向量大家應該都很熟悉吧？ 是的，我們接觸過很多矢量，比如位移、速度、角速度、電場強度等。
然而，我實際上可以將向量細分為兩類：一般向量和軸向向量。 例如，位移和速度是一般向量； 而角速度、磁感應強度等則是軸向矢量。
那么什么是軸向量呢？ 它和普通向量有什么區別？ 在本文中，我們將討論軸向量的性質。 我們會發現，實際上角速度和磁感應強度只能定義為三維空間中的向量。 要擴展到其他維度，必須將它們定義為 2 向量。
2-向量在幾何中也非常有用。 你也可以閱讀wxy的這篇文章，它從四維幾何的角度介紹了2-向量。 注：文中粗體字母和帶箭頭的字母均代表向量。
重點內容從角速度開始
讓我們從角速度開始。 我們都應該熟悉角速度。 它是一個矢量，其長度等于角速度的大小，其方向根據旋轉方向和右手螺旋定則確定。 那么它和普通的向量有什么不同呢？ 我們可以通過鏡像變換來看到：
讓我們看看鏡子中的旋轉板。 我們發現，板上任意點的速度都是簡單鏡像的，但角速度矢量不僅是鏡像的，而且是反轉的！ 這就是軸向量與普通向量不同的地方：在進行鏡像（或反射）變換時，除了被鏡像之外，方向也會被反轉，即它的每個分量都會得到一個負號。
磁感應也是如此，只需將上圖中的板換成承載電流的環線即可：
我們稱這種向量為軸向量，或者偽（）向量。 為什么叫偽向量呢？ 這是因為有些文檔將向量定義為一堆數字，參與坐標變換時必須滿足一定的條件，即向量的每個分量(v_{i})。 這些分量應該使向量在變換前后保持不變，也就是說，向量與坐標系無關。 軸向量與坐標系有關。 如果我們選擇鏡外的右手坐標系，那么鏡內就變成了左手坐標系。 然而，該坐標系的變換改變了角速度方向，因此軸矢量是坐標之和。 與關系相關的向量。
在這里我們可以問兩個問題：
其實第二個問題在文章開頭就已經回答了：這個量是一個2-向量。 那么這個東西到底是什么？ 它的本質是什么？ 接下來我們將討論 2-向量。
角速度的另一種表示
我們以角速度為例來推導 2 向量。 你有沒有想過角速度在其他維度的推廣？ 我們先不看困難的四維空間，先看二維空間中的角速度。
這個逆時針旋轉的圓盤的角速度是多少？ 我想很多物理書上都說它在紙上垂直向上。 但是，我們知道這個“垂直于紙張頂部”的方向在二維空間中并不存在，所以這種說法實際上是不正確的。
在二維空間中，物體的旋轉方向只有兩個：順時針和逆時針，所以實際上可以用標量來描述。 更準確地說，是偽標量，因為在三維情況下，照鏡子時符號會反轉。
那么圓盤上任意一點的線速度是多少呢？ 在三維空間中，是(vec{v}=vec{omega}timesvec{r})。 如果我們認為二維角速度是一個標量，那么我們可以把這個表達式“降維”為 (vec{v}=omega(-y,x))好吧，我們已經知道了二維可以定義為（偽）標量，但是四個維度呢？ 情況就復雜了，因為四維還涉及雙旋轉，標量和向量已經不可能了，只能使用二階張量，即可以表示為矩陣的量。 我們以此類推發現，維度越高，就越復雜。 那么，是否有一個對于所有維度都相同的簡單表達式呢？
答案是肯定的角速度，我們可以從線速度的表達式入手。 我們不妨換一種方式來寫線速度：
[vec{v}=begin{} 0 & -omega \ omega & 0 end{} begin{}x \ yend{}]
最右邊的列向量是徑向的，那個矩陣就是我們想要的，它是2-向量的矩陣表示。而且我們發現這個定義在三維空間也適用，比如(vec{ omega}=(1,1,1))，則其線速度可表示為
[vec{v}=begin{}0 & -1 & 1 \ 1 & 0 & -1 \ -1 & 1 & 0 end{} begin{}x \ y \ z結尾{}]
同樣是矩陣乘以徑向列向量，只是矩陣的階數變了。 我們發現了這個矩陣的一個性質：它是反對稱的。 好吧，為了更深入地研究 2 向量，我們需要了解它的定義和屬性。
外代數
2-向量實際上是外代數中n-形式的一個特例。 我們先來看看它的定義。 對于兩個向量 ({bf a}) 和 ({bf b})，將楔積“(land)”定義為 2-向量： ({bfomega} = {bf a}land{bf b})楔積滿足以下性質：
所以向量和它本身的楔積總是0。例如，有兩個向量({bf a}_{1}=a{bf e}_{x}+b{bf e}_ {y }) 和 ({bf a}_{2}=c{bf e}_{x}+d{bf e}_{y})，則它們的楔積為
[begin{align}{bf a}_{1}land{bf a}_{2}&=ad{bf e}_{x}land{bf e}_{y} +bc{bf e}_{y}land{bf e}_{x}\&=(ad-bc){bf e}_{x}land{bf e}_{y }結束{對齊}]
其中({bf e}_{x}land{bf e}_{y})是2-向量的單位基，就像向量的基一樣。 2D 空間有 1 個，3D 空間有 3 個。
那么這樣定義的2-向量的幾何意義是什么呢？ 我們知道，標量，即0-形式是點，向量，即1-形式是線，那么2-向量就是面。
我們發現實際上({bf a}land{bf b})類似于向量之間的叉積({bf a}times{bf b})，它的“方向”是也由右手螺旋定則確定。 如果我們用2向量來表示角速度，那么它的“方向”就代表了物體的旋轉方向，它的大小就是角速度的大小。 感覺比用向量來表示角速度自然得多。 為了求角速度2向量，我們可以首先在物體旋轉的平面上求兩個相互垂直的單位向量，然后進行楔積，然后乘以角速度。 例如，對于角速度 (vec{omega}=(0,0,omega))，其 2-向量為 ({bfomega}=omega{bf e}_{ x} 土地{bf e}_{y})。
2-向量的內積
我們知道向量基的內積定義為({bf e}_{i},{bf e}_{j}=begin{cases}0 (ineq j) 1 (i =j)end{cases}={ij}) 類推這個定義，2-向量基的內積定義為({bf e}_{i}土地{bf e}_{j },{bf e}_{k}land{bf e}_{l}={ik}{jl}-{ij}{kl} ) 這個定義可以保證只有當內積不為0時，基數才完全相同。 如果基中參與楔積的兩個向量相同但階數不同，則等于-1，如({bf e}_{x}land{bf e}_ {y},{bf e}_{y}land{bf e}_{x}=-1)。 那么如何定義向量基({bf e}_{i})和2-向量基({bf e}_{j}land{bf e}_{k}的內積) ? 不幸的是，內積只能在相同階的形式之間定義。 如果階數不同，則只能定義張量內積。
事實上，2-向量也是一個張量。 那么什么是張量呢？ 這不是一兩句話就能解釋清楚的。在張量代數中，楔積可以寫成
[{bf a}land{bf b}={bf a}{bf b}-{bf b}{bf a}]
上式中的({bf a}{bf b})既不是向量內積，也不是向量外積，而是一個新的操作：并向量積。 其運算規則與矩陣相同，只滿足線性，不滿足交換律。 因此我們可以定義2-向量和向量的張量內積：(({bf a}land{bf b})cdot{bf c}=({bf a}{bf b} -{bf b}{bf a})cdot{bf c}=({bf b}cdot{bf c}){bf a}+({bf a}cdot{ bf c}){bf b})因此，對于 2-向量的基和基向量，我們有(({bf e}_{i}land{bf e}_{j}) cdot {bf e}_{i}=-{bf e}_{j}) 和 (({bf e}_{i}land{bf e}_{j}) cdot{bf e}_{j}={bf e}_{i})
與交叉產品的關系
我們下一步是重寫線速度公式 (vec{v}=vec{omega}timesvec{r}) 以使用角速度 2-向量，其中存在叉積公式 。 為了看出叉積和楔積之間的關系，我們不妨寫出它們的表達式：
[begin{align}vec{omega}timesvec{r}&=({y}r_{z}-{z}r_{y})vec{e}_{x} \& +({z}r_{x}-{x}r_{z})vec{e}_{y}\& +({x}r_{y}-{y} r_{x})vec{e}_{z}\&={ij}{i}r_{j}{ijk}vec{e}_{k}end{align}] [begin{align}vec{omega}landvec{r}&=({y}r_{z}-{z}r_{y})vec{e}_{y} landvec{e}_{z}\& +({z}r_{x}-{x}r_{z})vec{e}_{z}landvec{e} _{x}\& +({x}r_{y}-{y}r_{x})vec{e}_{x}landvec{e}_{y}\& ={ij}{i}r_{j}vec{e}_{i}landvec{e}_{j}end{align}]
其中，({ijk})稱為置換張量，滿足({xyz}=1)且任意兩個下標互換，符號就會反轉。 如果下標相同的話就是0。你是不是感覺這兩個公式很相似，但是最終的向量基不同呢？ 我們希望建立類似({bf e}_{y}land{bf e}_{z}to{bf e}_{x})這樣的對應關系。 這種對應關系稱為霍奇對偶性，記為“(star)”。 在三維空間中我們有： (star(vec{e}_{x}landvec{e}_ {y})=vec{e}_{z}),(星(vec{e}_{y}landvec{e}_{z})=vec{e}_ {x}), (star(vec{e}_{z} landvec{e}_{x})=vec{e}_{y})，即 (star (vec{e}_{i}landvec{e}_ {j})={ijk}vec{e}_{k})，只要將三個角標記按xyz循環排列即可。 這樣我們就得到了楔積和叉積的關系：
[vec{a}timesvec{b}=star(vec{a}landvec{b})]
因為(star{bf a}=a_{x}{bf e}_{y}land{bf e}_{z}+a_{y}{bf e}_{z}土地{bf e}_{x}+a_{z}{bf e}_{x}land{bf e}_{y}={1 over 2}{ijk}a_{i} {ijk}{bf e}_{j}land{bf e}_{k})，根據我們張量內積的定義，經過一番計算我們可以得到((star { bf a})cdot{bf b}=-star({bf a}land{bf b}))
角速度 2-矢量定義
好的，我們已經準備好了所有的材料。 根據以上兩個公式，我們可以將線速度的計算公式寫為(vec{v}=(-starvec{omega})cdotvec {r})，所以我們定義角度速度2-向量為：({bfomega}=-starvec{omega})，則線速度可寫為(vec{v}= {bfomega} cdotvec{r})，角速度2的大小是其自身與自身的內積，即(vertomegavert=\omega,omega\)，則使用下式計算基的內積公式。 由于這些基是正交的，因此最終的大小類似于向量的大小，即其分量的平方和的根。 如({bfomega}=a{bf e}_{y}land{bf e}_{z}+b{bf e}_{z}land{bf e} _ {x}+c{bf e}_{x}land{bf e}_{y})，則 (vertomegavert=sqrt{a^2+b^2+ c ^2})
現在我們可以回答上面提出的第一個問題了：我們發現角速度向量和角速度2-向量之間的關系是霍奇對偶性，并且在霍奇對偶性中會引入偽張量({ijk})對偶性 ，導致角速度矢量成為軸矢量。
我們還發現n維空間中2向量的基數為(C_{n}^{2})，這意味著三維空間是唯一向量基數為與 2-向量的基數相同。 ！ 這使得我們能夠在向量空間和2向量空間之間建立同構映射，即霍奇對偶性。 由于向量和 2-向量是同構的，因此我們可以使用其中之一。 為了方便起見，我們選擇向量。 三維空間確實是一個有很多巧合的空間。 我覺得我們生活在三維空間真是太幸運了，不然我們做物理題的時候就得把角速度和磁感應強度寫成矩陣了。 。 。
矩陣表示
我們之前不是說過2-向量可以表示為矩陣嗎？ 我們可以使用張量代數中的楔積公式來做到這一點。 仍以角速度 (vec{omega}=(1,1,1)) 為例，其 2-向量為 ({bf omega}=-(star{bf e} _{ x}+star{bf e}_{y}+star{bf e}_{z})=-{bf e}_{y}land{bf e}_{z }- {bf e}_{z}land{bf e}_{x}-{bf e}_{x}land{bf e}_{y}) 為了寫成在矩陣形式中，我們可以將所有向量視為列向量，然后將楔積寫為 ({bf a}land{bf b}={bf a}{bf b}^{T }-{bf b}{ bf a}^{T})。所以三個堿基是
[{bf e}_{y}land{bf e}_{z}=begin{}0&0&0\0&0&1\0&-1&0end{}][{bf e}_ {z}land{bf e}_{x}=begin{}0&0&-1\0&0&0\1&0&0end{}][{bf e}_{x}land{bf e}_{y}=begin{}0&1&0\-1&0&0\0&0&0end{}]
我們發現，由于每個基底的矩陣都是反對稱的，所以它們的線性疊加也一定是反對稱的，因此角速度2-向量的矩陣一定是反對稱矩陣。 將上面的三個矩陣代入其中角速度，我們得到角速度的矩陣表示，與我們上面的矩陣表示相同：
[{bfomega}=begin{}0&-1&1\1&0&-1\-1&1&0end{}]
它與徑向矢量的矩陣乘積就是線速度。
你可能會問為什么張量積可以轉化為矩陣積呢？ 這其實很容易理解。 我們可以將角速度2-向量寫成張量的形式({bfomega}={ij}{ij}{bf e}_{i}{bf e}_ {j} ), 所以(vec{v}={ijk}{ij}{bf e}_{i}({bf e}_{j}cdot{bf e}_ {k} ){bf r}_{k}={ijk}{ij}{bf e}_{i}{ik}{bf r}_{k}={ij} {ij} {bf e}_{i}{bf r}_{i})，因此線速度的第 i 個分量為(v_{i}={j}{ij}{bf r}_{j})。 顯然，這就是矩陣乘積的定義。
//注意：這種指標符號在物理學中用得很多，但如果你反應不出來，你可以老老實實地寫出每一項來驗證一下。
其他軸向量
根據公式({bf a}times{bf b}=star({bf a}land{bf b}))我們可以猜測：只要是出現的向量在叉積中，它的本質可能是一個2-向量。 如果一個軸向量a定義為(vec{a}=vec{b}timesvec{c})，我們可以取霍奇對偶性及其逆，然后用上式將He變為 (vec{a}=vec{b}landvec{c})。
例如，畢奧-薩伐爾定律將磁感應強度定義為(dvec{B}={mu_{0}over 4pi}{Ivec{dl}timesvec{r} over r^3})，所以磁感應強度2-向量為(d{bf B}={mu_{0}over 4pi}{Ivec{dl}landvec{r } over r^3})。 因此，我們可以利用磁感應強度2-向量將洛倫茲力寫為(vec{F}=q{bf B}cdotvec{v})。
還有另一個量：卷曲。 因為叉積也出現在其定義公式({}vec{F}=nablatimesvec{F})中。 與上面類似，我們可以將“curl 2-向量”寫為 ({bf curl}vec{F}=nablalandvec{F})。 然而，這并沒有用數學來表達。 標準定義還使用了另一個東西：外部微分運算符（“d”），它涉及更多的外部代數。 這里我就不介紹了。 你可以去維基百科上查一下。
四維角速度和雙旋轉
由于角速度2向量適用于任何維度，我們現在用它來研究四維空間中的旋轉規律。 我們仍然使用角速度的矩陣表示，它應該是四維空間中的四階方陣。 由于它是 4x4，因此可以將其分為兩個反對稱矩陣：
[{bfomega}=begin{}{bf A}&{bf O}\{bf O}&{bf B}end{}]
代入線速度公式我們發現
[begin{}v_{x}\v_{y}end{}={bf A}begin{}x\yend{}, begin{}v_{z}\v_ {t}end{}={bf B}begin{}z\tend{}]
也就是說，物體在(Oxy)平面中的坐標只會影響其線速度在(Oxy)表面上的分量，而在(Ozt)表面上的坐標也只會影響其線速度在(Oxy)表面上的分量。 (Ozt) 表面速度。 (Oxy)平面中的旋轉和(Ozt)平面中的旋轉是完全獨立的，就像兩個不同的旋轉一樣。 而且，除了軸點旋轉之外，空間中的其他點都在旋轉。 此時，旋轉軸這個東西已經不存在了！ 我們稱這種旋轉為雙旋轉。 類似地，六維空間中有三次旋轉，八維空間有四次旋轉，2n維空間有n次旋轉。 我之前的文章里有一個雙旋轉的例子，就是洛倫茲變換，即空間和時間的偽旋轉和空間的旋轉共同構成了雙旋轉。
角速度2向量的矩陣表示還有一個優點，就是它和角速度對應的旋轉變換矩陣之間存在映射關系。 我將在以后的文章中繼續談論這個問題。
文章中外代數部分可以查看維基百科
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