第一部分力與物體的平衡

第一講的處理

1.向量運(yùn)算

1. 添加

表達(dá)：

。

名詞：

對于“向量和”。

定律：平行四邊形定律。如圖1所示。

和向量大?。篶=

，其中 α 是

和

傾角。

和矢量方向：

存在

之間

傾斜角β=

2. 減法

表達(dá)：

。

名詞：

是“被減數(shù)向量”力的正交分解是什么量，

是“減數(shù)向量”，

是“差異向量”。

定律：三角形定律。如圖2所示，將被減數(shù)向量和減數(shù)向量的起始端平移到一點(diǎn)，然后將兩個時間量的端點(diǎn)連接起來，指向被減數(shù)時間量的時間量，即為差向量。

差異向量大?。篴=

力的正交分解是什么量，其中 θ 是

和

傾角。

利用余弦定理可以得到差向量的方向。

直線上的向量運(yùn)算是平行四邊形和三角形定律的特例。

例：假設(shè)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，直徑為R，周期為T，求

T 和在

T 中的平均加速度。

說明：如圖3所示，A點(diǎn)至B點(diǎn)對應(yīng)

T的過程對應(yīng)A點(diǎn)到C點(diǎn)

T的過程。這三點(diǎn)的速度向量分別設(shè)為

和

。

根據(jù)加速度的定義

必須：

由于涉及兩個向量加法，設(shè)兩個差向量

，根據(jù)三角形法則，畫出了圖3中它們的大小和方向（

“三角形”已被拉伸成一條直線）。

這個問題只關(guān)心每個向量的大小，即使：

，和：

所以：

力的正交分解是什么量_力的分解正交分解法_力正交分解的情況有哪些

。

（中學(xué)生活動）觀察思考：兩個加速度相等，勻速圓周運(yùn)動是勻速運(yùn)動嗎？

答案：否；它不是。

3. 乘法

向量加法有叉積和點(diǎn)積兩種，它們與代數(shù)加法有質(zhì)的不同。

⑴ 叉積

表達(dá)：

名詞：

稱為“向量的叉積”，它是一個新的向量。

叉積的大?。篶=absinα，其中 α 是

和

傾角。意義：

尺寸對應(yīng)于

和

所得平行四邊形的面積。

叉積方向：垂直

和

確定平面，并用左手螺旋定則確定方向，如圖4所示。

實(shí)際上，

≠

，但有：

⑵ 點(diǎn)乘法

表達(dá)：

名詞：c稱為“向量的點(diǎn)積”，它不再是向量，而是標(biāo)量。

點(diǎn)積的大?。篶=abcosα，其中α為

和

傾角。

2. 共點(diǎn)力的合成

1. 平行四邊形定律和向量表達(dá)

2.一般平行四邊形的合力和分力計算

正弦定律（或除以RtΔ）求解合力的大小

余弦定律解方向

3、力的分解

1.按療效分解

2.根據(jù)需要——正交分解

第2講物體的平衡

1.常見的力平衡

1.特點(diǎn)：剛體沒有加速度。

2、條件：Σ

=0，或

=0,

例：如圖5所示，用兩根輕繩水平懸掛一根長度為L、粗細(xì)不均勻的單杠。繩索與水平方向的傾斜角度標(biāo)注在圖中。找到桿的重心。

說明：利用同一點(diǎn)上的三個力的知識直接求解問題，幾何關(guān)系比較簡單。

答案：距桿上端 L/4。

（中學(xué)生活動）思考：將一個均質(zhì)長方體放在斜面上，根據(jù)實(shí)際情況分析受力，斜面的支撐力會通過長方體的重心嗎？

解：將各處的支撐力總結(jié)為一個N，則長方體上的三個力（G，f，N）必定在同一點(diǎn)，由此可推知N不能通過長方體的重心。正確的受力情況如圖6所示（一般受力圖是將受力物體視為一個點(diǎn)，此時N超出重心）。

答：不。

2、旋轉(zhuǎn)平衡

1、特點(diǎn)：物體沒有旋轉(zhuǎn)加速度。

2、條件：Σ

=0，或ΣM+=ΣM-

如果物體是靜止的，那么肯定會同時滿足兩個平衡，所以可以用兩種思維方式來解決問題。

3. 非共點(diǎn)力的合成

大小和方向：遵循直線矢量合成規(guī)則。

作用點(diǎn)：首先假設(shè)一個等效的作用點(diǎn)，然后讓所有平行力作用到該作用點(diǎn)的扭矩之和為零。

第三講課

1、如圖7所示，在一個傾斜角為α的固定斜面上，有一個可旋轉(zhuǎn)的夾板（β不定），夾板與斜面之間夾有一個質(zhì)量為m的光滑均質(zhì)球體。嘗試獲得： β 在任何值下，夾板對球施加的彈簧量最小。

說明：方法一，平行四邊形動態(tài)處理。

對球體進(jìn)行受力分析，然后將平行四邊形中的向量G和N1平移，使其形成三角形，如圖8左圖和中圖所示。

由于G的大小和方向不變，而N1的方向不可變，當(dāng)N2的方向因β的減小而改變時，N2的變化和N1的方向的變化如圖下圖所示8.

事實(shí)上，隨著β減小，N1單調(diào)減小，而N2的尺寸先減小后減小。當(dāng)N2垂直于N1時，N2取最小值，N2min=Gsinα。

方法二、函數(shù)法。

看圖 8 的中間圖片，使用該三角形的余弦定理，我們有：

，即：N2=

，β取0~180°之間的值，N2極值的討論很容易。

答：當(dāng)β=90°時，座艙彈力最小。

2、用水平推力F將一個重量為G的物體壓在垂直足夠高的墻上，F(xiàn)隨時間t的變化如圖9所示，物體的摩擦力從t=0開始力f如圖10所示？

說明：靜力學(xué)致力于解決靜態(tài)問題和準(zhǔn)靜態(tài)過程問題，但這道題是個例外。物體在垂直方向的運(yùn)動先加速后減速，平衡多項式不再適用。如何避免牛頓第二定理是本課題講授的難點(diǎn)。

靜力學(xué)的知識，這道題是區(qū)分兩種摩擦力的不同判據(jù)。

水平方向的合力為零，因此：支撐力N繼續(xù)減小。

當(dāng)物體運(yùn)動時，滑動摩擦力f=μN(yùn)必然不斷減小。但物體靜止后的靜摩擦力f'eqG與N無關(guān)。

分析運(yùn)動過程，物體必然有加速和減速兩個過程。根據(jù)數(shù)學(xué)常識，加速時f<G，減速時f>G。

答案：B。

3、如圖11所示，將一個重量為G的小球放在一個垂直放置的半徑為R的光滑環(huán)上，另一個輕彈簧，其剛度系數(shù)為k，自由寬度為L（L<2R ），一端固定在大環(huán)的頂點(diǎn)A，另一端與小球連接。當(dāng)環(huán)達(dá)到靜平衡時，它位于大環(huán)上的B點(diǎn)。求彈簧相對于垂直方向的傾斜角 θ。

說明：平行四邊形的三個向量總是可以轉(zhuǎn)化為三角形進(jìn)行討論。解三角形有三種典型的方法：①分成直角三角形（或本來是直角三角形）； ②利用正弦和余弦定律； ③ 使用力學(xué)習(xí)向量三角形類似于某個空間位置的三角形。本主題致力于實(shí)現(xiàn)第三種思維方式。

分析小球受力→矢量平移，如圖12所示，其中F代表彈簧力，N代表大環(huán)的支撐力。

（中學(xué)生活動）思考：圖12中支撐力N的方向可以相反嗎？（正交分解以查看水平平衡 - 不可能。）

很容易區(qū)分，圖中紅色矢量三角形與空間位置三角形ΔAOB類似，所以：

⑴

根據(jù)胡克定律：F=k(

-R) ⑵

幾何關(guān)系：

=2Rcosθ⑶

解上述三個方程。

回答：

力正交分解的情況有哪些_力的分解正交分解法_力的正交分解是什么量

。

（中學(xué)生活動）思考：如果把彈簧換成剛度系數(shù)k′更大的彈簧，其他條件不變，彈簧力會如何變化？環(huán)的支撐力如何變化？

答：減少；保持不變。

（中學(xué)生活動）反饋練習(xí)：將光滑的半球固定在水平面上，球中心O的正上方有一定的滑輪。一根輕繩穿過滑輪將一個小球從圖13所示的位置A拉到位置B。試判斷：這個過程中繩的拉力T和球面的支撐力N如何變化？

解決方法：和上面的完全一樣。

答案：T 變小，N 保持不變。

4、如圖14所示，先將一個直徑為R、重心不在O點(diǎn)的非均勻球體放置在水平地面上，平衡時球體上的A點(diǎn)與地面接觸; 然后將其放在地上。在一個夾角為30°的粗糙斜坡上，球面上的B點(diǎn)與斜坡平衡接觸，可知A到B的圓心角也是30°。求球體重心 C 到球心 O 的距離。

說明：練習(xí)在同一點(diǎn)應(yīng)用三種力。

根據(jù)平面上的平衡可知，重心C位于連線OA上。根據(jù)斜面上的平衡，支撐力和重力摩擦力在同一點(diǎn)，可以得出重心的具體位置。幾何估計相對簡單。

回答：

R。

（中學(xué)生活動）反饋練習(xí)：在靜摩擦力足夠的情況下，將長度為a、厚度為b的磚塊疊在角度為θ的斜坡上，最多可以疊多少塊磚？

解決方案：應(yīng)用三種力的知識。

回答：

。

4、兩條等長的細(xì)線，一端系在同一個懸掛點(diǎn)O上，另一端系在一個小球上。兩個球的質(zhì)量分別為m1和m2。眾所周知，兩個球之間存在大小相等、方向相反的效應(yīng)。力使兩條線以一定的角度伸展，分別為45°和30°，如圖15所示。那么m1:m2是多少？

說明：本題考察余弦定律或扭矩平衡來解決靜力學(xué)問題。

對兩個球進(jìn)行受力分析并進(jìn)行矢量平移，如圖16所示。

首先注意圖16中的紅色三角形是等邊三角形，兩個底角相等，設(shè)為α。

但兩球的相互作用力方向相反，大小相等，可用同一個字母表示，記為F。

將余弦定理應(yīng)用于右側(cè)的向量三角形，我們有：

①

同理，對于右邊的向量三角形，有：

②

求解兩個公式①和②。

答案：1：

。

（中學(xué)生活動）思考：還有其他辦法解決這個問題嗎？

答：是的——將模型視為兩個由光桿連接的小球，O點(diǎn)視為轉(zhuǎn)軸。兩個球的重力必須平衡 O 的扭矩。這些技術(shù)更直接、更容易。

應(yīng)用：如果原題中繩子的長度不相等，但l1:l2=3:2，其他條件不變，則m1與m2的比是多少？

解：這時候用共點(diǎn)力來平衡就越來越復(fù)雜了（多了一個余弦定律多項式），而用力矩來平衡就和“思考”差不多了。

答案：2：3

。

5、如圖17所示，直徑為R的均質(zhì)金屬球固定有一根長度為L的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的上端用鉸鏈與墻壁連接，木板放置在球下方。細(xì)桿完全水平，下面的木板光滑且水平。由于金屬球與木板之間存在摩擦力（已知摩擦誘因?yàn)棣蹋?，因此?dāng)將木板從球底部向右拉出時，至少需要F的水平拉力。請問：需要多大的水平推力才能繼續(xù)向左插入木板？

說明：這是一個典型的扭矩平衡示例。

以球和桿為物體，研究它們相對于旋轉(zhuǎn)軸O的旋轉(zhuǎn)平衡，設(shè)木板拉出時球上的摩擦力為f，支撐力為N，重力為G，扭矩平衡多項式為：

fR+N(R+L)=G(R+L)①

球與板一直相對滑動，故：f=μN(yùn)②

求解①②可得：f=

再看一下棋盤的平衡，F(xiàn)=f。

同理，當(dāng)板插入時，球與板之間的摩擦力為f′=

=F'。

回答：

。

第四講摩擦角及其他

1、摩擦角

1、總反作用力：接觸面上物體所受的摩擦力和支撐力的合力稱為總反作用力，通常用R表示，也稱為接觸反作用力。

2、摩擦角：總反力與支撐力之間的最大傾斜角稱為摩擦角，通常用φm表示。

此時，要么物體已經(jīng)滑動，則必然有： φm=arctgμ（μ是動摩擦的原因），稱為動摩擦角；靜摩擦角。一般處理為φm=φms。

3、引入總反力和摩擦角的意義：它使得物體所受力的分析和處理更加方便和簡單。

2. 隔離方法和整體方法

1、隔離法：當(dāng)存在兩個或兩個以上的對象時，必須將它們一一分解，孤立出每個個體進(jìn)行分析處理，稱為隔離法。

在處理隔離多項式之間的關(guān)系時，要注意相互斥力的大小和方向。

2、整體法：當(dāng)每個個體處于平衡狀態(tài)時，我們可以忽略個體差異，將多個對象作為一個整體來進(jìn)行分析和處理，稱為整體法。

在運(yùn)用整體方法時，應(yīng)注意“制度”、“內(nèi)力”、“外力”的含義。

3. 申請

1、將物體放在水平面上，用與水平面成30°的力拉動，物體以勻速向前運(yùn)動。如果這個力的大小保持不變，如果改為沿水平方向拉動物體，物體仍然可以勻速向前移動。求物體與水平面之間的動摩擦感應(yīng)系數(shù)μ。

說明：這是一個可以展示解決摩擦角問題優(yōu)越性的題目。中學(xué)生會對不同解決方案的比較印象深刻。

方法一，正交分解。（中學(xué)生分析力→列多項式→得出結(jié)果。）

第二種方法是利用摩擦角來解決問題。

引入總反力R，分析物體兩個平衡狀態(tài)的受力，然后進(jìn)行矢量平移，得到圖18左圖和中圖（注：重力G不變，力的方向總反作用力R不同，F(xiàn)的大小不變），φm指摩擦角。

然后將兩幅圖像重疊，形成圖18下圖。因?yàn)榧t色三角形是內(nèi)角為30°的等邊三角形，所以其內(nèi)角的角平分線必須垂直于斜邊...所以： φm= 15°。

最終，μ=tgφm。

答案：0.268。

（中學(xué)生活動）思考：如果F的大小可以選擇，那么能使物體保持勻速前進(jìn)的最小F值是多少？

解：見圖18，下圖中實(shí)線的寬度為Fmin，所以，F(xiàn)min=Gsinφm。

答案：°（其中G是物體的重量）。

2、如圖19所示，將質(zhì)量為m=5kg的物體放在粗糙的斜坡上，用平行于斜坡的F=30N的推力推動物體，使物體向下運(yùn)動沿著斜坡勻速行駛，斜坡體仍然靜止。設(shè)斜面質(zhì)量M=10kg，夾角為30°，重力加速度g=10m/s2，求地面與斜面之間的摩擦力。

解釋：

本題致力于展示整體方法解決問題的優(yōu)越性。

方法一、隔離法。簡單的介紹...

第二種方法是整體方法。注意，滑塊和斜面有相對運(yùn)動，但從平衡的角度來說，它們是完全等價的，可以看作一個整體。

進(jìn)行整體受力分析時，不考慮內(nèi)力。受力分析比較簡單，通過一系列水平平衡多項式很容易求解地面摩擦力。

答案：26.0N。

（中學(xué)生活動）地面對斜面的支撐力是多少？

解決方法：稍微。

答案：135N。

應(yīng)用：如圖20所示，在光滑的水平地面上放置一個上表面粗糙的斜坡，斜坡的夾角為θ。另一個質(zhì)量為m的滑塊可以沿著斜坡勻速下降。如果用推力F作用在滑塊上，使其沿斜面勻速向上滑動，且要求斜面靜止，則必須在斜面上施加P=θcosθ的水平推力。使這個F的大小和方向滿足題意。

說明：這是一個困難的靜力學(xué)問題，可以使用所有可能的工具來解決該問題。

方法一：隔離法。

由第一種化學(xué)情況容易得到，斜面與滑塊的摩擦誘導(dǎo)μ=tgθ

對于第二種化學(xué)情況，將滑塊和斜面分離進(jìn)行受力分析，將F沿斜面和垂直斜面分解為Fx和Fy。滑塊與斜面之間的兩對相互斥力僅用兩個字母表示（N代表法向壓力和彈力，f代表摩擦力），如圖21所示。

對于滑塊，我們可以考察沿斜坡方向和垂直斜坡方向的平衡——

Fx=f+mgsinθ

Fy+mgcosθ=N

且 f=μN(yùn)=Ntgθ

結(jié)合以上三個公式，我們得到：

Fx=Fytgθ+θ①

對于斜面，只看水平方向的平衡——

P=fcosθ+Nsinθ

即：θcosθ=μN(yùn)cosθ+Nsinθ

代入μ值，一般得分為：Fy=mgcosθ②

②代入①可得：Fx=θ

最后通過F=

求解 F 的大小，通過 tgα=

求解 F 的方向（令 α 為 F 的傾角和斜率）。

答：大小為F=mg

，方向和傾斜角α=arctg(

) 指向斜坡的內(nèi)側(cè)。

方法二：引入摩擦角和積分法的概念。

一直遵循“方法一”中F的方向設(shè)置（見圖21中的α角）。

首先看整體水平平衡，有：Fcos(θ-α)=P⑴

然后孤立滑塊，在分析受力時引入總反作用力R和摩擦角φ，因?yàn)楹喕笾挥腥齻€力（R、mg和F），矢量可以平移形成三角形，如圖如圖 22 所示。

在圖22左側(cè)的矢量三角形中，有：

⑵

注： φ=arctgμ=arctg(tgθ)=θ⑶

解 ⑴ ⑵ ⑶ 即可得到 F 和 α 的值。

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（知識點(diǎn)）高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識：力＆物體的平衡

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