第一部分 力與物體的平衡
第一講的處理
1.向量運算
1. 添加
表達：
+
=
。
名詞：
對于“向量和”。
定律：平行四邊形定律。 如圖1所示。
和向量大小：c=
，其中 α 是
和
傾角。
和矢量方向：
存在
,
之間
傾斜角β=
2. 減法
表達：
=
-
。
名詞：
是“被減數向量”力的正交分解是什么量，
是“減數向量”，
是“差異向量”。
定律：三角形定律。 如圖2所示，將被減數向量和減數向量的起始端平移到一點，然后將兩個時間量的端點連接起來，指向被減數時間量的時間量，即為差向量。
差異向量大小：a=
力的正交分解是什么量，其中 θ 是
和
傾角。
利用余弦定理可以得到差向量的方向。
直線上的向量運算是平行四邊形和三角形定律的特例。
例：假設質點做勻速圓周運動，直徑為R，周期為T，求
T 和在
T 中的平均加速度。
說明：如圖3所示，A點至B點對應
T的過程對應A點到C點
T的過程。這三點的速度向量分別設為
,
和
。
根據加速度的定義
=
必須：
=
,
=
由于涉及兩個向量加法，設兩個差向量
=
-
,
=
-
，根據三角形法則，畫出了圖3中它們的大小和方向（
“三角形”已被拉伸成一條直線）。
這個問題只關心每個向量的大小，即使：
=
=
=
，和：
=
=
,
=2
=
所以：
=
=
=
,
=
=
=
。
（中學生活動）觀察思考：兩個加速度相等，勻速圓周運動是勻速運動嗎？
答案：否； 它不是。
3. 乘法
向量加法有叉積和點積兩種，它們與代數加法有質的不同。
⑴ 叉積
表達：
X
=
名詞：
稱為“向量的叉積”，它是一個新的向量。
叉積的大小：c=absinα，其中 α 是
和
傾角。 意義：
尺寸對應于
和
所得平行四邊形的面積。
叉積方向：垂直
和
確定平面，并用左手螺旋定則確定方向，如圖4所示。
實際上，
X
≠
X
，但有：
X
=-
X
⑵ 點乘法
表達：
·
=c
名詞：c稱為“向量的點積”，它不再是向量，而是標量。
點積的大小：c=abcosα，其中α為
和
傾角。
2. 共點力的合成
1. 平行四邊形定律和向量表達
2.一般平行四邊形的合力和分力計算
正弦定律（或除以RtΔ）求解合力的大小
余弦定律解方向
3、力的分解
1.按療效分解
2.根據需要——正交分解
第2講物體的平衡
1.常見的力平衡
1.特點：剛體沒有加速度。
2、條件：Σ
=0，或
=0,
=0
例：如圖5所示，用兩根輕繩水平懸掛一根長度為L、粗細不均勻的單杠。 繩索與水平方向的傾斜角度標注在圖中。 找到桿的重心。
說明：利用同一點上的三個力的知識直接求解問題，幾何關系比較簡單。
答案：距桿上端 L/4。
（中學生活動）思考：將一個均質長方體放在斜面上，根據實際情況分析受力，斜面的支撐力會通過長方體的重心嗎？
解：將各處的支撐力總結為一個N，則長方體上的三個力（G，f，N）必定在同一點，由此可推知N不能通過長方體的重心。 正確的受力情況如圖6所示（一般受力圖是將受力物體視為一個點，此時N超出重心）。
答：不。
2、旋轉平衡
1、特點：物體沒有旋轉加速度。
2、條件：Σ
=0，或ΣM+=ΣM-
如果物體是靜止的，那么肯定會同時滿足兩個平衡，所以可以用兩種思維方式來解決問題。
3. 非共點力的合成
大小和方向：遵循直線矢量合成規則。
作用點：首先假設一個等效的作用點，然后讓所有平行力作用到該作用點的扭矩之和為零。
第三講課
1、如圖7所示，在一個傾斜角為α的固定斜面上，有一個可旋轉的夾板（β不定），夾板與斜面之間夾有一個質量為m的光滑均質球體。 嘗試獲得： β 在任何值下，夾板對球施加的彈簧量最小。
說明：方法一，平行四邊形動態處理。
對球體進行受力分析，然后將平行四邊形中的向量G和N1平移，使其形成三角形，如圖8左圖和中圖所示。
由于G的大小和方向不變，而N1的方向不可變，當N2的方向因β的減小而改變時，N2的變化和N1的方向的變化如圖下圖所示8.
事實上，隨著β減小，N1單調減小，而N2的尺寸先減小后減小。 當N2垂直于N1時，N2取最小值，N2min=Gsinα。
方法二、函數法。
看圖 8 的中間圖片，使用該三角形的余弦定理，我們有：
=
，即：N2=
，β取0~180°之間的值，N2極值的討論很容易。
答：當β=90°時，座艙彈力最小。
2、用水平推力F將一個重量為G的物體壓在垂直足夠高的墻上，F隨時間t的變化如圖9所示，物體的摩擦力從t=0開始力f如圖10所示？
說明：靜力學致力于解決靜態問題和準靜態過程問題，但這道題是個例外。 物體在垂直方向的運動先加速后減速，平衡多項式不再適用。 如何避免牛頓第二定理是本課題講授的難點。
靜力學的知識，這道題是區分兩種摩擦力的不同判據。
水平方向的合力為零，因此：支撐力N繼續減小。
當物體運動時，滑動摩擦力f=μN必然不斷減小。 但物體靜止后的靜摩擦力f'eqG與N無關。
分析運動過程，物體必然有加速和減速兩個過程。 根據數學常識，加速時f<G，減速時f>G。
答案：B。
3、如圖11所示，將一個重量為G的小球放在一個垂直放置的半徑為R的光滑環上，另一個輕彈簧，其剛度系數為k，自由寬度為L（L<2R ），一端固定在大環的頂點A，另一端與小球連接。 當環達到靜平衡時，它位于大環上的B點。 求彈簧相對于垂直方向的傾斜角 θ。
說明：平行四邊形的三個向量總是可以轉化為三角形進行討論。 解三角形有三種典型的方法：①分成直角三角形（或本來是直角三角形）； ②利用正弦和余弦定律； ③ 使用力 學習向量三角形類似于某個空間位置的三角形。 本主題致力于實現第三種思維方式。
分析小球受力→矢量平移，如圖12所示，其中F代表彈簧力，N代表大環的支撐力。
（中學生活動）思考：圖12中支撐力N的方向可以相反嗎？ （正交分解以查看水平平衡 - 不可能。）
很容易區分，圖中紅色矢量三角形與空間位置三角形ΔAOB類似，所以：
⑴
根據胡克定律：F=k(
-R) ⑵
幾何關系：
=2Rcosθ⑶
解上述三個方程。
回答：
。
（中學生活動）思考：如果把彈簧換成剛度系數k′更大的彈簧，其他條件不變，彈簧力會如何變化？ 環的支撐力如何變化？
答：減少； 保持不變。
（中學生活動）反饋練習：將光滑的半球固定在水平面上，球中心O的正上方有一定的滑輪。 一根輕繩穿過滑輪將一個小球從圖13所示的位置A拉到位置B。試判斷：這個過程中繩的拉力T和球面的支撐力N如何變化？
解決方法：和上面的完全一樣。
答案：T 變小，N 保持不變。
4、如圖14所示，先將一個直徑為R、重心不在O點的非均勻球體放置在水平地面上，平衡時球體上的A點與地面接觸; 然后將其放在地上。 在一個夾角為30°的粗糙斜坡上，球面上的B點與斜坡平衡接觸，可知A到B的圓心角也是30°。 求球體重心 C 到球心 O 的距離。
說明： 練習在同一點應用三種力。
根據平面上的平衡可知，重心C位于連線OA上。 根據斜面上的平衡，支撐力和重力摩擦力在同一點，可以得出重心的具體位置。 幾何估計相對簡單。
回答：
R。
（中學生活動）反饋練習：在靜摩擦力足夠的情況下，將長度為a、厚度為b的磚塊疊在角度為θ的斜坡上，最多可以疊多少塊磚？
解決方案：應用三種力的知識。
回答：
。
4、兩條等長的細線，一端系在同一個懸掛點O上，另一端系在一個小球上。 兩個球的質量分別為m1和m2。 眾所周知，兩個球之間存在大小相等、方向相反的效應。 力使兩條線以一定的角度伸展，分別為45°和30°，如圖15所示。那么m1:m2是多少？
說明：本題考察余弦定律或扭矩平衡來解決靜力學問題。
對兩個球進行受力分析并進行矢量平移，如圖16所示。
首先注意圖16中的紅色三角形是等邊三角形，兩個底角相等，設為α。
但兩球的相互作用力方向相反，大小相等，可用同一個字母表示，記為F。
將余弦定理應用于右側的向量三角形，我們有：
=
①
同理，對于右邊的向量三角形，有：
=
②
求解兩個公式①和②。
答案：1：
。
（中學生活動）思考：還有其他辦法解決這個問題嗎？
答：是的——將模型視為兩個由光桿連接的小球，O點視為轉軸。 兩個球的重力必須平衡 O 的扭矩。這些技術更直接、更容易。
應用：如果原題中繩子的長度不相等，但l1:l2=3:2，其他條件不變，則m1與m2的比是多少？
解：這時候用共點力來平衡就越來越復雜了（多了一個余弦定律多項式），而用力矩來平衡就和“思考”差不多了。
答案：2：3
。
5、如圖17所示，直徑為R的均質金屬球固定有一根長度為L的輕質細桿，細桿的上端用鉸鏈與墻壁連接，木板放置在球下方。 細桿完全水平，下面的木板光滑且水平。 由于金屬球與木板之間存在摩擦力（已知摩擦誘因為μ），因此當將木板從球底部向右拉出時，至少需要F的水平拉力。 請問：需要多大的水平推力才能繼續向左插入木板？
說明：這是一個典型的扭矩平衡示例。
以球和桿為物體，研究它們相對于旋轉軸O的旋轉平衡，設木板拉出時球上的摩擦力為f，支撐力為N，重力為G，扭矩平衡多項式為：
fR+N(R+L)=G(R+L)①
球與板一直相對滑動，故：f=μN②
求解①②可得：f=
再看一下棋盤的平衡，F=f。
同理，當板插入時，球與板之間的摩擦力為f′=
=F'。
回答：
。
第四講 摩擦角及其他
1、摩擦角
1、總反作用力：接觸面上物體所受的摩擦力和支撐力的合力稱為總反作用力，通常用R表示，也稱為接觸反作用力。
2、摩擦角：總反力與支撐力之間的最大傾斜角稱為摩擦角，通常用φm表示。
此時，要么物體已經滑動，則必然有： φm=arctgμ（μ是動摩擦的原因），稱為動摩擦角； 靜摩擦角。 一般處理為φm=φms。
3、引入總反力和摩擦角的意義：它使得物體所受力的分析和處理更加方便和簡單。
2. 隔離方法和整體方法
1、隔離法：當存在兩個或兩個以上的對象時，必須將它們一一分解，孤立出每個個體進行分析處理，稱為隔離法。
在處理隔離多項式之間的關系時，要注意相互斥力的大小和方向。
2、整體法：當每個個體處于平衡狀態時，我們可以忽略個體差異，將多個對象作為一個整體來進行分析和處理，稱為整體法。
在運用整體方法時，應注意“制度”、“內力”、“外力”的含義。
3. 申請
1、將物體放在水平面上，用與水平面成30°的力拉動，物體以勻速向前運動。 如果這個力的大小保持不變，如果改為沿水平方向拉動物體，物體仍然可以勻速向前移動。 求物體與水平面之間的動摩擦感應系數μ。
說明：這是一個可以展示解決摩擦角問題優越性的題目。 中學生會對不同解決方案的比較印象深刻。
方法一，正交分解。 （中學生分析力→列多項式→得出結果。）
第二種方法是利用摩擦角來解決問題。
引入總反力R，分析物體兩個平衡狀態的受力，然后進行矢量平移，得到圖18左圖和中圖（注：重力G不變，力的方向總反作用力R不同，F的大小不變），φm指摩擦角。
然后將兩幅圖像重疊，形成圖18下圖。因為紅色三角形是內角為30°的等邊三角形，所以其內角的角平分線必須垂直于斜邊...所以： φm= 15°。
最終，μ=tgφm。
答案：0.268。
（中學生活動）思考：如果F的大小可以選擇，那么能使物體保持勻速前進的最小F值是多少？
解：見圖18，下圖中實線的寬度為Fmin，所以，Fmin=Gsinφm。
答案：°（其中G是物體的重量）。
2、如圖19所示，將質量為m=5kg的物體放在粗糙的斜坡上，用平行于斜坡的F=30N的推力推動物體，使物體向下運動沿著斜坡勻速行駛，斜坡體仍然靜止。 設斜面質量M=10kg，夾角為30°，重力加速度g=10m/s2，求地面與斜面之間的摩擦力。
解釋：
本題致力于展示整體方法解決問題的優越性。
方法一、隔離法。 簡單的介紹...
第二種方法是整體方法。 注意，滑塊和斜面有相對運動，但從平衡的角度來說，它們是完全等價的，可以看作一個整體。
進行整體受力分析時，不考慮內力。 受力分析比較簡單，通過一系列水平平衡多項式很容易求解地面摩擦力。
答案：26.0N。
（中學生活動）地面對斜面的支撐力是多少？
解決方法：稍微。
答案：135N。
應用：如圖20所示，在光滑的水平地面上放置一個上表面粗糙的斜坡，斜坡的夾角為θ。 另一個質量為m的滑塊可以沿著斜坡勻速下降。 如果用推力F作用在滑塊上，使其沿斜面勻速向上滑動，且要求斜面靜止，則必須在斜面上施加P=θcosθ的水平推力。 使這個F的大小和方向滿足題意。
說明：這是一個困難的靜力學問題，可以使用所有可能的工具來解決該問題。
方法一：隔離法。
由第一種化學情況容易得到，斜面與滑塊的摩擦誘導μ=tgθ
對于第二種化學情況，將滑塊和斜面分離進行受力分析，將F沿斜面和垂直斜面分解為Fx和Fy。 滑塊與斜面之間的兩對相互斥力僅用兩個字母表示（N代表法向壓力和彈力，f代表摩擦力），如圖21所示。
對于滑塊，我們可以考察沿斜坡方向和垂直斜坡方向的平衡——
Fx=f+mgsinθ
Fy+mgcosθ=N
且 f=μN=Ntgθ
結合以上三個公式，我們得到：
Fx=Fytgθ+θ①
對于斜面，只看水平方向的平衡——
P=fcosθ+Nsinθ
即：θcosθ=μNcosθ+Nsinθ
代入μ值，一般得分為：Fy=mgcosθ②
②代入①可得：Fx=θ
最后通過F=
求解 F 的大小，通過 tgα=
求解 F 的方向（令 α 為 F 的傾角和斜率）。
答：大小為F=mg
，方向和傾斜角α=arctg(
) 指向斜坡的內側。
方法二：引入摩擦角和積分法的概念。
一直遵循“方法一”中F的方向設置（見圖21中的α角）。
首先看整體水平平衡，有：Fcos(θ-α)=P⑴
然后孤立滑塊，在分析受力時引入總反作用力R和摩擦角φ，因為簡化后只有三個力（R、mg和F），矢量可以平移形成三角形，如圖如圖 22 所示。
在圖22左側的矢量三角形中，有：
=
=
⑵
注： φ=arctgμ=arctg(tgθ)=θ⑶
解 ⑴ ⑵ ⑶ 即可得到 F 和 α 的值。