差。為了使電阻Rx的測值盡可能準確，除了電流表、電壓表、滑動變阻器、電源、開關、導線外，還給你一個標準電阻箱。請你設計另外一種測量方法，使Rx的阻值盡可能準確。要求：（1）畫出電路圖；（2）簡述主要測量步驟。
分析 (1)實驗電路如圖4所示。 (2)測量步驟為： ①按圖連接電路高中物理等效替代法，把滑動變阻器調至最大阻值； ②閉合開關S，調節滑動變阻器，使電壓表、電流表的指針盡量接近表盤刻度的1/3~2/3處，準確記錄兩表的讀數； ③斷開開關S，用電阻盒換下待測電阻Rx，把電阻盒調至最大，重新接通開關； ④調節電阻盒，使兩表的讀數完全達到更換前的讀數，此時電阻盒連接電路部分的阻值即為待測電阻Rx的阻值。 V RxA RS 圖 4 共 8 頁 第 7 頁 某些物理概念的引入，物理定律的建立，都需要運用等效替代法，交流電有效值概念就是運用等效替代法。人們從交流電和直流電通過電阻時都會發熱這一事實出發，如果交流電在一定時間內通過電阻時產生的熱量與直流電在相同時間內通過同一電阻時產生的熱量相等，那么直流電的電流、電壓值就是交流電的電流、電壓的有效值。導體由于切割磁通線的運動而產生感生電動勢，其大小可以用公式計算出來。公式中的L是指運動導體切割磁通線的有效長度，而不是導體的真實長度。什么是有效長度呢？我們可以再想象一個導體，使得虛導體與真實導體在切割磁通線方面是等效的（即切割相同數量的磁通線），虛導體的長度應該最短。這就是表示導體長度L的等效代換。
必須指出的是，雖然有些復雜的物理現象、物理過程可以等效為若干個簡單現象、過程的疊加，但它們必須滿足獨立作用原理，即這些簡單過程、現象同時存在時，它們之間互不影響、互不影響。例如力、電場強度等矢量滿足獨立作用原理，物體的水平、垂直運動也滿足獨立作用原理。等效法中的“等效”也是有局限性的，我們用一個東西等效地代替另一個東西，這里的等效只是某一方面的等效，而不是“全方位”的等效。合成運動與分動運動、等效電路與等效電路之間“等效”的局限性并不突出，但交流電與等效直流電等效關系的局限性就很突出了。其實這是兩種截然不同的電，除了熱效應相同外，幾乎沒有什么共同之處，它們的磁效應、化學效應都不一樣。其實，這畢竟是兩個不同的東西，在其他很多方面往往都有著明顯的甚至是質的差別。因此，兩個東西只有在事物的具體方面才可以進行替代，不能不考慮具體的研究內容而任意替代。4、本質等價替代本質等價替代是一種基于不同物理對象或者同一物理對象的不同形式具有相同規律或表達方式的思維方式。例如熱力學第二定律是熱力學中一個非常重要的宏觀定律，它有很多種表達方式，其中最著名的就是開爾文表達方式和克勞修斯表達方式。
開爾文的表述是：不可能從單一熱源吸收熱量，并完全轉化為有用功而不引起其他變化（即不可能制成二流永動機）。克勞修斯的表述是：熱量不可能自動地從低溫物體轉移到高溫物體而不引起其他變化。可以證明，這兩個表述是等價的。開爾文表述的實質是功轉化為熱的過程是不可逆的，克勞修斯表述的實質是熱傳導過程是不可逆的。由于自然界中一切不可逆過程在不可逆性方面都是完全一致的，熱力學中每一個不可逆過程都可以作為熱力學第二定律的一個表述，這就使得熱力學第二定律有了各種不同的表述。但不管具體表述如何，它都有一個共同的本質。凡是與熱現象有關的實際宏觀過程都是不可逆的。因此，在解決物理問題時，可以根據具體情況選用任意一種表述。等效代換方法不僅是物理學中一種非常重要的思維方法，而且是控制論中函數模擬方法的基礎。在物理教學中，學生應該對高中物理中等效方法的應用有一個比較完整的認識，讓學生體會到等效方法的重要性，為以后自覺運用等效方法打下基礎。