使用自然坐標系來處理約束粒子動力學是學術數學中的常見類型。 此類問題通常與二坐標法結合使用。 自然坐標系用于描述力，笛卡爾坐標系用于描述被約束體的幾何形狀。 （如程守柱的《普通化學》[2]）占主要內容。 這類題對于開闊中學生的視野、練習多種語言工具的使用、加深基于牛頓定律解決問題的理解非常有益。 然而目前的情況是，幾乎所有的例子和練習都回避了其中的摩擦力——“‘界面光滑’、‘滑動摩擦素數為零’……等等”必須出現在問題設置中。 原因是考慮摩擦后，由于約束的影響摩擦力定義及產生條件，熱方程會轉化為一組耦合的非線性多項式群，而幾何激勵的介入會使形狀變得復雜且難以求解。 情況就避免了。 但筆者認為這種做法并不妥當，因為“摩擦”作為一種共同的力量，從小學起就一直是中學生學習和討論的重點對象之一。 對于這樣一個熟悉的領域，相關問題已經多次成功解決。 不能一味回避，否則只會擊碎中學生的信心，形成對化學理論的不信任感，這對今后的教學無疑是十分不利的。 本文就這個問題展開展開，拋磚引玉，希望能得到同行們更多更好的意見和建議。 經過分析，作者認為只要考慮約束體的幾何特性，針對此類問題進行一些巧妙的改變，就可以將方程以簡單的方式線性化，且不偏離中間的實際情況。學校學生。
1 理論推導 1.1 典型問題
（此摘自周彥白的《理論熱度》[1]，為方便估算，參數略有改動）
光滑的繩子呈拋物線形狀，可表示為
在繩子上放一個小環（假設小環與繩子的接觸面極小且光滑，相對滑動過程中不會發生旋轉或振動，因此可以視為質點）。將小環放在B點（坐標（2,2））處，松開靜止狀態，讓小環滑動到A點
速度和繩子的斥力（所有單位均為 SI 單位）。 這是一個典型的帶約束的粒子動力學問題。 對于受力分析，滑動過程中小環所受的力為重力和鋼索的約束力（沿鋼索法線方向）（因為鋼索光滑，接觸面不會形成摩擦） 。 因此：G+N=ma
在繩子上構建自然坐標系，如圖1所示，以小環的滑動方向為切線方向（保證投影速度時速度的值始終為正），投影動態多項式在自然坐標系中作為 方法：
可見，切線方程可以直接通過分離變量來求解，其本質是無摩擦系統的機械能守恒，因此很容易求解： vA
將這個結果代入正規方程，可以得到繩子對小環的束縛力：
這個問題之所以容易解決，是因為兩個方向之間沒有耦合，這說明微分方程的性質是線性的，是一種可以直接分離變量并進行積分的方法。 這是當前大學數學教學中常見給中學生的練習（和例子）。 在此基礎上的問題變體基本上可以分為三類：（1）繩索向上張開，從頂點給小環一個沖擊，得到初速度，討論后的運動情況； （2）轉化為半約束 例如，在程守柱的《普通化學》[2]中，由于這類問題涉及到一些特殊點，所以常常將其作為代數方程來討論； (3) 改變曲線的形狀，在這些情況下，除了特定的處理之外，一些幾何形狀沒有觸發以外的真正改變。 但一旦去掉“平滑”這個特殊條件，情況就變得困難了：
力分析必須考慮摩擦部分，所以牛頓第二定理變為：G+N+f=ma，同樣投影到自然坐標系中，我們得到：
其中，由于繩索的形狀被描述為一個連續可導的函數，將與小環的接觸面視為一個小平面，因此滑動摩擦力沿與切線相反的方向（與速度相反）。 的正壓力 和 滿足簡單的關系：
因此：
代入式(1)可得
v2項的引入使得切線多項式的性質變得非線性，而切線的兩個角熱阻的介入也使得多項式無法直接分離變量。 同時，必須考慮與繩索形狀相關的曲率直徑項，這使得直觀上無法給出上述多項式解析解。 作者經過分析認為，這個問題的關鍵在于求解v2項，找到一種劃分曲率直徑復數表示的方法，但基于“大多數類似問題中約束體的形狀是”，我們提出了兩種沿著不同路徑進行的方法：轉化為可分離變量進行積分求解和構造標準的一階線性常系數非齊次微分多項式，以通解的形式給出推論。
1.2 方案一：變量分離
后面會說到，因為中學生在大學化學階段遇到的問題是在很多約束的情況下是二次的，同時在求解微分多項式方面，當中學生還不夠系統地掌握數學工具，總是期望能像大學數學課本上演示的那樣，把變量分開，再合并。 為此，我們首先嘗試這種運算方法，將證明當約束體為二次曲線時，原切線方程可以通過分離變量轉化為解。
注意我們這類問題的目標其實是速度和位置v(x, y)的關系，而不需要去求解v(t), s(t)等函數。這很利于考慮幾何量如何劃分。 由幾何關系可知：tanθ=y′，故
由曲率直徑定義：
代入式（4）可得：
(5)
這里重要的方法是修改v2項：
(6)
選擇vx作為新變量，將原多項式兩邊變換為
(7)
請注意，角熱阻的增加方向恰好與 s [3] 的增加方向相反（這是切向選擇的結果，因為我們希望保持速度本身恒定），因此：
代入，得到
通過點：
(9)
如果 y″>0，則： |y″|=y″
轉變是：
那么獲取可分離變量的方法：
(10)
考慮到最常見的情況，二次曲線的形狀為
bx+c，通過坐標系的平移，可以使其頂點始終在原點，從而去掉一階項和常數項，得到：
等式（10）變為
(11)
至此，我們已經證明，當約束體為二次曲線時，原切線多項式可以通過分離變量化簡為一個解。
積分，得到：
(12)
從約束的幾何性質，我們得到：
(13)
1.3 解法二：一階線性化多項式法
當約束體不再是二次形式，而是具有高階行列式形式時，如上所述，無法進行直接的變量分離。 但我們仍然不想放棄解析方法而轉向數值估計，因此我們希望找到一種具有普遍意義的“線性化方法”。 （省略與法則1推論重疊的部分）來自：
這里的關鍵步驟是，為了將多項式線性化，需要將速度的平方視為一個新變量，并且為了實現這一點并同時減少復雜的幾何熱阻，需要一些變形方法用于右側部分：
例子中坐標系的選擇會提示
查看款式
所以摩擦力定義及產生條件，得到：
令 φ=φ(x)=v2 得到
在，
可以看到，我們已經成功地將原來的切向多項式轉化為關于 φ(x) 的一階線性非齊次微分多項式，至此我們有了解決這個問題的通用方法：
首先求解該多項式對應的齊次多項式φ′+P(x)φ=0，得到通解
(17)
然后利用常變分法[3]給出特解：
(18)
常數C0需要由初始條件確定。
2 預計結果
(1) 解法一：以原問題為例，根據實驗規律，無潤滑情況下鋼材表面的摩擦因數在0.1~0.12之間，這里取μ=0.1，與已知條件，可得：
(19)
(2)方案二：
因此
(20)
(3) 對比：
方案一：vA=5.13m/s； 解法二：vA=5.15m/s； 無摩擦：vA=5.42m/s； 可以看出，考慮滑動摩擦后，問題設置中小環到達A點的速度會略有增加。 兩種方法數值的差異來自于數值估計和解析估計的具體過程不同，特別是在精度的選擇上。 由于相對偏差大于0.3%，符合數學情況。 另外，雖然第二種解法具有普適性，可以用于任意階行列式的約束，但求解過程中遇到的積分方法一般比較困難。 同樣對于二次型，解1可以給出解析解，解2可以給出定式，但積分部分仍然需要數值估計。
（4）為了更清楚地看到繩子上不同位置的摩擦素數和小環速度的影響，以原題為模型，制作3D圖像進行顯示（摩擦素數范圍從 0 到 0.25，見圖 2)。
3 分析
(1)方案一的核心思想是：(1)去掉以速度的平方為變量的二次項； （2）想辦法將多項式左邊的部分（即力表示的部分）和變形部分拆分合并，成為可分解因子的狀態——這里的具體方法是利用軌跡約束作為橋梁，然后用水平速度分量代替速度； (3)利用曲線二階行列式為常數的特點完成變量的分離。 通過證明過程，我們發現這類問題的根源可以做成單獨的變量：滑動摩擦力與法向壓力呈線性關系。 因此，本文的證明部分具有普適性。 同時需要注意的是，證明過程中并不要求滑動摩擦素數為常數，這意味著即使是變摩擦素數系（僅指隨空間維數變化）也可以已解決，但可以通過公式：
可見，只要摩擦素數與坐標μ(x)的關系是冪函數，求解就很容易。
(2)關于y″，前面的演示過程是針對問題設置中y″>0的情況，此時可以開啟絕對值數。 而當y″s增加時保持一致，所以上面推論中的v=
的減號應該被去掉，所以原來的公式就變成：
變量分離仍然是可能的：
這里非常需要注意的是，當絕對值符號打開時，必須考慮距離增量和角熱阻增量的方向一致，可以通過消除兩邊的負號來解決前面的方程，否則很難進行因子分解。
（3）第二種解法的核心思想是：將原多項式變換為一階線性非齊次常微分方程。 主要方法： (1)考慮變量關系，將關于s(t)的二階非線性常微分方程分組為關于v(t)的一階多項式； （2）以速度的平方為變量，去掉二次項。 （3）借助軌道的幾何特性，找到幾個變量之間的約束關系，進行一般劃分； (4)借助物理學中處理一階線性常微分多項式的成熟方法——常變分法來求解。 而這種方法是中學生在高等物理中已經掌握的一項基本技能。 這樣的估計會大大提高他們解決問題的信心，并從中獲得自我肯定。
(4)從圖2可以看出，當繩索光滑時，小環的下降速度隨著高度的增加單調減小，這符合機械能守恒原理； 但考慮摩擦后，小環的速度因能量損失而增大，勢不再單調，而是出現拐點，從圖2大致可以看出：當摩擦系數μ達到0.1時，拐點出現點出現在 x=0.75 附近； 并且隨著μ的減小，拐點的方向變化也減小。 整體來看，拐點在3D圖像上的分布呈近直線狀（曲率較小）。
4 結語
針對“大學數學課程中帶繩約束的粒子動力學問題沒有考慮滑動摩擦的影響”的現狀，分析了造成這種情況的原因：多項式的非線性特性導致求解困難。 對此，本文提出兩種解決方案：變量分離和多項式線性化。 通過論證表明，當約束體為開口向下的二次曲線時，原切線方程可轉化為分離變量的解。 二次曲線是一種常見的情況，這使得這種治療方法不具有普遍性但仍然很重要； 然后，對于普通約束體的情況，指出只要約束體滿足連續求導的物理特性，就可以通過變量代入對多項式進行簡單線性化，從而引入一階線性非齊次普通微分方程，并給出解的積分表達式。 最后，以一個典型話題為例，討論摩擦的具體影響。
參考
[1] 周彥波． 理論熱學教程[M]． 第 3 版。 南京：高等教育出版社，2013：30-31。
[2]程守柱，蔣志勇。 普通化學[M]． 第 6 版。 上海：高等教育出版社，2005：47。
[3] 馬長展． 《自然坐標系中的符號規則》一文的不同含義[J]. 大學數學，2000(3)：9-11。
[4]復旦大學物理系． 高等物理（第二部分）[M]． 第 4 版。 南京：高等教育出版社，1996，12：342-343。
基金項目：重慶師范大學2018年教學科研改革項目（Mnu-）。
作者簡介：何健，講師，主要從事數學教學和科研工作，研究方向為光學和大學數學教學論。
引用格式：何健. 曲線約束摩擦率問題的求解[J]． 化學與工程, 2019, 29(3): 47-51.
結尾