使用自然坐標(biāo)系來處理約束粒子動力學(xué)是學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)中的常見類型。 此類問題通常與二坐標(biāo)法結(jié)合使用。 自然坐標(biāo)系用于描述力，笛卡爾坐標(biāo)系用于描述被約束體的幾何形狀。 （如程守柱的《普通化學(xué)》[2]）占主要內(nèi)容。 這類題對于開闊中學(xué)生的視野、練習(xí)多種語言工具的使用、加深基于牛頓定律解決問題的理解非常有益。 然而目前的情況是，幾乎所有的例子和練習(xí)都回避了其中的摩擦力——“‘界面光滑’、‘滑動摩擦素數(shù)為零’……等等”必須出現(xiàn)在問題設(shè)置中。 原因是考慮摩擦后，由于約束的影響摩擦力定義及產(chǎn)生條件，熱方程會轉(zhuǎn)化為一組耦合的非線性多項(xiàng)式群，而幾何激勵的介入會使形狀變得復(fù)雜且難以求解。 情況就避免了。 但筆者認(rèn)為這種做法并不妥當(dāng)，因?yàn)椤澳Σ痢弊鳛橐环N共同的力量，從小學(xué)起就一直是中學(xué)生學(xué)習(xí)和討論的重點(diǎn)對象之一。 對于這樣一個熟悉的領(lǐng)域，相關(guān)問題已經(jīng)多次成功解決。 不能一味回避，否則只會擊碎中學(xué)生的信心，形成對化學(xué)理論的不信任感，這對今后的教學(xué)無疑是十分不利的。 本文就這個問題展開展開，拋磚引玉，希望能得到同行們更多更好的意見和建議。 經(jīng)過分析，作者認(rèn)為只要考慮約束體的幾何特性，針對此類問題進(jìn)行一些巧妙的改變，就可以將方程以簡單的方式線性化，且不偏離中間的實(shí)際情況。學(xué)校學(xué)生。
1 理論推導(dǎo) 1.1 典型問題
（此摘自周彥白的《理論熱度》[1]，為方便估算，參數(shù)略有改動）
光滑的繩子呈拋物線形狀，可表示為
在繩子上放一個小環(huán)（假設(shè)小環(huán)與繩子的接觸面極小且光滑，相對滑動過程中不會發(fā)生旋轉(zhuǎn)或振動，因此可以視為質(zhì)點(diǎn)）。將小環(huán)放在B點(diǎn)（坐標(biāo)（2,2））處，松開靜止?fàn)顟B(tài)，讓小環(huán)滑動到A點(diǎn)
速度和繩子的斥力（所有單位均為 SI 單位）。 這是一個典型的帶約束的粒子動力學(xué)問題。 對于受力分析，滑動過程中小環(huán)所受的力為重力和鋼索的約束力（沿鋼索法線方向）（因?yàn)殇撍鞴饣?，接觸面不會形成摩擦） 。 因此：G+N=ma
在繩子上構(gòu)建自然坐標(biāo)系，如圖1所示，以小環(huán)的滑動方向?yàn)榍芯€方向（保證投影速度時速度的值始終為正），投影動態(tài)多項(xiàng)式在自然坐標(biāo)系中作為 方法：
可見，切線方程可以直接通過分離變量來求解，其本質(zhì)是無摩擦系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，因此很容易求解： vA
將這個結(jié)果代入正規(guī)方程，可以得到繩子對小環(huán)的束縛力：
這個問題之所以容易解決，是因?yàn)閮蓚€方向之間沒有耦合，這說明微分方程的性質(zhì)是線性的，是一種可以直接分離變量并進(jìn)行積分的方法。 這是當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常見給中學(xué)生的練習(xí)（和例子）。 在此基礎(chǔ)上的問題變體基本上可以分為三類：（1）繩索向上張開，從頂點(diǎn)給小環(huán)一個沖擊，得到初速度，討論后的運(yùn)動情況； （2）轉(zhuǎn)化為半約束 例如，在程守柱的《普通化學(xué)》[2]中，由于這類問題涉及到一些特殊點(diǎn)，所以常常將其作為代數(shù)方程來討論； (3) 改變曲線的形狀，在這些情況下，除了特定的處理之外，一些幾何形狀沒有觸發(fā)以外的真正改變。 但一旦去掉“平滑”這個特殊條件，情況就變得困難了：
力分析必須考慮摩擦部分，所以牛頓第二定理變?yōu)椋篏+N+f=ma，同樣投影到自然坐標(biāo)系中，我們得到：
其中，由于繩索的形狀被描述為一個連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，將與小環(huán)的接觸面視為一個小平面，因此滑動摩擦力沿與切線相反的方向（與速度相反）。 的正壓力 和 滿足簡單的關(guān)系：
因此：
代入式(1)可得
v2項(xiàng)的引入使得切線多項(xiàng)式的性質(zhì)變得非線性，而切線的兩個角熱阻的介入也使得多項(xiàng)式無法直接分離變量。 同時，必須考慮與繩索形狀相關(guān)的曲率直徑項(xiàng)，這使得直觀上無法給出上述多項(xiàng)式解析解。 作者經(jīng)過分析認(rèn)為，這個問題的關(guān)鍵在于求解v2項(xiàng)，找到一種劃分曲率直徑復(fù)數(shù)表示的方法，但基于“大多數(shù)類似問題中約束體的形狀是”，我們提出了兩種沿著不同路徑進(jìn)行的方法：轉(zhuǎn)化為可分離變量進(jìn)行積分求解和構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)的一階線性常系數(shù)非齊次微分多項(xiàng)式，以通解的形式給出推論。
1.2 方案一：變量分離
后面會說到，因?yàn)橹袑W(xué)生在大學(xué)化學(xué)階段遇到的問題是在很多約束的情況下是二次的，同時在求解微分多項(xiàng)式方面，當(dāng)中學(xué)生還不夠系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)工具，總是期望能像大學(xué)數(shù)學(xué)課本上演示的那樣，把變量分開，再合并。 為此，我們首先嘗試這種運(yùn)算方法，將證明當(dāng)約束體為二次曲線時，原切線方程可以通過分離變量轉(zhuǎn)化為解。
注意我們這類問題的目標(biāo)其實(shí)是速度和位置v(x, y)的關(guān)系，而不需要去求解v(t), s(t)等函數(shù)。這很利于考慮幾何量如何劃分。 由幾何關(guān)系可知：tanθ=y′，故
由曲率直徑定義：
代入式（4）可得：
(5)
這里重要的方法是修改v2項(xiàng)：
(6)
選擇vx作為新變量，將原多項(xiàng)式兩邊變換為
(7)
請注意，角熱阻的增加方向恰好與 s [3] 的增加方向相反（這是切向選擇的結(jié)果，因?yàn)槲覀兿Ｍ３炙俣缺旧砗愣ǎ?，因此?span style="display:none">Rof物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
代入，得到
通過點(diǎn)：
(9)
如果 y″>0，則： |y″|=y″
轉(zhuǎn)變是：
那么獲取可分離變量的方法：
(10)
考慮到最常見的情況，二次曲線的形狀為
bx+c，通過坐標(biāo)系的平移，可以使其頂點(diǎn)始終在原點(diǎn)，從而去掉一階項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，得到：
等式（10）變?yōu)?span style="display:none">Rof物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
(11)
至此，我們已經(jīng)證明，當(dāng)約束體為二次曲線時，原切線多項(xiàng)式可以通過分離變量化簡為一個解。
積分，得到：
(12)
從約束的幾何性質(zhì)，我們得到：
(13)
1.3 解法二：一階線性化多項(xiàng)式法
當(dāng)約束體不再是二次形式，而是具有高階行列式形式時，如上所述，無法進(jìn)行直接的變量分離。 但我們?nèi)匀徊幌敕艞壗馕龇椒ǘD(zhuǎn)向數(shù)值估計，因此我們希望找到一種具有普遍意義的“線性化方法”。 （省略與法則1推論重疊的部分）來自：
這里的關(guān)鍵步驟是，為了將多項(xiàng)式線性化，需要將速度的平方視為一個新變量，并且為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)并同時減少復(fù)雜的幾何熱阻，需要一些變形方法用于右側(cè)部分：
例子中坐標(biāo)系的選擇會提示
查看款式
所以摩擦力定義及產(chǎn)生條件，得到：
令 φ=φ(x)=v2 得到
在，
可以看到，我們已經(jīng)成功地將原來的切向多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 φ(x) 的一階線性非齊次微分多項(xiàng)式，至此我們有了解決這個問題的通用方法：
首先求解該多項(xiàng)式對應(yīng)的齊次多項(xiàng)式φ′+P(x)φ=0，得到通解
(17)
然后利用常變分法[3]給出特解：
(18)
常數(shù)C0需要由初始條件確定。
2 預(yù)計結(jié)果
(1) 解法一：以原問題為例，根據(jù)實(shí)驗(yàn)規(guī)律，無潤滑情況下鋼材表面的摩擦因數(shù)在0.1~0.12之間，這里取μ=0.1，與已知條件，可得：
(19)
(2)方案二：
因此
(20)
(3) 對比：
方案一：vA=5.13m/s； 解法二：vA=5.15m/s； 無摩擦：vA=5.42m/s； 可以看出，考慮滑動摩擦后，問題設(shè)置中小環(huán)到達(dá)A點(diǎn)的速度會略有增加。 兩種方法數(shù)值的差異來自于數(shù)值估計和解析估計的具體過程不同，特別是在精度的選擇上。 由于相對偏差大于0.3%，符合數(shù)學(xué)情況。 另外，雖然第二種解法具有普適性，可以用于任意階行列式的約束，但求解過程中遇到的積分方法一般比較困難。 同樣對于二次型，解1可以給出解析解，解2可以給出定式，但積分部分仍然需要數(shù)值估計。
（4）為了更清楚地看到繩子上不同位置的摩擦素數(shù)和小環(huán)速度的影響，以原題為模型，制作3D圖像進(jìn)行顯示（摩擦素數(shù)范圍從 0 到 0.25，見圖 2)。
3 分析
(1)方案一的核心思想是：(1)去掉以速度的平方為變量的二次項(xiàng)； （2）想辦法將多項(xiàng)式左邊的部分（即力表示的部分）和變形部分拆分合并，成為可分解因子的狀態(tài)——這里的具體方法是利用軌跡約束作為橋梁，然后用水平速度分量代替速度； (3)利用曲線二階行列式為常數(shù)的特點(diǎn)完成變量的分離。 通過證明過程，我們發(fā)現(xiàn)這類問題的根源可以做成單獨(dú)的變量：滑動摩擦力與法向壓力呈線性關(guān)系。 因此，本文的證明部分具有普適性。 同時需要注意的是，證明過程中并不要求滑動摩擦素數(shù)為常數(shù)，這意味著即使是變摩擦素數(shù)系（僅指隨空間維數(shù)變化）也可以已解決，但可以通過公式：
可見，只要摩擦素數(shù)與坐標(biāo)μ(x)的關(guān)系是冪函數(shù)，求解就很容易。
(2)關(guān)于y″，前面的演示過程是針對問題設(shè)置中y″>0的情況，此時可以開啟絕對值數(shù)。 而當(dāng)y″s增加時保持一致，所以上面推論中的v=
的減號應(yīng)該被去掉，所以原來的公式就變成：
變量分離仍然是可能的：
這里非常需要注意的是，當(dāng)絕對值符號打開時，必須考慮距離增量和角熱阻增量的方向一致，可以通過消除兩邊的負(fù)號來解決前面的方程，否則很難進(jìn)行因子分解。
（3）第二種解法的核心思想是：將原多項(xiàng)式變換為一階線性非齊次常微分方程。 主要方法： (1)考慮變量關(guān)系，將關(guān)于s(t)的二階非線性常微分方程分組為關(guān)于v(t)的一階多項(xiàng)式； （2）以速度的平方為變量，去掉二次項(xiàng)。 （3）借助軌道的幾何特性，找到幾個變量之間的約束關(guān)系，進(jìn)行一般劃分； (4)借助物理學(xué)中處理一階線性常微分多項(xiàng)式的成熟方法——常變分法來求解。 而這種方法是中學(xué)生在高等物理中已經(jīng)掌握的一項(xiàng)基本技能。 這樣的估計會大大提高他們解決問題的信心，并從中獲得自我肯定。
(4)從圖2可以看出，當(dāng)繩索光滑時，小環(huán)的下降速度隨著高度的增加單調(diào)減小，這符合機(jī)械能守恒原理； 但考慮摩擦后，小環(huán)的速度因能量損失而增大，勢不再單調(diào)，而是出現(xiàn)拐點(diǎn)，從圖2大致可以看出：當(dāng)摩擦系數(shù)μ達(dá)到0.1時，拐點(diǎn)出現(xiàn)點(diǎn)出現(xiàn)在 x=0.75 附近； 并且隨著μ的減小，拐點(diǎn)的方向變化也減小。 整體來看，拐點(diǎn)在3D圖像上的分布呈近直線狀（曲率較小）。
4 結(jié)語
針對“大學(xué)數(shù)學(xué)課程中帶繩約束的粒子動力學(xué)問題沒有考慮滑動摩擦的影響”的現(xiàn)狀，分析了造成這種情況的原因：多項(xiàng)式的非線性特性導(dǎo)致求解困難。 對此，本文提出兩種解決方案：變量分離和多項(xiàng)式線性化。 通過論證表明，當(dāng)約束體為開口向下的二次曲線時，原切線方程可轉(zhuǎn)化為分離變量的解。 二次曲線是一種常見的情況，這使得這種治療方法不具有普遍性但仍然很重要； 然后，對于普通約束體的情況，指出只要約束體滿足連續(xù)求導(dǎo)的物理特性，就可以通過變量代入對多項(xiàng)式進(jìn)行簡單線性化，從而引入一階線性非齊次普通微分方程，并給出解的積分表達(dá)式。 最后，以一個典型話題為例，討論摩擦的具體影響。
參考
[1] 周彥波． 理論熱學(xué)教程[M]． 第 3 版。 南京：高等教育出版社，2013：30-31。
[2]程守柱，蔣志勇。 普通化學(xué)[M]． 第 6 版。 上海：高等教育出版社，2005：47。
[3] 馬長展． 《自然坐標(biāo)系中的符號規(guī)則》一文的不同含義[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2000(3)：9-11。
[4]復(fù)旦大學(xué)物理系． 高等物理（第二部分）[M]． 第 4 版。 南京：高等教育出版社，1996，12：342-343。
基金項(xiàng)目：重慶師范大學(xué)2018年教學(xué)科研改革項(xiàng)目（Mnu-）。
作者簡介：何健，講師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)和科研工作，研究方向?yàn)楣鈱W(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論。
引用格式：何健. 曲線約束摩擦率問題的求解[J]． 化學(xué)與工程, 2019, 29(3): 47-51.
結(jié)尾