牛頓運(yùn)動(dòng)定理之第一定理與第二定理
動(dòng)力學(xué)的根本任務(wù)是完善力與運(yùn)動(dòng)間的聯(lián)系，因而解釋物體在哪些條件下做哪些運(yùn)動(dòng)。牛頓完善的理論體系是第一套比較成功的動(dòng)力學(xué)理論體系。
要完善力與運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系，首先碰到的問題是，當(dāng)我們變換參考系時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)量與受力的變換規(guī)律完全不同。
比如，物體若果在某個(gè)參考系中不受力，則在任意參考系中該物體都不受力；但物體在一個(gè)參考系中不運(yùn)動(dòng)，在另一個(gè)參考系中未必不運(yùn)動(dòng)；物體在一個(gè)參考系中沒有加速度，在另一個(gè)參考系中也未必沒有加速度。我們須要提供一類特殊參考系，之后在這類特殊參考系下構(gòu)建運(yùn)動(dòng)與力的聯(lián)系。
伽利略相對(duì)性原理
伽利略提出過一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)：若在半夜將一些酣睡的化學(xué)學(xué)家偷偷轉(zhuǎn)移到一膄勻速行駛的船上的封閉艙室內(nèi)；她們難以觀察到甲板外的情境。這么，等她們睡醒后，能夠通過各類化學(xué)實(shí)驗(yàn)判定自己究竟是身處勻速行駛的船上的密閉甲板內(nèi)，還是在地面上某個(gè)密閉臥室內(nèi)呢？
比如，將一個(gè)小球從某一高度處由靜止(相對(duì)各自的參考系)釋放，它落到地面所用的時(shí)間是否相同？是否滿足相同的規(guī)律？以某個(gè)相同的初速率(相對(duì)各自參考系)拋出一個(gè)小球，它們的運(yùn)動(dòng)是否完全相同？等等。
大量的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)表明，我們難以用化學(xué)實(shí)驗(yàn)分辨兩個(gè)相對(duì)彼此做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系。
在兩個(gè)相對(duì)彼此靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系中，一切化學(xué)實(shí)驗(yàn)將得到相同的結(jié)果；而化學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果取決于化學(xué)規(guī)律。
伽利略相對(duì)性原理：相對(duì)彼此靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)參考系中，數(shù)學(xué)規(guī)律完全相同。
伽利略相對(duì)性原理說明，假如我們構(gòu)建了一套理論，它在某個(gè)參考系中是創(chuàng)立的；則在所有與該參考系相對(duì)靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系中，這套理論依然創(chuàng)立。
牛頓第一定理慣性參考系
關(guān)于力與運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系，直觀的體會(huì)是有力才有運(yùn)動(dòng)；若沒有力，物體的運(yùn)動(dòng)都會(huì)停出來。并且，這或許也得到了大量經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的印證。諸如，馬車須要馬拉能夠動(dòng)，不拉了馬車都會(huì)停下。籃球踢出去后，最終必會(huì)停出來。
但是，我們傘車時(shí)，并非停止傘車后貨車立刻都會(huì)停下。踢出去的球也總會(huì)在地面上滾動(dòng)一段時(shí)間才能停出來；并且粗糙程度不同，初速率不同，球停下所用時(shí)間也不同。我們難以用有力才有運(yùn)動(dòng)的理論定量解釋這種現(xiàn)象。
伽利略以其敏銳的洞察力，通過一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)發(fā)覺了這兒面存在的問題。兩個(gè)斜面底端平滑聯(lián)接，從一個(gè)斜面釋放小球，當(dāng)它滾到斜面底端時(shí)，在水平方向上并不受力，但它并沒有馬上停出來或在豎直方向上運(yùn)動(dòng)；而是沿軌道繼續(xù)往前運(yùn)動(dòng)，滑上另一個(gè)斜面。
而另一個(gè)斜面上，小球受力似乎是沿斜面向上的，但小球卻沿斜面向下運(yùn)動(dòng)；這說明力與運(yùn)動(dòng)方向甚至可以相反。
伽利略還發(fā)覺小球在第二個(gè)斜面上才能抵達(dá)的高度略高于釋放時(shí)的高度，但小球和軌道越光滑，這兩個(gè)高度就越接近。為此牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律的概念，他大膽的猜想，假如小球和斜面之間絕對(duì)光滑，它在第二個(gè)斜面上才能抵達(dá)與釋放時(shí)相同的高度。并且，漸漸放平第二個(gè)斜面，仍能抵達(dá)相同高度。
這樣，假如讓第二個(gè)斜面趨向水平，小球仍趨向抵達(dá)原先的高度，它會(huì)仍然沿第二個(gè)“斜面”運(yùn)動(dòng)下去；而小球在第二個(gè)“斜面”上并未受力。這說明，物體的運(yùn)動(dòng)并不須要力來維持。
伽利略通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)還發(fā)覺了磨擦力的存在，車不拉都會(huì)停下，踢出去的球滾動(dòng)一段距離都會(huì)停下等，不是由于不受力，恰恰是由于遭到與運(yùn)動(dòng)方向相反的磨擦力。力的作用是改變物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。即，使物體從靜止到運(yùn)動(dòng)，或從運(yùn)動(dòng)到靜止，或使物體加速、減速、改變運(yùn)動(dòng)方向等，才需要力。也就是說，使物體獲得加速度才須要力。
后來，牛頓在《自然哲學(xué)的物理原理》一書中，將這個(gè)結(jié)果歸納為如下定理。
牛頓第一定理：物體將一直保持靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)，直至外力促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化。
牛頓第一定理的這些敘述，雖然是存在問題的；由于它沒有強(qiáng)調(diào)是在哪些參考系下靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。
這個(gè)規(guī)律是根據(jù)地面參考系中的實(shí)驗(yàn)牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律的概念，并經(jīng)過科學(xué)推理得到的。為此，可以覺得定理中提及的靜止和勻速直線運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)地面而言的。但，若對(duì)更大尺度范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)做更精確的研究，我們會(huì)發(fā)覺不受力的物體并不嚴(yán)格靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)！
這樣，我們要么接受牛頓運(yùn)動(dòng)定理只是一個(gè)近似創(chuàng)立的規(guī)律，要么覺得是地面參考系有其局限性，可以找到一類參考系，在這類參考系下，牛頓運(yùn)動(dòng)定理嚴(yán)格創(chuàng)立。
事實(shí)上，我們可以將牛頓第一定理更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄⑹鰹槿缦路绞健?span style="display:none">hK7物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
牛頓第一定理：不受力的兩個(gè)物體必然相對(duì)彼此靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。
這樣，我們就可以定義一類特殊的參考系，在這種參考系中，不受力的物體要么靜止，要么做勻速直線運(yùn)動(dòng)。
慣性參考系：不受力的物體作為參考系稱為慣性參考系，簡(jiǎn)稱慣性系；相對(duì)慣性系靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體作為參考系統(tǒng)稱為慣性系。
牛頓第一定理確保任意兩個(gè)慣性系必然相對(duì)彼此靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)；因而確保了慣性系這個(gè)概念本身的邏輯自洽。
現(xiàn)實(shí)中，并不存在完全不受力的物體，因此并不存在嚴(yán)格的慣性系；慣性系也是一個(gè)理想模型，是一種理想化的參考系。
當(dāng)某個(gè)物體O所受力與其質(zhì)量的比值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于我們的研究對(duì)象所受力與其質(zhì)量的比值時(shí)，可將O近似視為慣性系。
比如，研究地面上物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常都可以將地面近似視為慣性系；研究太陽系中的物體的運(yùn)動(dòng)，通常可以將太陽近似視為慣性系。
若一個(gè)系統(tǒng)所受外力遠(yuǎn)大于系統(tǒng)各部份間的內(nèi)力；則，以它們的剛體作為參考系，研究系統(tǒng)各部份相對(duì)該剛體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，這個(gè)質(zhì)情系可視為慣性系。
為此，研究地月系內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，地月系的總剛體作為參考系比月球更接近慣性系。研究太陽系內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，太陽系的總剛體作為參考系比太陽更接近慣性系；只是運(yùn)算會(huì)更復(fù)雜。
牛頓第二定理
有了慣性參考系的概念，能夠在慣性系中構(gòu)建物體的運(yùn)動(dòng)與受力之間的關(guān)系；這是牛頓第二定理的任務(wù)。
通過對(duì)大量經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的剖析和科學(xué)推理，牛頓得出如下結(jié)果。
牛頓第二定理：在慣性系中，物體所受合外力等于其動(dòng)量的變化率
其中，$$sumvec{F}vec{p}mvec{v}$的數(shù)乘
即，物體的動(dòng)量是一個(gè)與物體的速率同向的矢量，動(dòng)量的大小等于速率的大小與物體質(zhì)量之積。
牛頓理論中，默認(rèn)物體的質(zhì)量不隨物體的運(yùn)動(dòng)速率變化；為此，牛頓第二定理的表達(dá)式也可以寫成
表達(dá)式的右側(cè)是物體所受合外力，右側(cè)的加速度則是運(yùn)動(dòng)學(xué)量；它完善了力與運(yùn)動(dòng)學(xué)量之間的聯(lián)系。
但是，這個(gè)表達(dá)式是矢量表達(dá)式，除了反映大小關(guān)系，也反映方向關(guān)系，即物體的加速度與物體所受合外力方向相同。
按照矢量運(yùn)算的性質(zhì)，在正交直角座標(biāo)系中，有
在自然座標(biāo)系中，有
其中，為曲線軌跡在對(duì)應(yīng)位置處的曲率直徑；表示速度（速率的大小）的變化量，表示速度的變化率。
在極座標(biāo)系下，有
其中，和分別為徑向座標(biāo)和軸向座標(biāo)。
