* 第 5 章 粒子（系統(tǒng)）角動量守恒定律 5.1 粒子系統(tǒng)角動量定理 5.2 粒子系統(tǒng)角動量定理 5.3 角動量守恒定律* 在自然界中，我們經(jīng)常會遇到圍繞著一個粒子的粒子。某個中心。 運行條件。 例如行星繞太陽公轉(zhuǎn)、人造衛(wèi)星繞地球自轉(zhuǎn)、電子繞原子核自轉(zhuǎn)、剛體自轉(zhuǎn)等。在這些問題中，動量定理及其守恒定律可能并不適用。 這種情況下，用角動量的概念來討論問題會更方便。 角動量也是一個重要的概念。 □ * 對于勻速直線運動的質(zhì)點，可以用動量或角動量的概念來描述。 假設(shè)粒子沿AB 方向勻速直線運動。 在相等的時間間隔Δt內(nèi)，行駛的距離ΔS=vΔt是相同的。 由于每個三角形都有一條共同的高度線 OH =d，因此表面掠射速度相等。 于是有：選擇O為原點，將位置向量從O引導(dǎo)到粒子。 單位時間內(nèi)掃過的面積稱為表面掠射速度。 d 5.1 質(zhì)點角動量定理-質(zhì)點角動量* 由上式可得： 寫成矢量公式： 稱為質(zhì)點（關(guān)于O點）的角動量。 相對于固定點沿均勻直線運動的質(zhì)點的角動量是恒定的。 * 讓我們看一下精神力場的簡單情況。
質(zhì)點在向心力的作用下做勻速圓周運動。 此時，由于速度方向不斷變化，動量不守恒。 但粒子的位置矢量和動量的矢量積是一個常數(shù)矢量，其方向始終垂直于紙的外側(cè)。 它是質(zhì)點（關(guān)于O點）的角動量，其大小為，顯然，位置矢量的掠面速度vr/2在圓周上的所有點處都相等。 繞圓心做勻速圓周運動的質(zhì)點的角動量是恒定的。 * 從上面兩個例子可以看出，動量守恒只適用于沿均勻直線運動的粒子，而不適用于沿中心力場運動的粒子。 但在這兩種情況下，位置矢量相對于某一點O的掠面速度是相等的，并且有相應(yīng)的守恒量，即角動量。 因此我們引入角動量的概念。 角動量的概念與線動量類似，但它是描述粒子繞固定參考點旋轉(zhuǎn)狀態(tài)的物理量。 角動量有時也稱為動量矩。 □ * θ 0 （矢量）的大小為： 和 之間的角度為θ，方向： 由 和 根據(jù)右手螺旋定則確定。 角動量的定義：角動量是一個狀態(tài)量； 它是描述粒子相對于固定點的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)的物理量。 * 關(guān)于角動量 ① 角動量與位置矢量有關(guān)，位置矢量與參考點有關(guān)。 當(dāng)談?wù)摻莿恿繒r什么時候角動量守恒，必須指定它所指的是哪個參考點。 ②粒子作圓周運動時，θ=π/2。 角動量的大小為： 當(dāng)質(zhì)點在一般平面上運動時，角動量為： 討論* ③在笛卡爾坐標(biāo)系中，角動量在各坐標(biāo)軸上的分量為： ④ 角動量的單位為：公斤 ？ m2/s * 示例 1：沿直線運動的質(zhì)點的角動量。
解決方案：粒子位置矢量的方向發(fā)生了變化——旋轉(zhuǎn)。 廣義自轉(zhuǎn)：**地球公轉(zhuǎn)（圓形軌道）的角動量。 解： 例2：地球的軌道半徑就是它的質(zhì)量。 因此可以得出，它繞太陽的角速率就是地球每年自轉(zhuǎn)一周，因此地球繞太陽公轉(zhuǎn)的角動量為*嫦娥二號衛(wèi)星飛行路徑*嫦娥二號衛(wèi)星質(zhì)量為2480公斤，繞月圓軌道高100公里，周期118分鐘。 月球直徑約為3476公里，質(zhì)量約為7.349×1022千克。 測得嫦娥二號衛(wèi)星繞月旋轉(zhuǎn)的角動量為7.4351×1012 kg·m2/s。 %嫦娥二號衛(wèi)星質(zhì)量kg·m=2480； %繞月圓軌道高度km h=100； %月球軌道周期T=118； % 月球直徑約公里 D=3476； % 月球角速度 rad/sw = 2 *pi / (T * 60); % 繞月球旋轉(zhuǎn)的角動量 kg?m2/s L = m*((D/2+100)*10^3)??^2 * w; L = 7.4351×1012 解： w = 8.8746×10-4 rad/s * 類比粒子的動量定理，考察粒子角動量的變化率： 那么旋轉(zhuǎn)狀態(tài)變化的原因是由于力矩的影響： 設(shè) ─ 兩個粒子的角動量定理* 力矩和角動量必須大約位于同一固定點。
比較——角動量定理的微分形式與動量定理在形式和結(jié)構(gòu)上是一致的。 ——角動量定理、沖激矩和沖激粒子上的合力矩的積分形式等于其角動量相對于時間的變化率。 粒子角動量的增加等于作用在粒子上的沖量。 * 0，其中 θ 是固定點上角力力矩的大小什么時候角動量守恒，等于該力與力臂的乘積。 三個力矩 * 下落運動中粒子相對于同一參考點的角動量和力矩。 問題：企鵝從A點自由落體運動時，O點的角動量是多少？ * — 力偶力矩是一對大小相等、方向相反的力作用于對稱中心的力矩。 解： 例3： * ③向心力作用于力心的力矩為零。 ②在笛卡爾坐標(biāo)系中，力矩在各坐標(biāo)軸上的分量為： ①力矩的單位為：N·m 上式關(guān)于力矩的公式也稱為力在軸上的力矩。 總是指向固定點的力稱為中心力，該固定點就是力的中心。 討論* 粒子系統(tǒng)的角動量是每個粒子相對于同一固定參考點的角動量的矢量和。 單粒子系統(tǒng)相對于不動點的角動量 5.2 粒子系統(tǒng)的角動量定理* 二粒子系統(tǒng)的角動量定理的研究方法：首先對每個粒子應(yīng)用角動量定理，然后求和上所有的顆粒。 將角動量定理應(yīng)用到粒子 i 上：將粒子系統(tǒng)中的所有粒子加起來，則有 fij fji ri rj Fi Fj O - 方程左邊 - 方程右邊* - 的向量和每個粒子的外部力矩。
——每個粒子上的內(nèi)部力矩的矢量和。 檢查一對內(nèi)部矩的矢量和。 內(nèi)力成對出現(xiàn)且共線，矢量積為 0。因此，所有內(nèi)力矩的矢量和為 0。 □ ri-rj fij fji ri rj Fi Fj O * 所以對于粒子系統(tǒng)： 力矩等于其角動量相對于時間的變化率。 ——粒子系統(tǒng)角動量定理*：如果在固定參考點上作用在粒子（系統(tǒng)）上的外力的力矩矢量之和為零，則粒子（系統(tǒng)）在該點的角動量固定參考點被保留。 —角動量守恒定律 根據(jù)動量定理： 如果 5.3 角動量守恒定律 - 角動量守恒定律* 粒子（系統(tǒng)）所受的凈外力為零； 凈力矩為零。 在中心力的作用下，質(zhì)點（系統(tǒng)）相對于力中心的角動量守恒； 相對于任何固定點進(jìn)行勻速直線運動的質(zhì)點（系統(tǒng)）的角動量是守恒的。 □ 守恒條件討論*2 開普勒第二定律的證明 連接行星和太陽的連線在同一時間內(nèi)掃過相等的面積。 動畫中，行星在一段時間內(nèi)從A點移動到B點，位置矢量掃過的面積為ds1； 當(dāng)在另一個相同時間間隔內(nèi)從C點移動到D點時，位置矢量所掃過的面積為ds2。 開普勒觀測的結(jié)果是ds1=ds2。 * 開普勒發(fā)現(xiàn)行星圍繞太陽的軌道是橢圓形的。 他總結(jié)了20多年來觀察到的數(shù)千個數(shù)據(jù)，提出了開普勒三大定律。 開普勒對此欣喜若狂。
只是開普勒還不明白，他發(fā)現(xiàn)的三個定律已經(jīng)傳達(dá)了重要的“秘密”。 由于角動量與位置矢量的平面掠射速度成正比，因此開普勒第二定律意味著角動量守恒。 * 行星在太陽引力的作用下沿橢圓軌道運行。 由于重力方向在任何時刻始終與行星相對于太陽的位置矢量反平行，因此行星對太陽施加的引力為零。 角動量的方向保持不變，表明由位置矢量和速度確定的平面的方向保持不變。 行星在這個平面上運動，其軌道是二維的。 因此，當(dāng)行星移動時，其朝向太陽的角動量保持不變。 證明：假設(shè)在t時刻，行星位于A點，經(jīng)過dt時間移動到該點， * 在這段時間內(nèi)，掃過的面積為 。 □ 行星的角位移， * 用繩子綁一個小球，使其在光滑的水平面上做勻速圓周運動。 其半徑為r0，角速度為ω0。 現(xiàn)在慢慢地將繩子從圓心的小孔向下拉動，逐漸減小半徑。 求半徑縮小到r時的角速度。 解：例4 m r0 ro 以小孔o(hù)為原點，繩子對球的拉力為向心力，則球在o點的角動量守恒。 其扭矩為零。 *
