平行板電容器之間的電位云圖
跟隨的多化學(xué)場仿真百科與靜電學(xué)案例，
學(xué)習(xí)一下最簡單的靜電學(xué)數(shù)學(xué)場
作者|畢小喵
之前我曾在以及多個地方提及過，在軟件中，所有的數(shù)學(xué)場都被實(shí)現(xiàn)在一個統(tǒng)一的用戶界面下。因而當(dāng)你把握了的基礎(chǔ)軟件操作之后，它很適宜拿來學(xué)習(xí)其他化學(xué)場。
尤其是，官方還提供了圖文并茂的多化學(xué)場仿真百科。
口說無憑，這篇文章一直是一篇學(xué)習(xí)筆記。我們這就來跟隨的多化學(xué)場仿真百科和案例庫，一起入門學(xué)習(xí)一下電磁學(xué)。
我曉得我很菜，我是個外行，電磁學(xué)有正經(jīng)的學(xué)院課程來教。雖然我的本行是學(xué)固體熱學(xué)的。我如此菜肯定難免有弄錯的地方，所以歡迎強(qiáng)調(diào)我的錯誤。但若果覺得不留神被我蠢到了……那只得煩請讀者多多擔(dān)待。
控制多項(xiàng)式和場變量
對于一個陌生的數(shù)學(xué)場，首先要了解的是它最主要的場變量有什么，以及那些變量之間有啥關(guān)系，也就是控制多項(xiàng)式。
其實(shí)我們目前還完全看不懂，但，先跟隨的百科，把這種控制多項(xiàng)式列下來：
麥克斯韋等式組的微分方式
這老些字母我們一個都不認(rèn)識。但不管怎樣樣，我們曉得倒三角符號?（不曉得字庫里有沒有它），這東西讀作nabla，可以簡單理解為求偏導(dǎo)的操作。跟nabla做點(diǎn)乘和叉乘，分別代表散度和旋度。（高等物理里學(xué)過的，還記得嗎？是不是覺得都還給老師了？）方程左邊有兩個對時間的偏導(dǎo)，所以……這四個多項(xiàng)式，就分別描述了H、E、D、B這四個化學(xué)量，隨空間和時間的變化規(guī)律。
這四個化學(xué)量分別指哪些呢？
哦。好的。只是用一組陌生的漢字給那些陌生的字母起了名子而已。我們?nèi)缃褚廊徊荒軠?zhǔn)確地曉得它們各自都是哪些。從名子大約能看下來，電場E、電位移場D兩個變量和電有關(guān)，磁場H、磁通量B兩個變量和磁有關(guān)。
電磁學(xué)的各類特殊情況
在實(shí)際應(yīng)用中，我們極少須要考慮可能發(fā)生的所有電磁現(xiàn)象。相反，我們常常是通過剖析各類特殊情況來獲取對電磁學(xué)更實(shí)際的理解，其中包括靜電、恒定電壓、靜磁、準(zhǔn)靜態(tài)交流電、電感現(xiàn)象、微波工程和光學(xué)。
電磁學(xué)簡介
很有道理，接出來我們應(yīng)當(dāng)從如此幾種特殊情況入手，來漸漸理解電磁學(xué)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。
所以，主要有哪幾種特殊情況呢？
XMind制圖。不用幕布是由于須要一側(cè)那種箭頭和括弧。
信息來自多化學(xué)場仿真百科。
靜電學(xué)-平行板電容器
直接看靜電學(xué)的多項(xiàng)式看不太懂，我們就結(jié)合著仿真案例來看。
首先，關(guān)于電磁學(xué)的數(shù)學(xué)場，在AC/DC模塊下。和前面思維導(dǎo)圖一樣，有電場電壓、磁場、電磁場、電磁熱、電磁力等分類。
在案例庫中可以找到最簡單的案例。打開跟隨這個案例，了解一下靜電場仿真剖析的相關(guān)知識。
首先，它的幾何模型是幾個圓錐體。上下兩個方形平板組成電容器，外邊一圈代表整個空間。圖中隱藏了幾個面，便于認(rèn)清內(nèi)部結(jié)構(gòu)：
材料部份，其他區(qū)域?yàn)榭諝猓瑑蓚€平行板之間為玻璃Glass。是哪些材料不重要，重要的是瞧瞧須要哪些材料參數(shù)。
可以看見大學(xué)物理電學(xué)思維導(dǎo)圖，只有一個相對介電常數(shù)，是有效材料參數(shù)。換句話說，做靜電場剖析，材料本構(gòu)只須要這樣一個常數(shù)。
化學(xué)場，這兒用的是靜電，。它的因變量是電勢，V。
好，先不往下看了。到這兒大學(xué)物理電學(xué)思維導(dǎo)圖，我們來學(xué)習(xí)一下靜電學(xué)的控制多項(xiàng)式。它的因變量為何是電勢V，以及它為何須要相對介電常數(shù)作為材料參數(shù)。
靜電學(xué)-控制多項(xiàng)式
自由空間中的靜電
空間中的電場，是一個矢量場。電場E是加粗的矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)。
自由空間中的電荷密度為rho，它與電場的關(guān)系式為：
注意，這兒面兩側(cè)的電場E是一個矢量場。nabla算子對矢量做點(diǎn)乘，是求矢量的散度，將得到一個標(biāo)量場。所以方程右邊是標(biāo)量。
分子rho是電荷密度，分母就是介電常數(shù)了。但這個還不是前面材料參數(shù)上面的相對介電系數(shù)，它是一個自然界的化學(xué)學(xué)常數(shù)，叫自由空間的介電常數(shù)。
只有這樣雖然還不夠，但我們能夠依稀記得學(xué)院化學(xué)課上曾講過，電場是一個無旋場：
按照旋度的定義，電場無旋意味著繞電場內(nèi)任何一個閉合路徑走一圈，電場向量在閉合路徑上的支路積分都為零。換句話說，一個（微小到不足以影響電場的點(diǎn)電荷）從空間內(nèi)的一個點(diǎn)出發(fā)，隨意走一圈回到起點(diǎn)，電場對它做的功都為零。
既然這樣，無旋場就可以定義一個標(biāo)量作為電勢。（減號是傳統(tǒng)約定）
（雖然就是說，所有的無旋場都可以這樣定義一個標(biāo)量勢。雖然重力場也可以如此定義重力勢，只不過在地表，單純向上的重力場太稀松平時了）
平行板電容器案例-畫出的電場E矢量圖
對應(yīng)截面上的電勢V。由于是標(biāo)量，所以能畫出云圖。
二維繪圖組，還可以搞個等值線。
兩個多項(xiàng)式結(jié)合來看，由于電場無旋，所以對于所有標(biāo)量方式的電勢場，它的梯度肯定也是無旋的。（屁話
）
所以，我們曉得，只須要求解一個標(biāo)量方式的電勢場變量，才能得到整個區(qū)域內(nèi)的電場分布。整個問題的控制多項(xiàng)式就只須要：
如今厘清楚了矢量場電場E和標(biāo)量場電勢場V，但還沒搞懂材料本構(gòu)關(guān)系里的那種相對介電系數(shù)是哪些。里面多項(xiàng)式里的它雖然是化學(xué)學(xué)常數(shù)，不是隨材料變化的。
電介質(zhì)材料中的靜電
百科里，寫了這樣一段話：
其實(shí)，就是真空中的電場和一些材料中的電場分布不太一樣。例如空氣就是一種電介質(zhì)，玻璃又是另一種電介質(zhì)對吧。為了描述電介質(zhì)中的電場分布，還得引入兩個新的場變量。一個矢量場極化矢量P，一個標(biāo)量場極化電荷密度rho_p。
先別忙著記筆記，這倆變量太麻煩了，一會兒就把它們殺死。
誒，這又是E又是P的，太麻煩。我們把它定義成一個新的基本量吧。就叫它電位移場D。
這樣，靜電多項(xiàng)式就簡約了：
進(jìn)一步，假定線性電介質(zhì)材料（類比固體熱學(xué)中的線彈性材料），這是靜電學(xué)中最簡單的本構(gòu)關(guān)系，D和E之間差一個相對介電常數(shù)。
因而有：
這就是我們在界面上看見的相對介電常數(shù)在控制多項(xiàng)式里的作用。它確實(shí)出現(xiàn)在本構(gòu)關(guān)系里。
放大來張?zhí)貙憽?span style="display:none">2x9物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
平行板電容器案例-邊界條件與結(jié)果
剛剛我們簡單講過了這個案例設(shè)置的幾何與材料。它的邊界條件同樣很簡單：外表面零電荷條件。兩塊平行板，兩側(cè)板電勢（電流）為1V，下頂蓋接地，電流為零。
這樣就可以了。穩(wěn)態(tài)求解器，沒啥可改的。求解結(jié)束就可以畫云圖啦。
綠色是電場E的矢量圖，白色是電位移場D的矢量圖。
相對介電常數(shù)乘起來還是很不一樣的哈~