2.,(122所以如果曲面方程為 那么如果曲面方程為),(),(則曲面的面積,則曲面的面積S為),(),(122解釋: ),( ),( ),(),(則表面積為表面積 S： 如果曲面方程為 如果曲面方程為),(),(122 如果曲面方程為 如果曲面方程為 則有a 公式： 則有公式： ),(), (122 示例 示例 1 求圓錐 在圓柱 xyx 22 內的圓柱部分面積內求圓錐 22yxz 的面積。求解曲面與您想要求的面積的方程。您想要的面積的曲面是
3. 的方程為 22yxz xyxD 22:, , 所以 42 個例子。 計算圓柱體截取的雙曲拋物線 yxz 的面積 A： 曲面在 xoy 曲面上的投影為： 則)1)1(. 假設空間中有 n 個粒子， ), (, ), 2, 1 （尼米。從力學可知，從力學可知， 、 、 11 、 11 分別位于各自的質量處。它們的質量分別是質點群。
4、粒子群的重心坐標為二。 二、重心是空間物體。 設有一個空間物體V，有連續密度函數，有連續密度函數。），（zyx采用“除法”，用近似代替近似，“求和求和，取極限xy平面上的轉動慣量相加，取極限”可以推導出來，它的重心坐標公式可以推導，V的重心坐標的重心坐標公式。將V分成n小塊， ），（kkk將第k個塊視為集中在點。第 kk 個塊被視為集中在該點上的質量。物體的粒子的質量就是它的質量。取第 i 個塊上的任意點（取塊上的任意點），()、(kkk
5. kkvm ), (令每個小區域的最大直徑, 0|T ), (ddd), (即得到其中m為物體V的質量，質量， ）。 面積表示面積V的體積。如果物體被占據，則xoy平面被占據。
6、當上面積面上D面積的平面切片的平面切片， ), (yx ), (dd), ( , 常數，(SD為D的面積)，則其重心坐標那么它的重心坐標是它的面密度，它的面密度是), (dd), ( , 4個例子。求位于兩個圓之間的均勻片材的重心。求重心位于兩個圓之間的均勻片 sin2 r sin4 r 和 .D 解： 利用對稱性，我們可以知道 利用對稱性，我們可以知道 0 x 和 Drrr 2956 37 43 2
7. 12 2oyx 粒子 A 轉動慣量 J 為軸繞軸 l 的轉動慣量 轉動慣量可通過積分計算。 粒子群的轉動慣量等于每個粒子群的轉動慣量。 粒子群的轉動慣量等于每個粒子與A和旋轉軸之和。 距離r與距旋轉軸l的距離的平方的乘積，即2mrJ 3。 3.轉動慣量之和的轉動慣量之和慣性矩，所以連續體的旋轉就是連續體的旋轉 r 等于 A 質量的質量 m（假設），（當物體位于 (x, y, z) 時，zyx 取一個微元，并在該位置取一個微元，),()(22 因此，該物體因此具有繞 z 軸的慣性矩： ),()(22
8、z軸的轉動慣量為22yx，其體積為dV，其質量為dV，其質量為Vzyxd），（到z軸的距離為22yx，所以它是空間物體空間物體V的密度函數。求密度函數，求V相對于z軸轉動慣量軸的轉動慣量。), (zyx類似，可類似得到： ), ( ) , ( ), ( ) (22zy )(22zx )( 對于繞 x 軸的轉動慣量、繞 y 軸的軸轉動慣量、繞原點的軸轉動慣量、力矩關于原點的慣性，一般來說，如果 一般而言，如果 V 中的點 (
9. x , y , z ) 到旋轉軸到旋轉軸 l 的距離為 ，則轉動慣量為 坐標平面的轉動慣量分別為), ( ), ( 2z2x 對的轉動慣量平面相對于xy平面的轉動慣量），（2y對平面相對于xz平面的轉動慣量），（如果物體如果物體 D 是平面片材 是平面片材，面密度為 Dyxyx), (), ( ), ( 則轉動慣量表達式為
10、二重積分：轉動慣量的表達式是二重積分。 一般來說，如果D中的點(x,y)到旋轉軸l的距離為，則轉動慣量為 環面中心軸的轉動慣量 中心轉動慣量axis zyx 解 解 假設圓環 D 為 ，密度為 ，則 D 中任意點 ( x , y ) 與旋轉軸的距離為 ，旋轉軸之間的距離為 22yxxy平面上的轉動慣量相加，因此轉動慣量為那么轉動慣量 DyxJ d)(22)(
11. r )( )(例：求半徑，求半徑為a的均勻半圓片的直徑。求解均勻半圓片的直徑：建立如圖所示的坐標系。建立坐標系Drrr 441a 241aM 半圓形片材 半圓形片材的質量 221aM 慣性矩 2212. 481a 設片材的密度為 設片材的密度為 則 則例 6. 假設球體的密度與距球心的距離成正比 假設球體的密度與距球心的距離成正比 的密度與距球心的距離成正比球體的轉動慣量 求其相對于切平面的轉動慣量 求其相對于切平面的轉動慣量 解 建立如圖所示的坐標系 建立如圖所示的坐標系 設球體為，密度為球體。
12. k 次是比例常數。 切平面的方程為 z = R, )(2222)cos(dd)(dd。則球體相對于切平面的轉動慣量為。則球體相對于切平面的轉動慣量為切平面 的轉動慣量為 V), (zyx)。 要求密度，請求密度為 F 的物體的物體 V 的引力。物體的外部質量是外部質量為 1 的物體的單位粒子 A 的引力。對象位于 對象位于 (x, y, z)。 取一個位置并取一種微量元素。 其體積記錄為微量元素，其體積記錄為 dV，其質量為，其質量為），（d 相對于粒子 A。
13.萬有引力是。 假設A點的坐標為， 的投影為), (1d1d2 ), (d), (3 其中k是萬有引力常數， 是萬有引力常數， 222)()()( 所以求力的投影在坐標軸上分別為 所以求力為 在坐標軸上的投影為 V), ( ), (zyxr so so), (例 7. 求均勻球體的密度。求均勻球體 V 的密度: )(), 0, 0(RaaA 的單位質量粒子就是單位質量粒子的引力。解：利用對稱性可知引力分量。利用對稱性可知引力分量 0 yxFF zF )(23222) ( )(對位于點 point)(ddzD)( 2222: )( k2 k2 RRaza )( R2 )( )( )21(22 k2
