牛頓運動定理之第一定理與第二定理
動力學的根本任務(wù)是完善力與運動間的聯(lián)系，因而解釋物體在哪些條件下做哪些運動。牛頓完善的理論體系是第一套比較成功的動力學理論體系。
要完善力與運動的聯(lián)系，首先碰到的問題是，當我們變換參考系時，物體的運動學量與受力的變換規(guī)律完全不同。
比如，物體若果在某個參考系中不受力，則在任意參考系中該物體都不受力；但物體在一個參考系中不運動，在另一個參考系中未必不運動；物體在一個參考系中沒有加速度，在另一個參考系中也未必沒有加速度。我們須要提供一類特殊參考系，之后在這類特殊參考系下構(gòu)建運動與力的聯(lián)系。
伽利略相對性原理
伽利略提出過一個思想實驗：若在半夜將一些酣睡的化學學家偷偷轉(zhuǎn)移到一膄勻速行駛的船上的封閉艙室內(nèi)；她們難以觀察到甲板外的情境。這么，等她們睡醒后，能夠通過各類化學實驗判定自己究竟是身處勻速行駛的船上的密閉甲板內(nèi)，還是在地面上某個密閉臥室內(nèi)呢？
比如，將一個小球從某一高度處由靜止(相對各自的參考系)釋放，它落到地面所用的時間是否相同？是否滿足相同的規(guī)律？以某個相同的初速率(相對各自參考系)拋出一個小球，它們的運動是否完全相同？等等。
大量的經(jīng)驗事實表明，我們難以用化學實驗分辨兩個相對彼此做勻速直線運動的參考系。
在兩個相對彼此靜止或做勻速直線運動的參考系中，一切化學實驗將得到相同的結(jié)果；而化學實驗的結(jié)果取決于化學規(guī)律。
伽利略相對性原理：相對彼此靜止或做勻速直線運動的兩個參考系中，數(shù)學規(guī)律完全相同。
伽利略相對性原理說明，假如我們構(gòu)建了一套理論，它在某個參考系中是創(chuàng)立的；則在所有與該參考系相對靜止或做勻速直線運動的參考系中，這套理論依然創(chuàng)立。
牛頓第一定理慣性參考系
關(guān)于力與運動的聯(lián)系，直觀的體會是有力才有運動；若沒有力，物體的運動都會停出來。并且，這或許也得到了大量經(jīng)驗事實的印證。諸如，馬車須要馬拉能夠動，不拉了馬車都會停下。籃球踢出去后，最終必會停出來。
但是，我們傘車時，并非停止傘車后貨車立刻都會停下。踢出去的球也總會在地面上滾動一段時間才能停出來；并且粗糙程度不同，初速率不同，球停下所用時間也不同。我們難以用有力才有運動的理論定量解釋這種現(xiàn)象。
伽利略以其敏銳的洞察力，通過一個思想實驗發(fā)覺了這兒面存在的問題。兩個斜面底端平滑聯(lián)接，從一個斜面釋放小球，當它滾到斜面底端時，在水平方向上并不受力，但它并沒有馬上停出來或在豎直方向上運動；而是沿軌道繼續(xù)往前運動，滑上另一個斜面。
而另一個斜面上，小球受力似乎是沿斜面向上的，但小球卻沿斜面向下運動；這說明力與運動方向甚至可以相反。
伽利略還發(fā)覺小球在第二個斜面上才能抵達的高度略高于釋放時的高度，但小球和軌道越光滑，這兩個高度就越接近。為此牛頓第一運動定律的概念，他大膽的猜想，假如小球和斜面之間絕對光滑，它在第二個斜面上才能抵達與釋放時相同的高度。并且，漸漸放平第二個斜面，仍能抵達相同高度。
這樣，假如讓第二個斜面趨向水平，小球仍趨向抵達原先的高度，它會仍然沿第二個“斜面”運動下去；而小球在第二個“斜面”上并未受力。這說明，物體的運動并不須要力來維持。
伽利略通過這個實驗還發(fā)覺了磨擦力的存在，車不拉都會停下，踢出去的球滾動一段距離都會停下等，不是由于不受力，恰恰是由于遭到與運動方向相反的磨擦力。力的作用是改變物體的運動狀態(tài)。即，使物體從靜止到運動，或從運動到靜止，或使物體加速、減速、改變運動方向等，才需要力。也就是說，使物體獲得加速度才須要力。
后來，牛頓在《自然哲學的物理原理》一書中，將這個結(jié)果歸納為如下定理。
牛頓第一定理：物體將一直保持靜止或做勻速直線運動，直至外力促使其運動狀態(tài)發(fā)生變化。
牛頓第一定理的這些敘述，雖然是存在問題的；由于它沒有強調(diào)是在哪些參考系下靜止或做勻速直線運動。
這個規(guī)律是根據(jù)地面參考系中的實驗牛頓第一運動定律的概念，并經(jīng)過科學推理得到的。為此，可以覺得定理中提及的靜止和勻速直線運動都是相對地面而言的。但，若對更大尺度范圍內(nèi)的運動做更精確的研究，我們會發(fā)覺不受力的物體并不嚴格靜止或做勻速直線運動！
這樣，我們要么接受牛頓運動定理只是一個近似創(chuàng)立的規(guī)律，要么覺得是地面參考系有其局限性，可以找到一類參考系，在這類參考系下，牛頓運動定理嚴格創(chuàng)立。
事實上，我們可以將牛頓第一定理更嚴謹?shù)臄⑹鰹槿缦路绞健?span style="display:none">hK7物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
牛頓第一定理：不受力的兩個物體必然相對彼此靜止或做勻速直線運動。
這樣，我們就可以定義一類特殊的參考系，在這種參考系中，不受力的物體要么靜止，要么做勻速直線運動。
慣性參考系：不受力的物體作為參考系稱為慣性參考系，簡稱慣性系；相對慣性系靜止或做勻速直線運動的物體作為參考系統(tǒng)稱為慣性系。
牛頓第一定理確保任意兩個慣性系必然相對彼此靜止或做勻速直線運動；因而確保了慣性系這個概念本身的邏輯自洽。
現(xiàn)實中，并不存在完全不受力的物體，因此并不存在嚴格的慣性系；慣性系也是一個理想模型，是一種理想化的參考系。
當某個物體O所受力與其質(zhì)量的比值遠遠大于我們的研究對象所受力與其質(zhì)量的比值時，可將O近似視為慣性系。
比如，研究地面上物體的運動時，通常都可以將地面近似視為慣性系；研究太陽系中的物體的運動，通常可以將太陽近似視為慣性系。
若一個系統(tǒng)所受外力遠大于系統(tǒng)各部份間的內(nèi)力；則，以它們的剛體作為參考系，研究系統(tǒng)各部份相對該剛體的運動時，這個質(zhì)情系可視為慣性系。
為此，研究地月系內(nèi)的運動，地月系的總剛體作為參考系比月球更接近慣性系。研究太陽系內(nèi)的運動，太陽系的總剛體作為參考系比太陽更接近慣性系；只是運算會更復(fù)雜。
牛頓第二定理
有了慣性參考系的概念，能夠在慣性系中構(gòu)建物體的運動與受力之間的關(guān)系；這是牛頓第二定理的任務(wù)。
通過對大量經(jīng)驗事實的剖析和科學推理，牛頓得出如下結(jié)果。
牛頓第二定理：在慣性系中，物體所受合外力等于其動量的變化率
其中，$$sumvec{F}vec{p}mvec{v}$的數(shù)乘
即，物體的動量是一個與物體的速率同向的矢量，動量的大小等于速率的大小與物體質(zhì)量之積。
牛頓理論中，默認物體的質(zhì)量不隨物體的運動速率變化；為此，牛頓第二定理的表達式也可以寫成
表達式的右側(cè)是物體所受合外力，右側(cè)的加速度則是運動學量；它完善了力與運動學量之間的聯(lián)系。
但是，這個表達式是矢量表達式，除了反映大小關(guān)系，也反映方向關(guān)系，即物體的加速度與物體所受合外力方向相同。
按照矢量運算的性質(zhì)，在正交直角座標系中，有
在自然座標系中，有
其中，為曲線軌跡在對應(yīng)位置處的曲率直徑；表示速度（速率的大小）的變化量，表示速度的變化率。
在極座標系下，有
其中，和分別為徑向座標和軸向座標。
