1. 第十一章力矩定理，11-1 粒子和粒子系統(tǒng)的力矩，11-2 力矩定理，11-3 定軸剛體旋轉的微分方程，11- 5 粒子系統(tǒng)相對于質心的力矩定理，11-4 慣性矩，11-6 剛體平面運動微分方程，11-1 粒子和粒子系統(tǒng)的動量，1. 動量粒子的動量，根據(jù)矩的定義，粒子對O點的動量矩定義為，對z軸的動量矩，單位：kgm2/s，2.粒子系統(tǒng)的動量矩，動量矩繞點，繞軸的動量矩，等于繞點O的力矩，是代數(shù)量，從z軸正方向看，逆時針為正，順時針為負。， (1)剛體平移，（2）剛體繞固定軸旋轉，稱為剛體相對于z軸的轉動慣量，則有，剛體相對于z軸的動量矩z 軸, let, 11 -2 動量矩定理, 1. 粒子的動量矩定理，假設 O
2.對于不動點，有，其中：，（O為不動點），投影公式：，所以有，稱為粒子動量矩定理：粒子動量矩的一階導數(shù)相對于時間對固定點的作用等于作用在同一點上的力矩。 ，式中：x、y、z為固定軸，我們得到，稱為粒子系統(tǒng)動量矩定理：粒子系統(tǒng)動量矩相對于某個固定點O的導數(shù)時間等于外力作用于粒子系統(tǒng)相對于同一點的力矩關于O點的沖量矩的矢量和，即粒子系統(tǒng)到不動點的動量矩的增量一定時間內(nèi)的O等于同一時間內(nèi)粒子系統(tǒng)作用于O點的外力沖量力矩之和。 ，例：已知： ，不包括摩擦力。，求：汽車的加速度a。 ,解決方案：采取整個系統(tǒng)
3、研究，應用動量矩定理，得到，例如水輪機轉輪，進水速度v1，出水速度v2，它們與切線的夾角分別為 ，總體積流量。 求：水流作用在轉輪上的旋轉力矩。 ，解決：以兩葉片之間的流體為研究對象。 ，經(jīng)過一段dt后，水流從ABCD流向abcd。 假設葉片的數(shù)量為 轉輪上的扭矩與其相等且方向相反。 ，求：(1) 車輪角加速度，示例：已知， , , , , , 不包括摩擦力，(2) O 處的約束力，(3) 繩索張力， ，解：(1) 研究整體，應用動量力矩求定理，（2）研究整體，應用質心運動定理求，（3）研究m1求，（4）研究m2
4.求碰撞過程的動量矩定理，3.動量矩守恒定律，如果，則它是一個常數(shù)向量； 如果，那么它是一個常數(shù)。 ,例：質點在中心力作用下的面積速度定理。 有中心力：力的作用線總是經(jīng)過一個固定的點，這個點稱為力的中心，由于存在常數(shù)向量，（2）b=常數(shù)，即常數(shù)，根據(jù)圖，因此，常數(shù)（1） 和 必須在一個固定平面內(nèi)，即 M 點的運動軌跡是平面曲線。，稱為面積速度。，面積速度定理：質點在 的作用下掃掠的矢量半徑中心力 面積速度保持不變。 ，思考：誰先到達頂峰？ ，發(fā)現(xiàn)：切斷繩子后，當桿與軸形成角度時。 ，例如，已知兩個球的質量為，初始角速度，桿的長度為l。 ,當,解: 由于系統(tǒng)在z軸上的外力矩為零，所以系統(tǒng)在z軸上的動量矩守恒。 ,11-3 剛體定軸旋轉微分方程，主力：，
5、約束力：，即：，或，或，是剛體繞定軸旋轉的微分方程。 Jz可以測量剛體繞軸旋轉的慣性。 ，例子已知： ，問。 ,解:,求:小擺幅的周期。,例子展示了一個物理擺(復擺),已知,解:,當有小幅擺幅時,,即:,,一般解法是,稱為角振幅，稱為初始相位，由初始條件確定，周期，用實驗方法求轉動慣量，例如：求曲柄相對于O軸的轉動慣量。 ，（3）將曲柄掛在水平軸O上，稍作擺動，測量擺動周期T，求得JO：，解：所需工具尺，直尺，碼表，（1）稱出重量mg，（ 2）測量長度，確定質心C的位置l。例如，動滑動摩擦系數(shù)已知，求：制動所需時間t。 ,解:,例子是已知的，我們需要: .,解:,因為, ,我們得到,軸:,軸:,解是,例子的質量
6、剛體m可以繞O軸旋轉。 從質心C到軸線OCb的距離是JO。 如果剛體突然受到撞擊，其沖擊沖量為I，與OA、OAa形成角度j。 設碰撞前剛體的角速度為w0。 求：（1）剛體撞擊后的角速度； (2)由于沖擊而在軸承處產(chǎn)生的瞬時反作用力的沖量。 ，解：這是一個碰撞問題，所以可以忽略普通力，認為碰撞過程中物體的位置不變。 ,1. 求碰撞后的角速度。 ，動量矩定理的積分形式，動量定理，2.求反作用力的沖量，x方向，y方向。 在工程實踐中，希望反作用力的沖量盡可能小。 ，要做到，必須滿足，即外部碰撞沖量I垂直于OC、1、2的連線，即由公式確定的K點稱為碰撞中心。 結論：要使軸承處的反作用碰撞沖量為零，必須使碰撞沖量垂直于OC連接線
7.并通過沖擊中心。 ,11-4 剛體繞軸的轉動慣量，單位：kgm2，1.剛體繞軸的轉動慣量。 剛體繞軸的轉動慣量可以測量剛體繞軸旋轉的慣性。 它是表征剛體力學特性的重要物理量。 ，剛體繞z軸的轉動慣量定義為，剛體的轉動慣量是質量繞軸的二階矩。 ，始終為正的標量， (1) 轉動慣量積分計算，求一對穿過桿端的均質細直桿的 z 軸轉動慣量。 對于形狀簡單的剛體，如果剛體的質量是連續(xù)分布的，那么，設桿的單位長度和質量為， 2. 確定剛體轉動慣量的常用方法。 例如，求均質薄環(huán)相對于中心軸的轉動慣量，求均質圓板相對于中心軸的轉動慣量。 假設圓板單位面積的質量為 ，與圓板的厚度無關，（2）查表法，均勻物體的轉動慣量，細環(huán)，細直桿，體積，慣性半徑，
8.轉動慣量，簡圖，物體形狀，圓板，空心圓柱體，圓柱體，實心球體，（3）回轉半徑（慣性半徑），（4）平行軸定理，其中zC軸為中心質量且與 z 軸平行，d 為 z 軸與 zC 軸之間的距離，即：剛體相對于任意軸的轉動慣量等于剛體的轉動慣量剛體相對于穿過質心且平行于該軸的軸的質量，加上剛體的質量與兩個平行軸之間距離的平方的乘積。 ，稱為剛體繞z軸的回轉半徑，具有長度量綱，與剛體的質量無關。 ，證明： ，因為，有，我們得到，？，例子：均質細直桿，已知m，l。 ，求：桿副穿過質心且垂直于桿軸線zC軸的轉動慣量。 ，需要記住三個轉動慣量，（1）均質圓盤相對于中心軸線的轉動慣量，（2）均質細直桿相對于桿端軸線的轉動慣量， (3) 均質細直桿相對于中心軸線的轉動慣量
9、轉動慣量，則桿對軸的轉動慣量為，解：，求：JO。 ，例：已知棒的長度為l，質量為m1，圓盤的直徑為d，質量為m2。 ，解：，求。，解：，其中，由以下方法獲得，示例： 已知：，示例，兩個同質圓盤的質量為 m，半徑為 R，角速度為，嘗試找到兩個圓盤對。 旋轉軸的動量。 ,解,(a),(b),求:LO。,例:已知棒的長度為l,質量為m1,圓盤的半徑為d,質量為m2,角速度是。 ，解： ，1． 粒子系統(tǒng)相對于質心的動量矩為， 其中， 11-5 粒子系統(tǒng)相對于質心的動量矩定理，因為，即： 粒子系統(tǒng)的動量矩相對于質心，無論是相對速度還是絕對速度計算結果，質點系相對于質心的動量矩都是相同的。 ，粒子系統(tǒng)相對于固定點O的動量矩： ，2。 相對質心
10. 10的動量矩定理。 因為，在方程左邊和方程右邊，粒子系統(tǒng)相對于質心的動量矩定理：矩的導數(shù)粒子系統(tǒng)相對于質心的動量對時間的導數(shù)等于作用在粒子系統(tǒng)上的外力相對于質心的導數(shù)。 主矩.,得到,0,相對于質心的動量矩定理投影在隨質心平移的x,y,z軸上,或者說,質心的運動定理,動量矩相對于質心的定理，11-6 剛體平面運動微分方程，以上各組稱為剛體平面運動微分方程。 ，應用時，一般采用投影公式： ，例如，半徑為r、質量為m的均質圓輪沿水平直線滾動，如圖所示。 設車輪的轉動慣量半徑為，作用在車輪上的力偶力矩為M，求： (1) 車輪中心加速度。 （2）若圓輪對地面的滑動摩擦因數(shù)為f，則力偶力矩M要使圓輪只滾動而不滑移，必須滿足什么條件？，f，解：（1）求加速度的輪中心。 ，在
11.求解剛體平面運動的微分方程f，以及純滾動的條件： ，即（2）若圓輪對地面的滑動摩擦系數(shù)為f碰撞過程的動量矩定理，問必須滿足什么條件使圓輪僅轉動的力偶矩M 滾動的輪是否??滑？，f，例如，質量為W、半徑為R的均質圓輪沿傾斜角為 的斜面滾動。 設車輪與斜面之間的摩擦因數(shù)為f。 試求（1）輪心加速度； (2)斜面對車輪的約束反力。 ，求解圓輪的平面運動并畫出受力圖。 根據(jù)剛體平面運動微分方程，公式中有四個未知量，必須增加一個附加條件。 (1) 假設圓輪只滾動不滑動，摩擦力為靜摩擦力。 ，（2）假設圓輪滾動且打滑，摩擦力為動摩擦力。 車輪的角加速度aaC/R是多少？ ，例如，半徑為r、質量為m的均質圓輪，受到輕微擾動后，在半徑為R的圓弧上來回滾動，如圖所示。 假設表面足夠粗糙，使得車輪在滾動時不會打滑。 ，求：質心C的運動規(guī)律。 ，f，解：根據(jù)剛體平面運動微分方程，式中，，有，即f，其解為，令，運動方程為，假設當我們得到時，積分常數(shù)由初始條件決定。 ，時間到了，所以作業(yè)： 11-1, 4, 7 11-11, 17, 19, 23,
