聚焦原始問題，提升建模能力
——談拔河
以拔河比賽為例，分別介紹了粒子模型、剛體模型、剛體連接體模型，解釋了拔河比賽中的疑點，并提出了我們的教學啟示。應關注原始問題，通過構建合適的數學模型來解決實際問題。
1. 提出問題
化學選修1（上海科學版）第3章研究力和相互作用。 3.1節介紹牛頓第三定理。 教材的第一個副標題是“從拔河比賽說起”，探討并比較了拔河比賽的拉力之間的關系，實驗發現，無論一方是否主動用力，或雙方同時施力，兩個測力計的讀數始終相同。 因此引入相互作用定律，即斥力和反斥力總是大小相等且相反共線，如式（1）所示：
圖1
圖2
教材第3.4節分析物體的受力，以拔河比賽為例1，水平方向受力分析如圖1所示。運動員進一步簡化為粒子，即也就是說，無論其旋轉如何，力都集中在重心處。 建立如圖2所示的粒子模型拔河摩擦力受力分析，由式（1）可知拔河摩擦力受力分析，兩側拉力大小相等，整體受力分析如下：
即地面對A的最大靜摩擦力小于地面對B的最大靜摩擦力，因此A對B的拉力小于地面對B的最大靜摩擦力，且A隊獲勝。
但筆者發現這種設計存在以下不足： 1、這個模型涉及到受力分析的綜合問題，在一開始介紹概念的時候就引入這個問題是非常不合適的； 2.雖然這個問題與中學生的生活實踐息息相關，但確實問題并不像課本上描述的那么簡單，因為豐富的生活經驗，中學生會對這個問題形成更多的苦惱和爭論。 在學習摩擦力的時候，很多同學會問：（1）比賽時，運動員的身體都在努力前傾，但為什么要把所有的力都集中在物體的重心上呢？ （2）如果拔河只是靠地面來面對人的話，如果摩擦獲勝，那拔河還有什么意義呢？ 難道制勝的關鍵只是減小最大靜摩擦力f（即減小u和G）嗎？ （3）競技比賽的技巧在哪里（哪些化學量）？ 拔河比賽到底是什么？
2. 構建模型
從生活經驗來看，除了平移運動外，還涉及到一些輪換，參與拔河比賽，也算是聯賽膠著階段的一種平衡狀態。 對于作用在任意平面力系上的物體，其平衡條件為：
其中，M為扭力，定義如式（4）所示，扭力是物體旋轉的原因，ΣM=0表示任意旋轉軸的總扭力為零。
在拔河相持的平衡狀態下，假設兩隊體重和凈高相同，構造如圖3所示的質心模型，以A為支點，設點之間的距離為設重力G作用，支點為d，繩索拉力F作用點與支點之間的距離為L，由(3)、(4)求得：
圖3
圖4
方程（5）表明，為了成功，必須減小反第二方向上的扭矩。 當權重G一定時，d必然減小，存在等比關系：
(6) 由式可知，減小d就必須減小θ。 可見，拔河比賽涉及的量不僅包括μ和G，還包括重要的數學量θ。
但該模型將拉力和重力的作用點視為同一點，可能需要進一步改進。
現在我們限制“雙方都沒有鎖定在比賽中”，并在上述模型的基礎上改進圖4所示的質心模型。 選取接觸點O為支點，設重力G作用點與支點之間的距離為a，繩索張力T作用點與支點之間的距離為b，則式（3）有：
由(7)、(8)式可得：
式(9)表明f∝tanθ，即運動員只需改變夾角，就可以利用摩擦力，改變繩索中的拉力T。
因此，我們的推論應該是明確的：拔河比賽是一種雙方依靠摩擦的方式，勝利的關鍵在于夾角的數學量。
在式（9）的基礎上，可以進一步改進圖5所示的“剛體-關節體”模型，表明拔河過程只是多輪旋轉和平移的疊加。
（A）
(二)
圖5
三、教學啟示
本文介紹了粒子模型、剛體模型、剛體連接體模型，并解釋了人們對拔河比賽的苦惱。 可見，對生活中原有問題的分析和討論雖然不像課本上介紹的那么簡單，但關注原有問題對于中學生學科素質的提高大有裨益，特別是尖子生的培養。 傳統的數學教學導致中學生只知道如何根據已知條件解決問題，但在遇到實際問題時往往束手無策。 作者借鑒首都師范大學邢紅軍院長給出的原始數學問題與數學習題的關系，給出了如圖6所示的簡化模型。當生活中遇到實際（原始）問題時，我們首先做的就是化學分析。它分解、簡化、抽象成數學（或物理）模型，如自由落體模型、平面拋射運動模型、行星模型等，然后應用相關化學定律來回答問題或用物理工具解釋現象。
圖6
圖6中的虛線框是我們中學生所熟悉的（即解決數學問題），而我們最缺乏的是將實際問題可視化為化學模型的能力，這就是我們即將努力的方向。 在今后的教學中，要更加注重模型的建立。 對于一些尖子生，我們可以適當拓展扭矩等知識，在解決實際問題的過程中激發他們的探索欲望，逐步提高中學生的思維品質。
人們
事物
簡單的
之間
李景龍，畢業于四川交通大學化學系。 大學期間獲得市級學科競賽二等獎，在《聲學技術》、《教育科學》發表學術論文2篇。 2017年，他加入集賢小學擔任兼職教師，并擔任化學實驗員。 榮獲2017年薊縣基礎教育教學成果自制教具展二等獎。 2018年獲西安市中學數學教師解題大賽二等獎。 曾擔任三年級（9）班班主任。
編輯| 趙慧萍
生產| 張行民
一審| 盧江峰