概括
高中課本上有“萬有引力定律源自開普勒定律”、“開普勒定律源自萬有引力定律”。 采用近似方法求解該問題，結(jié)果缺乏說服力。 大學(xué)教材或相關(guān)文獻中，解題都是基于微積分知識，學(xué)生不容易理解。 本文利用哈密頓速度矢量圖，結(jié)合簡單的幾何知識，巧妙地解決了上述問題。
關(guān)鍵詞 開普勒定律； 萬有引力定律； 漢密爾頓定理； 矢量圖； 幾何法
在高位，“法來自于法”和“法來自于法”，它們是由的，而不是。 在or中，是by，這并不容易。 本文采用 和 來解決上述問題。
開普勒（）從第谷的觀測數(shù)據(jù)中總結(jié)出了開普勒行星運動三大定律。 由此，牛頓在其《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中得出了力與距離的關(guān)系。 萬有引力定律與平方成反比。 這是開普勒的第一類問題。 后來，萬有引力定律被視為基本定律。 約翰內(nèi)斯·伯努利（ ）證明，在引力場中，如果力與距離的平方成反比，則軌跡將始終是圓錐曲線。 這是開普勒的第二類問題。
目前的大學(xué)教科書或論文中，解決開普勒問題都是通過微積分來解決的[1,4-6]。 由于高中生微積分知識不足，高中課本通常將行星的橢圓運動近似為圓周運動來推導(dǎo)出萬有引力定律。 這種推導(dǎo)一般高中生都能理解，但總有一種近似的感覺，不能完美解決開普勒第一類問題。
本文總結(jié)了開普勒、牛頓、漢密爾頓等人關(guān)于開普勒問題的研究成果，推廣和應(yīng)用了漢密爾頓的重要研究思想：漢密爾頓定理。 將行星運動時各速度矢量的起點平移到同一點，速度矢量的終點所形成的軌跡稱為速度矢量圖。 漢密爾頓發(fā)現(xiàn)行星運動的速度矢量圖是一個圓，稱為漢密爾頓定理[7]。 這篇文章的主要工作是在漢密爾頓定理的基礎(chǔ)上，加上一些高中生能理解的幾何知識，巧妙地“從開普勒定律推導(dǎo)出萬有引力定律”、“從萬有引力定律推導(dǎo)出開普勒定律”。
1 橢圓的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用
全日制普通高中教材（必修）《數(shù)學(xué)·（第二卷（上）》（人民教育出版社）閱讀材料《圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用》第138-139頁[2]開普勒第三定律，2006）寫道：
定理1：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)橢圓反射后，相交于橢圓的另一焦點。
推論1 如圖1所示，給定一個橢圓和橢圓的切線，焦點F1和F2在切線上的投影分別為X和Y，則F1X·F2Y=b2（b為半短焦）橢圓的軸）。
證明可以在[2]中找到。
2 漢密爾頓定理
定理2（漢密爾頓第一定理） 如果開普勒第二定律成立，且物體的軌道為橢圓，則其速度矢量圖為圓[7,9]。
定理3（哈密爾頓第二定理）如果一個物體在與距離的平方成反比的中心力的作用下繞固定點運動，那么它的速度矢量圖就是一個圓[7,9]。
我們先用一個簡單的例子來說明什么是速度矢量圖。 水平運動的物體具有恒定的水平速度，其垂直速度從零均勻增加。 如圖2(a)所示，速度的起點平移到同一點O，速度的終點A、B、C、D、E……在同一垂直線上。 這些由速度的端點組成的圖形稱為速度矢量圖。 顯然，平拋運動的速度矢量圖是一條垂直線。 速度矢量圖上任意兩相鄰點的有向線段就是該過程的速度變化ΔV。 速度變化ΔV的方向與物體的加速度和力的方向相同。 由平拋運動的速度矢量圖是一條垂直線可知，做平拋運動的物體的重力方向是垂直方向。 如果將速度矢量圖旋轉(zhuǎn)90°，則可以得到旋轉(zhuǎn)90°的速度矢量圖為水平線，垂直于重力方向，如圖2(b)所示。
2.1 漢密爾頓第一定理的證明
如圖3所示，以焦點F1和F2做一個橢圓軌道，其中F2是太陽的位置，A是遠日點，B是近日點。 橢圓的長半軸為a，短半軸為b，短半軸為b。 焦距為c。 設(shè) P 為橢圓上的任意點。 以F2為圓心，2a為半徑，畫一個圓。 連接F2P，延長與圓的交點為U。通過點P連接F1U，畫橢圓的切線l。 l 與 F1U 的交點為 X，過 F2 畫垂線 l，垂腳為 Y。
由橢圓的光學(xué)性質(zhì) ∠XPF1= ∠YPF2(1)
從相反的頂角可得 ∠UPX= ∠YPF2 (2)
由(1)和(2)兩個方程可得∠XPF1=∠UPX (3)
2a= 上+ PF2 = PF1 + PF2 (4)
由式(4)可得UP=PF1 (5)
由(3)(5)兩個方程可得UF1⊥l，即UF1⊥v(6)
根據(jù)開普勒第二定律，我們得到
制作
(8)
由推論 1 我們得到
(9)
由(7)(8)(9)三個公式可得
(10)
由(6)(10)兩個方程可知，行星90°自轉(zhuǎn)速度矢量圖是一個圓，其中圓心為太陽的位置，所有速度矢量的起點為行星的另一個焦點橢圓，終點在這個圓上，哈密爾頓第一定理得證。
2.2 漢密爾頓第二定理的證明
假設(shè)行星運動的軌道形狀未知。 為了便于說明，如圖4所示，將軌道平面按照以太陽為固定點的角度分為8等份。 每條軌跡與太陽的角度為
假設(shè)分界線與軌道相交處的速度分別為Vn。 將這8個速度矢量的起點移動到一個固定點，如圖5所示。將8個速度矢量的終點依次連接起來，形成一個正八邊形。
連接兩個相鄰速度端點的有向線段為
ΔV=Vn－Vn－1 (11)
從萬有引力定律
(12)
從牛頓第二定律
(13)
容易證明，如果物體所受的合力方向為徑向，則開普勒第二定律成立，角動量守恒為
由式(12)(13)(14)三個式可得
(15)
如圖5(a)所示，軌跡上相鄰的兩點在重力作用下旋轉(zhuǎn)了相同的角度Δθ后，各有向線段的長度ΔV相同，后者的速度變化相對于前一個。 Δθ角，因此速度矢量的端點依次連接形成正八邊形。 當分割邊數(shù)接近無窮大時，正多邊形就變成了圓形。 漢密爾頓第二定理得到證明。 需要注意的是，圓心O并不是速度矢量的起點F。 將速度矢量圖旋轉(zhuǎn)90°后，得到旋轉(zhuǎn)90°的速度矢量圖，如圖5(b)所示。 不難看出，速度矢量圖旋轉(zhuǎn)90°后仍然是一個圓，并且速度矢量的起點就在圓內(nèi)的某處。 在某一固定點，每個速度對應(yīng)的有向線段大小保持不變，方向與速度垂直。
3 由開普勒定律推導(dǎo)出萬有引力定律的幾何證明
接下來，論文將證明萬有引力定律可以由開普勒定律推導(dǎo)出來，即行星運動所施加的力是向心力，指向太陽（橢圓的一個焦點）的位置; 力的大小與距離的平方成反比。
從圖3和定理2（哈密爾頓第一定理）可以看出，滿足開普勒第一、第二定律的90°自轉(zhuǎn)速度矢量圖是一個圓，圓心為太陽和起始點的位置所有速度向量的點。 是橢圓的另一個焦點，終點在圓上，如圖6所示。
圖6中，經(jīng)過很短的時間Δt，速度矢量的終點沿圓弧線從U移動到W，有向線段
這個過程中90°旋轉(zhuǎn)的速度變化ΔV是相同的，并且這個過程的速度變化ΔV垂直于方向。當Δt很短時，存在有向線段。
沿著圓的切線方向，可以得到該過程的速度變化ΔV。 垂直于圓的切線方向，即沿著徑向，行星繞太陽運動時受到的加速度和力與速度變化ΔV方向相同，即都是在徑向。 行星受到太陽引力的影響。
根據(jù)開普勒第二定律，單位時間掃過的面積為
類比向量三角形 ΔF1UW，我們得到
(17)
由(10)(17)兩個方程可得
(18)
由幾何知識可知，UW=2aΔθ (19)
從牛頓第二定律
(20)
將四個式子(16)(18)(19)(20)聯(lián)立可得
（21）
其中 k 是與行星相關(guān)的常數(shù)。
橢圓的面積為S=πab(22)
行星運動周期
（23）
從開普勒第三定律
（24）
將(21)(23)(24)三個式聯(lián)立得
(25)
4π2k1 是一個與行星無關(guān)的常數(shù)。
4 開普勒三定律的幾何證明
4.1 開普勒第一定律的幾何證明
由于太陽對行星的引力是保守的正力，因此行星在運動過程中機械能和角動量守恒。
不妨設(shè)置一下
(28)
從機械能守恒定律來看，R是某個值。
如圖7所示，假設(shè)行星繞太陽運行的軌道為Г（形狀未知），太陽位于O點，A、B分別為行星運動過程中的遠日點和近日點。 根據(jù)漢密爾頓第二定理，速度矢量圖旋轉(zhuǎn)90°是一個圓。 假設(shè)圓以O(shè)為圓心，以R為半徑。 接下來，確定速度矢量的起點F以及速度大小與對應(yīng)有向線段的比例系數(shù)。
由于A和B的勢能處于極值，因此動能也處于極值。 A、B 對應(yīng)的速度垂直于 A、B、O 的連線。在旋轉(zhuǎn) 90° 的速度矢量圖中，速度矢量垂直于對應(yīng)的有向線段。 可知速度矢量的起點F在AOB直線上。
從圖 7 可以得出 FU1 + FU2 = 2R (29)
對于A、B兩點，由角動量守恒可得
L= mv1r1= mv2r2 (30)
由于 FU1 和 FU2 是對應(yīng)于兩點 A 和 B 的速度的有向線段
由式（29）（30）（31）可得
根據(jù)式(32)，速度矢量的起點是圓內(nèi)的固定點。
假設(shè)軌道上任意一點P的速度與對應(yīng)的有向線段FU之間的關(guān)系為FU=kv。 (33)
對于兩點A、B，由能量守恒定律可得
將式(30)代入式(34)消去r1和r2后，將式(34)中的兩個式相減并整理得：
由式(32)(35)可得
(36)
比較兩個方程(33)(36)，可以得到比例系數(shù)
(37)
由以上分析可以得出，旋轉(zhuǎn)90°的速度矢量圖具有以下性質(zhì)。 旋轉(zhuǎn)90°的速度矢量圖是一個圓； 速度矢量的起點F是圓內(nèi)的固定點，速度矢量的終點在圓上； 任意一點的速度v垂直于相應(yīng)的有向線段，且比例系數(shù)為一定值。
如圖8所示，太陽的質(zhì)量為M，位于O點。質(zhì)量為m的行星的初始位置為P0，初速度為v0。 v0 和
之間的角度為 θ0。 接下來，我們需要證明行星的軌道是橢圓形。
以太陽位置O為圓心，R為半徑，畫一個圓。 連接 OP0 并將其延伸至與圓相交。 交點為U0。 畫出 U0 相對于初速度 v0 的對稱點 D（固定點）。 取行星運動過程中任意一點P，設(shè)P點處的速度為v，連接OP并延伸與圓相交，交點為U，OP與速度v的夾角為θ，交點速度 v 和 DU 的點是 X 。
從機械能守恒
(38)
根據(jù)角動量守恒，我們得到 L= θ0 (39)
由幾何關(guān)系可得 DU0 = 2(R－r0) sinθ0 (40)
由式(38)(39)(40)三個式可得
(41)
比較三個方程(33)(37)(41)可以看出，圖8中的D點和圖7中速度矢量的起點F是同一點。 圖8中的圓與圖7中旋轉(zhuǎn)90°的速度同一個圓的矢量圖示。由旋轉(zhuǎn)90°的速度矢量圖的性質(zhì)可以得出，圓上任意點P的速度v行星運動軌道與對應(yīng)的有向線段DU滿足以下關(guān)系
由角動量守恒定律，L=θ (43)
從機械能守恒
(44)
由幾何關(guān)系可知，UX=(R－r)sinθ (45)
求得三個式子 (43) (44) (45) 并可得
(46)
由兩式(42)(46)可得
(47)
由式(47)可得
是一個等腰三角形
即DP+OP=R (48)
行星運動過程中，到兩個固定點D和O的距離之和為一定值R（即橢圓的長軸），因此行星的軌道是橢圓，D和O是橢圓的焦點。 開普勒第一定律被證明。可以訂購
R= 2a（a為行星運動橢圓軌道的半長軸） (49)
4.2 開普勒第二定律的幾何證明
單位時間掃過的面積
(50)
由角動量守恒，很容易得出，單位時間內(nèi)行星與太陽連線所掃過的面積相等。
4.3 開普勒第三定律的證明
根據(jù)圖8畫出圖9。如圖9所示，橢圓是行星運動軌道。 設(shè)橢圓的長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c。 以O(shè)為圓心、R（R等于橢圓長軸）為半徑的圓是行星自轉(zhuǎn)90°的速度矢量圖，D為速度矢量的起點，P為橢圓軌道開普勒第三定律，連接 OP 并延伸與圓相交于 U
設(shè) q= DU，r = OP，R = 2a (51)
由式(42)(47)可得
它是一個等腰三角形。 P 點的速度垂直平分 DU。 設(shè)P點和PU點的速度之間的夾角為θ。
由以上幾何知識，我們得到
(52)
對三角形
由余弦定律
(2c)2 = (2a)2+ q2－2·∠OUD (53)
sinθ=cos∠OUD (54)
來自 (52)(53)(54)
由(27)(42)我們可以得到
(57)
對 (51) 整理 (57) 可得
(58)
由式(50)可得
(59)
由(58)(59)我們可以得到
(60)
開普勒第三定律證明
5 結(jié)論
牛頓的著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》開創(chuàng)了經(jīng)典物理學(xué)的先河，但今天的學(xué)生在學(xué)習(xí)牛頓原著時發(fā)現(xiàn)它對幾何知識的要求非常高，而這在當前的學(xué)校教學(xué)中普遍被忽視。 本文采用幾何推導(dǎo)開普勒問題的方法，梳理開普勒、牛頓、漢密爾頓等人的貢獻，從而培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維。 從開普勒定律推導(dǎo)萬有引力定律時，只用到了漢密爾頓第一定理和高中生已經(jīng)掌握的幾何知識。 學(xué)生容易理解，可以作為今后高中教材的補充閱讀材料，開闊學(xué)生的視野。 。
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基金項目：湖北省教育學(xué)會教師教育專業(yè)委員會2020年度項目（-027）資助。
作者簡介：李杜，男，黃陂區(qū)第一中學(xué)一級教師。 主要研究中學(xué)物理教學(xué)和強基計劃。 姜福金，男，黃陂區(qū)第一中學(xué)高級教師。 他的研究方向是物理問題中的數(shù)學(xué)和數(shù)值模擬。 申請研究，劉英，女，黃陂區(qū)第一中學(xué)二級教師。 主要研究中學(xué)物理教學(xué)及基礎(chǔ)強化方案。
引用格式：李杜，劉英，蔣福進。 開普勒三定律和萬有引力定律的幾何證明[J]. 物理與工程, 2022, 32(3): 125-130.
引用: 李東, 劉宇, 姜鳳杰. 三個定律與定律的證明[J]. , 2022, 32(3): 125-130。 （在 ）
結(jié)尾
