1、第五講角動量及角動量定理5-0 回顧回顧5-1 角動量的定義角動量的定義5-2 角動量定理角動量定理5-3 剛體的定軸轉動質心的定軸轉動5-0 回顧回顧功的定義：功的定義：動能動能質點的動能定理：質點的動能定理：勢能勢能質點系的動能定理：質點系的動能定理：W外外W內內EKB - EKA彈性勢能彈性勢能重力勢能重力勢能萬有引力勢能萬有引力勢能機械能機械能:EEk + EP 功能定律：功能定律： W外外 W非保內非保內EB EA機械能守恒定理：機械能守恒定理：若若 則則E=）（保內非外
2、.1.角動量概念的引入角動量概念的引入0 CvMp總總因為該系統剛體速率為零，所以角動量定理積分表達式，系統總動量為零，由于該系統剛體速率為零，所以，系統總動量為零，系統有機械運動，總動量卻為零？系統有機械運動，總動量卻為零？說明不宜使用動量來量度轉動物體的機械運動量。說明不宜使用動量來量度轉動物體的機械運動量。問題：將一繞通過剛體的固定軸問題：將一繞通過剛體的固定軸轉動的圓盤視為一個質點系，系轉動的圓盤視為一個質點系，系統總動量為多少？統總動量為多少？C C M M* *引入與動量引入與動量 對應的角量對應的角量 角動量（動量矩）角動量（動量矩）pL動量對參考點（或軸）求矩動量對參考點（或軸）求矩
3、5-1 5-1 角動量的定義角動量的定義r定義定義：質點對點的角動量為質點對點的角動量為OrL)(角動量大小：角動量大小： -平行四邊形面積平行四邊形面積 LvLvm角動量方向：右手螺旋定則角動量方向：右手螺旋定則2 角動量的定義角動量的定義*質點對某參考點的角動量反映質點繞該參考點旋轉運動的強弱。質點對某參考點的角動量反映質點繞該參考點旋轉運動的強弱。（1 1）質點對點的角動量，不但與質點運動有關，）質點對點的角動量，不但與質點運動有關，且與參考點位置有關。且與參考點位置有關。討討 論論 以以A點為參考點，任意時刻點為參考點，任意時刻t，有，有21,.
4、mgt 00,().;rRr 其大小: 方向垂直向里 以以O為參考點，任意時刻的角動量為：為參考點，任意時刻的角動量為： ggrR （2 2）做勻速圓周運動時，由于）做勻速圓周運動時，由于 ，質點對圓，質點對圓心的角動量大小為：心的角動量大小為：質點對圓心質點對圓心O的角動量為恒量的角動量為恒量大小不變大小不變大小不變方向不變方向不變方向不變 r （3）圓錐擺）圓錐擺mv0 0rF()pFdt?dLdt1.
5、質點質點MrF定義：力對座標原點定義：力對座標原點O的扭力：的扭力： OFmrM方向：方向：大小：大小： 0| | | sin|力臂力臂 12LL t角動量定理的微分形式角動量定理的微分形式 若轉矩作用一段有限時間，則有質點角動量定理的若轉矩作用一段有限時間，則有質點角動量定理的積分方式：積分方式： 沖量矩沖量矩反映在一段時間內扭矩的時間積累反映在一段時間內扭矩的時間積累 質點系的角動量：質點系對給定參考點的質點系的角動量：質點系對給定參考點的角動量，等于各質點對該參考點的角動量角動量，等于各質點對該參考點
6、的角動量的矢量和，即的矢量和，即. 質點系角動量定理：質點系角動量定理：總外扭力總外扭力M外總內扭力總內力矩 M內d 外內外內（）()ijf=？)( 內內 jrr一對內力一對內力的扭矩和的扭矩和)(和0iiMM內內與質點角動量定理方式一樣與質點角動量定理方式一樣辯一辯：總外扭矩與合外力的扭矩的區別辯一辯：總外扭矩與合外力的扭矩的區別 )(ijji
7、外LM和外（ 都對同一點）都對同一點） iL jL k/ iMjM k3. 角動量定理的份量方式：角動量定理的份量方式： dtLLM dtLLM dtLL5-3 5-3 剛體的定軸轉動質心的定軸轉動1.1.剛體定軸轉動的角動量剛體定軸轉動的角動量的大小為的大小為對對O O點的角動量為：點的角動量為：
8、 iii 定義：剛體繞軸轉動的定義：剛體繞軸轉動的轉動慣量轉動慣量：剛體繞定軸的角動量質心繞定軸的角動量zzLJ特例：質點特例：質點 irZ轉動平面對定軸轉動起作用的是對定軸轉動起作用的是扭力扭力 沿沿Z Z 軸份量軸份量 FrM對對O O 點的扭力：點的扭力：F2.2.剛體定軸轉動的扭矩剛體定軸轉動的扭矩對軸的扭矩對軸的扭矩O大小：大小：方向：方向： 注注 ：在：在定軸動問題中，如不加說明，所指的定軸動問題中，如不加說明，所指的轉矩是指力在
9、轉動平面內的分力對轉軸的轉矩。力矩是指力在轉動平面內的分力對轉軸的轉矩。FrM 只能導致軸的只能導致軸的變型變型, , 對轉動無貢獻對轉動無貢獻。1Fr轉動平面)(-力臂力臂。sinrd rF d轉軸方向確定后，力對轉軸的扭力方向可用轉軸方向確定后，力對轉軸的扭力方向可用+ +、- -號表示號表示d3.3.剛體定軸轉動中的角動量定理剛體定軸轉動中的角動量定理轉動定理轉動定理討論：討論： （3 3）Jz 和轉軸有關，同一個物體對不同轉軸的轉和轉軸有關，同一個
10、物體對不同轉軸的轉 動力矩不同。動力矩不同。 （2 2）Jz 和質量分布有關；和質量分布有關；（1 1）轉動慣量是轉動慣性大小的量度）轉動慣量是轉動慣性大小的量度試一試：由牛頓方程推出剛體定軸轉動定律試一試：由牛頓方程推出剛體定軸轉動定律應用牛頓第二定律，可得：應用牛頓第二定律，可得：O 對質心中任一質量元對質心中任一質量元im- -外力外力iF- -內力內力 afF采用自然坐標系，上式切向分量式為：采用自然坐標系，上式切向分量式為：O OzzMJ想一想：想一想：1. 對靜止質心施以外力作用，如果合外力
11、為零，對靜止質心施以外力作用，如果合外力為零，剛體會不會運動？剛體會不會運動？2.如果質心轉動的角速率很大，那么假如質心轉動的角速率很大，那么（1）作用在它前面的力是否很大？）作用在它前面的力是否很大？（2）作用在它前面的扭矩很大？）作用在它前面的扭矩很大？4. 轉動慣量的估算轉動慣量的估算2221 12 2zi rm r分立的質點系：分立的質點系：例例1 1：一可忽視質量的輕質平：一可忽視質量的輕質平面正方形框架，邊長為面正方形框架，邊長為a ，其四個頂點上分別有一個質其四個頂點上分別有一個質量為量為m m 的質點，求此質點系的質點，求此質點
12、系繞垂直于正方形平面且過其繞垂直于正方形平面且過其中心的軸中心的軸OZOZ的轉動慣量。的轉動慣量。222)22(若轉軸平移至正方形的一個頂點若轉軸平移至正方形的一個頂點2224)2( 若轉軸平移至正方形的一邊中點若轉軸平移至正方形的一邊中點)2()2( zz解：解：例例2 2、求長為、求長為L L、質量為質量為m m的均勻細棒對圖中不同的均勻細棒對圖中不同 軸的轉動慣量。軸的轉動慣量。A AB BL LX XA AB BL/2L/2L/2L/2C CX X解：取如圖座標，解：取如圖座標，dm=dm=
13、xJLLC/m 平行軸定理平行軸定理試一試：證明平行軸定理試一試：證明平行軸定理例例3 3、求質量為求質量為m m、半徑為直徑為R R、厚為厚為l l 的均勻圓盤的均勻圓盤 的轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。的轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：解：任取直徑為任取直徑為r r 寬為寬為dr dr 的同心的同心細細圓環圓環, , 轉動慣量與其長度轉動慣量與其長度 l 無關。所以，實心圓錐對其軸的無關。所以，實心
14、圓柱對其軸的轉動慣量也轉動慣量也是是 一些均勻質心的轉動慣量表一些均勻質心的轉動慣量表桿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質量為何飛輪的質量為何大都分布于外車鉤？大都分布于外車鉤？討論：討論：例題例題4 4 一輕繩越過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端一輕繩越過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質量為分別懸有質量為m m1 1和和m m2 2的物體的物體1 1和和2 2，m m1 1 m m2 2 如圖所示。如圖所示。設滑輪的質量為設滑輪的質量為m m ，半徑為，半徑為r r，所受的摩擦阻力矩為，所受的摩擦阻力矩為M M。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體
15、的加速度和繩的。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。張力。解解: :用隔離體法受力分析用隔離體法受力分析21T rTrMJ對對 aGTm a12,mm對滑輪對滑輪 aGTm aT rT rMJra 約束條件：約束條件：/ /2/ /2/當不計滑輪質量及摩擦阻力矩即令當不計滑輪質量及磨擦阻力矩即令m m=0=0、M M
16、=0=0時，有時，有1212 上題中的裝置叫阿特伍德機，是一種可拿來測上題中的裝置叫阿特伍德機，是一種可拿來檢測重力加速度量重力加速度g g的簡單裝置。因為在已知的簡單裝置。因為在已知m m1 1、 m m2 2 、r r和和J J的情況下，能通過實驗測出物體的情況下，能通過實驗測出物體1 1和和2 2的加速度的加速度a a角動量定理積分表達式，再通過加速度把再通過加速度把g g算下來。在實驗中可使兩物體的算下來。在實驗中可使兩物體的m m1 1和和m m2 2相仿，從而使它們的加速度相仿，從而使它們的加速度a a和速率和速率v v都較小，都較小，這樣才能角精確地測出這樣就
17、能角精確地測出a a來。來。例題例題5 5 一直徑為一直徑為R R，質量為，質量為m m勻質圓盤，平置于粗勻質圓盤，平置于粗糙的水平桌面上。設盤與桌面間摩擦系數為糙的水平桌面上。設盤與桌面間摩擦系數為 ，令，令圓盤最初以角速率圓盤最初以角速率 0 0繞通過中心且垂直大盤的軸旋繞通過中心且垂直大盤的軸旋轉，問它經過多少時間才停止轉動？轉，問它經過多少時間才停止轉動？r rR Rd dr r d d e e解：思路：解：思路：/Mddtt元質量元質量dm= rd dre，所遭到的阻力矩是，所遭到的阻力矩是r dmg 。想一想：質量元還有更簡單的取法嗎？想一想：質量元還有更簡單的取法嗎？ dm= 2rdre