本文是在主成分分析（PCA）原理的解讀基礎(chǔ)上添加一些自己的理解。
一、相關(guān)背景
在很多領(lǐng)域的研究和應(yīng)用中，一般需要觀察豐富的多變量數(shù)據(jù)，收集大量的數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析，尋找規(guī)律。 多元大數(shù)據(jù)集無(wú)疑將為研究和應(yīng)用提供豐富的信息，也在一定程度上減少數(shù)據(jù)采集的工作量。 更重要的是，很多情況下，很多變量之間可能存在相關(guān)性，從而降低了問(wèn)題分析的復(fù)雜度。 如果對(duì)每個(gè)指標(biāo)單獨(dú)進(jìn)行分析，分析往往是孤立的，不能完全依賴數(shù)據(jù)中的信息。 因此，盲目降低指標(biāo)會(huì)丟失很多有用的信息，進(jìn)而形成錯(cuò)誤的推論。
因此，需要找到一種合理的方法，在減少需要分析的指標(biāo)的同時(shí)，盡量減少原始指標(biāo)所包含信息的損失，從而達(dá)到對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析的目的。 由于變量之間存在一定的相關(guān)性，因此可以考慮將密切相關(guān)的變量分成盡可能少的新變量，使這些新變量成對(duì)不相關(guān)，這樣就可以用更少的綜合指標(biāo)來(lái)區(qū)分代表每個(gè)變量中存在的各種信息。 主成分分析和因子分析就屬于這種聚類(lèi)算法。
2. 數(shù)據(jù)聚類(lèi)
聚類(lèi)是一種預(yù)處理高維特征數(shù)據(jù)的方法。 聚類(lèi)就是保留高維數(shù)據(jù)中一些最重要的特征并消除噪聲和不重要的特征，從而節(jié)省大量的時(shí)間和成本。 在實(shí)際生產(chǎn)和應(yīng)用中，在一定的信息丟失范圍內(nèi)，聚類(lèi)可以為我們節(jié)省大量的時(shí)間和成本。 聚類(lèi)也成為一種非常廣泛使用的數(shù)據(jù)預(yù)處理技術(shù)。
集群有一些優(yōu)點(diǎn)：
1）使數(shù)據(jù)集更易于使用。
2）增加算法的預(yù)估成本。
3）消除噪音。
4）使結(jié)果易于理解。
聚類(lèi)算法有很多種，如奇異值分解（SVD）、主成分分析（PCA）、因子分析（FA）、獨(dú)立成分分析（ICA）等。
3. PCA原理解讀 3.1 PCA的概念
PCA()，即主成分分析，是最廣泛使用的數(shù)據(jù)聚類(lèi)算法之一。 PCA的主要思想是將n維特征映射到k維。 這個(gè)k維就是一個(gè)新的正交特征，也稱為主成分，是在原來(lái)的n維特征的基礎(chǔ)上重構(gòu)的k維特征。 PCA的工作是從原始空間中依次找到一組相互正交的坐標(biāo)軸，新坐標(biāo)軸的選擇與數(shù)據(jù)本身密切相關(guān)。 其中，第一個(gè)新坐標(biāo)軸選擇為原始數(shù)據(jù)中殘差最大的方向，第二個(gè)新坐標(biāo)軸選擇為在與第一個(gè)坐標(biāo)軸正交的平面內(nèi)推動(dòng)殘差最大的方向，第三個(gè)新坐標(biāo)軸選擇為在與第一個(gè)坐標(biāo)軸正交的平面內(nèi)推動(dòng)殘差最大的方向。 axis 它是與第 1 軸和第 2 軸正交的平面中的最大殘差。 以此類(lèi)推力的正交分解是什么量，可得到n個(gè)這樣的坐標(biāo)軸。 通過(guò)這些方法得到的新坐標(biāo)軸，我們發(fā)現(xiàn)大部分殘差都包含在上面的k個(gè)坐標(biāo)軸??中，而之前的坐標(biāo)軸中包含的殘差幾乎為0。因此，我們可以忽略剩余的坐標(biāo)軸，并且只保留富含大部分殘差的上k個(gè)坐標(biāo)軸??。 實(shí)際上，這相當(dāng)于只保留包含殘差最多的維度的特征，而忽略包含殘差幾乎為0的特征維度，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)特征的聚類(lèi)處理。
思考：如何得到這個(gè)包含最大差異的主成分方向？
答：其實(shí)就是通過(guò)估計(jì)數(shù)據(jù)矩陣的共殘差矩陣，得到共殘差矩陣的特征值特征向量，特征最大的k個(gè)特征對(duì)應(yīng)的特征向量組成的矩陣選擇值（即最大殘差）。 這樣就可以將數(shù)據(jù)矩陣變換到新的空間，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)特征的聚類(lèi)。 （為什么特征值最大的方向就是殘差最大的方向。n維特征空間中的樣本分布在不規(guī)則區(qū)域，用k維正交單位向量來(lái)表示。特征值*特征向量是k維空間中能夠表示的面積，所以特征值越大，表示的面積越大，對(duì)應(yīng)的樣本在這個(gè)方向上越分散，殘差也越大。參考：）
由于獲取共殘差矩陣的特征值特征向量有兩種方式：特征值分解共殘差矩陣、奇異值分解共殘差矩陣，因此PCA算法的實(shí)現(xiàn)方式有兩種：基于特征值分解共殘差矩陣實(shí)現(xiàn)PCA算法，PCA算法基于SVD分解共殘差矩陣。
既然提到了協(xié)殘差矩陣，我們就簡(jiǎn)單介紹一下殘差和協(xié)殘差的關(guān)系。 然后簡(jiǎn)單介紹了特征值分解矩陣的原理和奇異值分解矩陣的原理。 大致介紹是因?yàn)槲以谥暗奈恼隆毒仃嚪纸猓禾卣髦捣纸猓‥VD）、奇異值分解（SVD）中已經(jīng)介紹過(guò)特征值分解原理和奇異值分解原理，所以這里不再重復(fù)。
3.2 核殘差和散點(diǎn)矩陣
樣本平均值：
樣本殘差：
樣本 X：[10,15,23,11,42,9,11,8,11,21] 樣本 Y：[15,46,21,9,45,48,21,5,12,20] Co -（注意這里的樣本實(shí)際上是指數(shù)據(jù)集的特征）：
從前面的公式，我們可以得到以下推論：
（1）殘差的估計(jì)公式是基于一維特征，即對(duì)相同特征的不同樣本的值進(jìn)行估計(jì)； 而共殘差必須至少滿足二維特征； 殘差是共同殘差的特殊情況。
(2)殘差和共殘差的除數(shù)為n-1，即得到殘差和共殘差的無(wú)偏可能性。
當(dāng)共殘差為正時(shí)，表示X和Y呈正相關(guān)； 當(dāng)共同殘差為負(fù)時(shí)，表示X和Y負(fù)相關(guān)； 當(dāng)co-為0時(shí)，表示X和Y相互獨(dú)立。 Cov(X,X)是X的殘差。當(dāng)樣本是n維數(shù)據(jù)時(shí)，它們的共殘差實(shí)際上是一個(gè)共殘差矩陣（對(duì)稱方陣）。 例如，對(duì)于3維數(shù)據(jù)(x,y,z)（每個(gè)樣本有三列特征x,y,z，共n個(gè)樣本），估計(jì)的共同殘差為：
散布矩陣定義為：
數(shù)據(jù) X 的散布矩陣為 。 雖然共殘差矩陣和散布矩陣密切相關(guān)，但散布矩陣是共殘差矩陣除以（總數(shù)據(jù)量-1）。 因此它們的特征值和特征向量是相同的。 這里值得注意的是，散布矩陣是SVD奇異值分解中的一個(gè)步驟，因此PCA和SVD密切相關(guān)。
3.3 特征值分解矩陣原理
(1) 特征值和特征向量
如果向量v是矩陣A的特征向量，則它必須用以下方式表示：
其中，λ是特征向量v對(duì)應(yīng)的特征值，矩陣的一組特征向量就是一組正交向量。
(2)特征值分解矩陣
對(duì)于矩陣A，有一組特征向量v，對(duì)這組向量進(jìn)行正交化和單位化，得到一組正的電匯向量。 特征值分解就是將矩陣A分解為如下公式：
其中，Q為矩陣A的特征向量組成的矩陣，為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素為特征值。
這部分的詳細(xì)內(nèi)容可以看我的文章《機(jī)器學(xué)習(xí)中的SVD總結(jié)》，地址：機(jī)器學(xué)習(xí)中的SVD總結(jié)
3.4 SVD分解矩陣原理
奇異值分解是一種可以應(yīng)用于任何矩陣的分解方法。 對(duì)于任何矩陣 A，總是存在奇異值分解：
假設(shè)A是一個(gè)m*n矩陣，則得到的U是一個(gè)m*m方陣，U上面的正交向量稱為左奇異向量。 Σ 是一個(gè) m*n 矩陣。 不僅Σ對(duì)角線上的其他元素都為0，而且對(duì)角線上的元素稱為奇異值。 是v的轉(zhuǎn)置矩陣，是一個(gè)n*n矩陣，其上的正交向量稱為右奇異值向量。 而且一般來(lái)說(shuō)，我們會(huì)將Σ上的值按降序排列。
SVD分解矩陣A的步驟：
(1)求
的特征值和特征向量，使用單位化特征向量形成U。
(2)尋求
的特征值和特征向量，使用單位化特征向量形成V。
(3) 遺囑
或者
然后將特征值的平方根形成Σ。
3.5 PCA算法的兩種實(shí)現(xiàn)
(1)實(shí)現(xiàn)基于特征值分解共殘差矩陣的PCA算法
輸入：數(shù)據(jù)集
，需要降維到k維。
1）去平均（即去中心化），即將每個(gè)特征除以各自的平均值。
2）估計(jì)共殘差矩陣
，注：這里，樣本數(shù)n或n-1劃分與否，雖然對(duì)得到的特征向量沒(méi)有影響。
3）通過(guò)特征值分解的方式求出共殘差矩陣的特征值和特征向量。
4）將特征值從大到小排序力的正交分解是什么量，選擇其中最大的k。 然后，將對(duì)應(yīng)的k個(gè)特征向量作為行向量，構(gòu)成特征向量矩陣P。
5) 將數(shù)據(jù)變換到由k個(gè)特征向量建立的新空間中，即Y=PX。
總結(jié)：
1）關(guān)于為什么使用這部分
，其中富含非常復(fù)雜的線性代數(shù)理論推論。 如果你想了解詳情，可以閱讀下面的文章。
-PCA的物理原理
2）關(guān)于矩陣為什么要用特征值來(lái)分解，是因?yàn)?span style="display:none">bca物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
它是一個(gè)方陣，可以很容易求出特征值和特征向量。 事實(shí)上，也可以使用奇異值分解，這是求特征值和特征向量的另一種方法。
作為一個(gè)反例：
以X為例，我們使用PCA將這兩行數(shù)據(jù)縮減為一行。
1）由于X矩陣的每一行已經(jīng)是零均值，所以不需要去均值。
2）求共殘差矩陣：
3）求出共殘差矩陣的特征值和特征向量。
求解后的特征值為：
對(duì)應(yīng)的特征向量為：
相應(yīng)的特征向量是通解，可以取任意實(shí)數(shù)。 經(jīng)過(guò)這樣的歸一化后的特征向量為：
4）矩陣P為：
5) 最后，我們將 P 的第一行除以數(shù)據(jù)矩陣 X 以獲得聚類(lèi)表示：
結(jié)果如圖1所示：
圖 1：Data X 聚類(lèi)投影結(jié)果
注意：如果我們用特征值分解共殘差矩陣，那么我們只能得到一個(gè)方向的PCA聚類(lèi)。 該方向是從行（或列）方向?qū)?shù)據(jù)矩陣X進(jìn)行壓縮和聚類(lèi)。
(2)基于SVD分解共殘差矩陣實(shí)現(xiàn)PCA算法
輸入：數(shù)據(jù)集
，需要降維到k維。
1）去平均值，即將每一位特征除以各自的平均值。
2) 估計(jì)共殘差矩陣。
3）通過(guò)SVD估計(jì)共殘差矩陣的特征值和特征向量。
4）將特征值從大到小排序，選擇其中最大的k。 然后，將對(duì)應(yīng)的k個(gè)特征向量作為列向量，構(gòu)成特征向量矩陣。
5）將數(shù)據(jù)變換到由k個(gè)特征向量創(chuàng)建的新空間中。
在PCA聚類(lèi)中，我們需要找到樣本共殘差矩陣
最大的k個(gè)特征向量，然后利用最大的k個(gè)特征向量組成的矩陣做低維投影聚類(lèi)。可見(jiàn)，在這個(gè)過(guò)程中，需要找到共殘差矩陣
，當(dāng)樣本數(shù)量很多，樣本特征數(shù)量很多的時(shí)候，這個(gè)估計(jì)還是很大的。 當(dāng)我們使用SVD分解共殘差矩陣時(shí)，SVD有兩個(gè)好處：
(1) 有一些SVD實(shí)現(xiàn)算法不需要求共殘差矩陣
還可以找到我們正確的奇異矩陣V。換句話說(shuō)，我們的PCA算法可以通過(guò)SVD而不是特征分解來(lái)完成，這在樣本量很大時(shí)非常有效。 事實(shí)上，-learn 的 PCA 算法背后的真正實(shí)現(xiàn)是使用 SVD 而不是特征值分解。
(2) 請(qǐng)注意，PCA 僅使用我們的 SVD 的左奇異矩陣，而不使用右奇異值矩陣。 右奇異值矩陣有什么用？
假設(shè)我們的樣本是一個(gè)m*n的矩陣X，如果我們通過(guò)SVD求出該矩陣
由最大的k個(gè)特征向量組成的k*n矩陣
，那么我們可以執(zhí)行以下操作：
可以得到m*k的矩陣X'。 與我們?cè)瓉?lái)的m*n矩陣X相比，列數(shù)從n減少到k。 可以看出列數(shù)被壓縮了。 也就是說(shuō)，左奇異矩陣可以用來(lái)壓縮行數(shù)； 右奇異矩陣可用于壓縮列（即特征維數(shù)）。 這就是為什么我們使用SVD分解共殘差矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)PCA以獲得兩個(gè)方向（即行和列方向）的PCA聚類(lèi)。
4.主成分分析示例
(1)PCA的實(shí)現(xiàn)：
##Python實(shí)現(xiàn)PCA
import numpy as np
def pca(X,k):#k is the components you want
#mean of each feature
n_samples, n_features = X.shape
mean=np.array([np.mean(X[:,i]) for i in range(n_features)])
#normalization
norm_X=X-mean
#scatter matrix
scatter_matrix=np.dot(np.transpose(norm_X),norm_X)
#Calculate the eigenvectors and eigenvalues
eig_val, eig_vec = np.linalg.eig(scatter_matrix)
eig_pairs = [(np.abs(eig_val[i]), eig_vec[:,i]) for i in range(n_features)]
# sort eig_vec based on eig_val from highest to lowest
eig_pairs.sort(reverse=True)
# select the top k eig_vec
feature=np.array([ele[1] for ele in eig_pairs[:k]])
#get new data
data=np.dot(norm_X,np.transpose(feature))
return data
X = np.array([[-1, 1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]])
print(pca(X,1))里面的代碼實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)據(jù)X的特征進(jìn)行聚類(lèi)，結(jié)果如下：
(2)將PCA與我們的PCA進(jìn)行比較：
##用sklearn的PCA
from sklearn.decomposition import PCA
import numpy as np
X = np.array([[-1, 1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]])
pca=PCA(n_components=1)pca.fit(X)
print(pca.transform(X))結(jié)果如下：
工作了半天，結(jié)果卻不一樣！ 我們來(lái)剖析一下吧！
中的PCA由函數(shù)實(shí)現(xiàn)，對(duì)奇異值分解結(jié)果進(jìn)行處理。 由于ui*σi*vi=(-ui)*σi*(-vi)，即u和v同時(shí)求逆得到的結(jié)果是相同的，而這會(huì)導(dǎo)致PCA聚類(lèi)得到的結(jié)果不同（雖然兩者都是正確的）。 具體可以參考參考文章9或者自己分析PCA的源碼。
5. PCA的理論推導(dǎo)
PCA有兩種容易理解的解釋?zhuān)海?）最大方差理論； (2)最小化聚類(lèi)帶來(lái)的損失。 兩種方法都會(huì)產(chǎn)生相同的結(jié)果。
這里我只介紹最大方差理論：
在信號(hào)處理中，認(rèn)為信號(hào)有較大的殘差，而噪聲有較小的殘差。 幀率是信號(hào)與噪聲的殘差比，越大越好。 樣本在u1上的投影殘差較大，而在u2上的投影殘差較小，因此可以認(rèn)為在u2上的投影是由噪聲引起的。
為此，我們覺(jué)得最好的k維特征是n維樣本點(diǎn)轉(zhuǎn)為k維后，每個(gè)維度的樣本殘差都很大。
例如，我們將右圖中的5個(gè)點(diǎn)投影到某個(gè)維度上，用一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線來(lái)表示（數(shù)據(jù)已經(jīng)居中）：
假設(shè)我們選擇兩條不同的直線進(jìn)行投影，那么左右哪一條更好呢？ 根據(jù)我們之前的殘差最大化理論，右邊那個(gè)是好的，因?yàn)橥队暗臉颖军c(diǎn)之間的殘差是最大的（也可以說(shuō)投影的絕對(duì)值之和是最大的）。
估計(jì)投影的方法如右圖所示：
圖中，黑點(diǎn)代表樣本，白點(diǎn)代表在u上的投影，其中u是直線的斜率和直線的方向向量，是單位向量。 黑點(diǎn)是在u上的投影點(diǎn)，到原點(diǎn)的距離是（即或那么）。
6、選擇聚類(lèi)后的維度K（主成分個(gè)數(shù)）
主成分個(gè)數(shù)K如何選擇？ 首先定義兩個(gè)概念：
選擇不同的K值，然后利用下面的多項(xiàng)式不斷估計(jì)，選出能夠滿足下面多項(xiàng)式條件的最小K值。
t值可以自己確定，例如t值為0.01，說(shuō)明PCA算法保留了99%的主要信息。 當(dāng)你認(rèn)為偏差需要更小時(shí)，可以將t值設(shè)置得小一些。 上式也可以用SVD分解時(shí)形成的S矩陣來(lái)表示，例如下面的多項(xiàng)式：
:
（一）主成分分析（PCA）原理解讀
(2)機(jī)器學(xué)習(xí)之PCA主成分分析-steed灬-博客園
（3）簡(jiǎn)單易學(xué)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法——主成分分析（PCA）
(4)PCA在機(jī)器學(xué)習(xí)實(shí)戰(zhàn)中的應(yīng)用
(5)機(jī)器學(xué)習(xí)中的物理學(xué)(5)-強(qiáng)大的矩陣奇異值分解(SVD)及其應(yīng)用--博客園
(6) PCA與SVD關(guān)系的補(bǔ)充
(7)-PCA的物理原理
(8)PCA(主成分分析)實(shí)現(xiàn)
（九）主成分分析PCA（）在部分源碼中的應(yīng)用與分析