全省小學數學大賽決賽試卷及答案_全省小學數學大賽決賽試卷及答案第二十屆全省學生數學大賽決賽試題全卷共七題，總分為140分。一、〔15分〕圖中a為一固定放置的直徑為R的均勻帶電圓球，O為其球心．己知取無限遠處的電勢為零時，球外表處的電勢為U=1000V．在離球心O很遠的O′點附近有一質子b，它以Ek＝的動能沿與O'O平行的方向射向a．以l表示b與O'O線之間的垂直距離，要使質子b才能與帶電圓球a的外表相撞，試求l的最大值．把質子換成電子，再求l的最大值．二、〔15分〕U形管的兩支管A、B和水平管C都是由外徑均勻的細玻璃管弄成的，它們的外徑與管長相比都可忽視不計．己知三部份的截面積分別為2A1.010S-=?cm2，2B3.010S-=?cm2，2C2.010S-=?cm2，在C管中有一段空氣柱，兩邊被水銀封閉．當氣溫為127t=℃時，空氣柱長為l＝30cm〔如右圖〕，C中氣柱一側的水銀柱長分別為a＝2.0cm，b＝3.0cm，A、B兩支管都很長，其中的水銀柱高均為h＝12cm．大氣浮力保持為0p＝不變．不考慮濕度變化時管和水銀的熱膨脹．試求氣柱中空氣濕度平緩下降到t＝97℃時空氣的容積．三、〔20分〕有人提出了一種不用尼克斯發射人造月球衛星的構想．其構想如下：沿月球的一條弦挖一通道，如右圖．在通道的兩個出口處A和B，分別將質量為M的物體和質量為m的待發射衛星同時自由釋放，只要M比m足夠大，碰撞后，質量為m的物體，即待發射的衛星都會從通道口B沖出通道；設待發衛星上有一種裝置，在待發衛星剛離開出口B時，立刻把待發衛星的速率方向變為沿該處月球切線的方向，但不改變速率的大小．這樣待發衛星便有可能繞地心運動，成為一個人造衛星．若人造衛星剛好沿月球外表繞地心做圓周運動，則地心到該通道的距離為多少？己知M＝20m，月球直徑0R＝．假設月球是質量均勻分布的圓球，通道是光滑的，兩物體間的碰撞是彈性的．全省中學數學大賽決賽試卷及答案全省小學數學大賽決賽試卷及答案四、(20分)如右圖，一直徑為R、折射率為n的玻璃半球，置于空氣中，平外表中央直徑為0h的區域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，剛好覆蓋整個外表．Ox為以球心O為原點，與平而垂直的座標軸．通過估算，求出座標軸Ox上玻璃半球一側有光線通過的各點〔有光線段〕和無光線通過的各點〔無光線段〕的分界點的座標．五、(22分)有一直徑為R的圓錐A，靜止在水平地面上，并與豎直墻壁相接觸．現有另一質量與A一樣，直徑為r的較細圓錐B，用手扶著圓錐A物理競賽高中試題，將B置于A的前面，并使之與墻壁相接觸，如右圖，之后放手．己知圓錐A與地面的靜磨擦系數為0.20，兩圓錐之間的靜磨擦系數為0.30．若放手后，兩圓錐體能保持圖示的平衡，問圓錐B與墻壁間的靜磨擦系數和圓錐B的直徑r的值各應知足哪些條件？六、(23分)兩個點電荷坐落x軸上，在它們構成的電場中，若取無限遠處的電勢為零，則在正x軸上各點的電勢如圖中曲線所示，當0x→時，電勢U→∞：當x→∞時，電勢0U→；電勢為零的點的座標0x,電勢為極小值0U-的點的座標為0ax〔a＞2〕。
試按照圖線提供的信息，確定這兩個點電荷所帶電荷的符號、電量的大小以及它們在x軸上的位置．七、(25分)如右圖，將一鉛球狀小物塊在離地面高為h處沿水平方向以初速0v拋出．己知物塊碰地彈起時沿豎直方向的分速率的大小與碰前沿豎直方向的分速率的大小之比為e〔＜1＝．又知沿水平方向物塊與地面之間的滑動磨擦系數為μ〔≠0〕：每次碰撞經過的時間都十分短，并且都是“餅面〞著地．求物塊沿水平方向運動的最遠距離．全省小學數學大賽決賽試卷及答案全省小學數學大賽決賽試卷及答案第二十屆全省學生數學大賽決賽試卷參考解答、評分標準一、參考解答令m表示質子的質量，0v和v分別表示質子的初速率和抵達a球球面處的速率，e表示元電荷，由能量守恒可知=+〔1〕由于a不動，可取其球心O為原點，因為質子所受的a球對它的靜電庫侖力總是通過a球的球心，所以此力對原點的扭矩仍然為零，質子對O點的角動量守恒。所求l的最大值對應于質子抵達a球外表處時其速率方向正好與該處球面相切〔見復解20-1-1〕。以maxl表示l的最大值物理競賽高中試題，由角動量守恒有=〔2〕由式〔1〕、〔2〕可得maxl=〔3〕代入數據，可得maxl=〔4〕若把質子換成電子，則如圖復解20-1-2所示，此時式〔1〕中e改為e-。
同理可求得maxl=〔5〕評分標準：此題15分。式〔1〕、〔2〕各4分，式〔4〕2分，式〔5〕5分。全省小學數學大賽決賽試卷及答案全省小學數學大賽決賽試卷及答案二、參考解答在室溫為1(27273)K=300KT=+時，氣柱中的空氣的浮力和容積分別為10pph=+，〔1〕1CVlS=〔2〕當氣柱中空氣的濕度下降時，氣柱兩邊的水銀將被平緩壓入A管和B管。設氣溫下降到2T時，氣柱兩側水銀正好全部壓到B管中，使管中水銀高度減小?=〔3〕由此導致氣柱中空氣容積的減小量為CVbS'?=〔4〕與此同時，氣柱兩側的水銀也有一部份步入A管，步入A管的水銀使A管中的水銀高度也應減小h?，使兩支管的浮力平衡，由此導致氣柱空氣容積減小量為AVhS''?=?〔5〕所以，當氣溫為2T時空氣的容積和浮力分別為'''=+?+?〔6〕21pph=+?〔7〕由狀態多項式知=〔8〕由以上各色，代入數據可得2347.7T=K〔9〕此值大于題給的最終氣溫=+=K，所以氣溫將繼續下降。從這時起，氣柱中的空氣作等壓變化。當體溫抵達T時，氣柱容積為=〔10〕代入數據可得30.72cmV=〔11〕評分標準：此題15分。求得式〔6〕給6分，式〔7〕1分，式〔9〕2分，式〔10〕5分，式〔11〕1分。全省中學數學大賽決賽試卷及答案全省中學數學大賽