2.,(122所以如果曲面方程為 那么如果曲面方程為),(),(則曲面的面積,則曲面的面積S為),(),(122解釋: ),( ),( ),(),(則表面積為表面積 S： 如果曲面方程為 如果曲面方程為),(),(122 如果曲面方程為 如果曲面方程為 則有a 公式： 則有公式： ),(), (122 示例 示例 1 求圓錐 在圓柱 xyx 22 內(nèi)的圓柱部分面積內(nèi)求圓錐 22yxz 的面積。求解曲面與您想要求的面積的方程。您想要的面積的曲面是
3. 的方程為 22yxz xyxD 22:, , 所以 42 個(gè)例子。 計(jì)算圓柱體截取的雙曲拋物線 yxz 的面積 A： 曲面在 xoy 曲面上的投影為： 則)1)1(. 假設(shè)空間中有 n 個(gè)粒子， ), (, ), 2, 1 （尼米。從力學(xué)可知，從力學(xué)可知， 、 、 11 、 11 分別位于各自的質(zhì)量處。它們的質(zhì)量分別是質(zhì)點(diǎn)群。
4、粒子群的重心坐標(biāo)為二。 二、重心是空間物體。 設(shè)有一個(gè)空間物體V，有連續(xù)密度函數(shù)，有連續(xù)密度函數(shù)。），（zyx采用“除法”，用近似代替近似，“求和求和，取極限xy平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相加，取極限”可以推導(dǎo)出來，它的重心坐標(biāo)公式可以推導(dǎo)，V的重心坐標(biāo)的重心坐標(biāo)公式。將V分成n小塊， ），（kkk將第k個(gè)塊視為集中在點(diǎn)。第 kk 個(gè)塊被視為集中在該點(diǎn)上的質(zhì)量。物體的粒子的質(zhì)量就是它的質(zhì)量。取第 i 個(gè)塊上的任意點(diǎn)（取塊上的任意點(diǎn)），()、(kkk
5. kkvm ), (令每個(gè)小區(qū)域的最大直徑, 0|T ), (ddd), (即得到其中m為物體V的質(zhì)量，質(zhì)量， ）。 面積表示面積V的體積。如果物體被占據(jù)，則xoy平面被占據(jù)。
6、當(dāng)上面積面上D面積的平面切片的平面切片， ), (yx ), (dd), ( , 常數(shù)，(SD為D的面積)，則其重心坐標(biāo)那么它的重心坐標(biāo)是它的面密度，它的面密度是), (dd), ( , 4個(gè)例子。求位于兩個(gè)圓之間的均勻片材的重心。求重心位于兩個(gè)圓之間的均勻片 sin2 r sin4 r 和 .D 解： 利用對(duì)稱性，我們可以知道 利用對(duì)稱性，我們可以知道 0 x 和 Drrr 2956 37 43 2
7. 12 2oyx 粒子 A 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J 為軸繞軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可通過積分計(jì)算。 粒子群的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)粒子群的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 粒子群的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)粒子與A和旋轉(zhuǎn)軸之和。 距離r與距旋轉(zhuǎn)軸l的距離的平方的乘積，即2mrJ 3。 3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和慣性矩，所以連續(xù)體的旋轉(zhuǎn)就是連續(xù)體的旋轉(zhuǎn) r 等于 A 質(zhì)量的質(zhì)量 m（假設(shè)），（當(dāng)物體位于 (x, y, z) 時(shí)，zyx 取一個(gè)微元，并在該位置取一個(gè)微元，),()(22 因此，該物體因此具有繞 z 軸的慣性矩： ),()(22
8、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為22yx，其體積為dV，其質(zhì)量為dV，其質(zhì)量為Vzyxd），（到z軸的距離為22yx，所以它是空間物體空間物體V的密度函數(shù)。求密度函數(shù)，求V相對(duì)于z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。), (zyx類似，可類似得到： ), ( ) , ( ), ( ) (22zy )(22zx )( 對(duì)于繞 x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、繞 y 軸的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、繞原點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、力矩關(guān)于原點(diǎn)的慣性，一般來說，如果 一般而言，如果 V 中的點(diǎn) (
9. x , y , z ) 到旋轉(zhuǎn)軸到旋轉(zhuǎn)軸 l 的距離為 ，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為), ( ), ( 2z2x 對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面相對(duì)于xy平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量），（2y對(duì)平面相對(duì)于xz平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量），（如果物體如果物體 D 是平面片材 是平面片材，面密度為 Dyxyx), (), ( ), ( 則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)式為
10、二重積分：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分。 一般來說，如果D中的點(diǎn)(x,y)到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 環(huán)面中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 中心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量axis zyx 解 解 假設(shè)圓環(huán) D 為 ，密度為 ，則 D 中任意點(diǎn) ( x , y ) 與旋轉(zhuǎn)軸的距離為 ，旋轉(zhuǎn)軸之間的距離為 22yxxy平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相加，因此轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為那么轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 DyxJ d)(22)(
11. r )( )(例：求半徑，求半徑為a的均勻半圓片的直徑。求解均勻半圓片的直徑：建立如圖所示的坐標(biāo)系。建立坐標(biāo)系Drrr 441a 241aM 半圓形片材 半圓形片材的質(zhì)量 221aM 慣性矩 2212. 481a 設(shè)片材的密度為 設(shè)片材的密度為 則 則例 6. 假設(shè)球體的密度與距球心的距離成正比 假設(shè)球體的密度與距球心的距離成正比 的密度與距球心的距離成正比球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 求其相對(duì)于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 求其相對(duì)于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解 建立如圖所示的坐標(biāo)系 建立如圖所示的坐標(biāo)系 設(shè)球體為，密度為球體。
12. k 次是比例常數(shù)。 切平面的方程為 z = R, )(2222)cos(dd)(dd。則球體相對(duì)于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。則球體相對(duì)于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為切平面 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 V), (zyx)。 要求密度，請(qǐng)求密度為 F 的物體的物體 V 的引力。物體的外部質(zhì)量是外部質(zhì)量為 1 的物體的單位粒子 A 的引力。對(duì)象位于 對(duì)象位于 (x, y, z)。 取一個(gè)位置并取一種微量元素。 其體積記錄為微量元素，其體積記錄為 dV，其質(zhì)量為，其質(zhì)量為），（d 相對(duì)于粒子 A。
13.萬有引力是。 假設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為， 的投影為), (1d1d2 ), (d), (3 其中k是萬有引力常數(shù)， 是萬有引力常數(shù)， 222)()()( 所以求力的投影在坐標(biāo)軸上分別為 所以求力為 在坐標(biāo)軸上的投影為 V), ( ), (zyxr so so), (例 7. 求均勻球體的密度。求均勻球體 V 的密度: )(), 0, 0(RaaA 的單位質(zhì)量粒子就是單位質(zhì)量粒子的引力。解：利用對(duì)稱性可知引力分量。利用對(duì)稱性可知引力分量 0 yxFF zF )(23222) ( )(對(duì)位于點(diǎn) point)(ddzD)( 2222: )( k2 k2 RRaza )( R2 )( )( )21(22 k2