第六章 圓周運動 3 向心加速度 學習目標 1.理解向心加速度的概念。 2.知道向心加速度與線速度、角速度的關系。 3.能運用向心加速度公式解決相關問題。 內(nèi)容索引 整理課本，鞏固基礎 探究重點，提高素養(yǎng) 課內(nèi)練習 逐點實施 整理課本，鞏固基礎 01 勻速圓周運動的加速度方向 一 1.定義：物體做勻速圓周運動時，加速度的總方向叫向心加速度。 2.向心加速度的作用： 向心加速度的方向始終與速度方向相同，所以向心加速度只改變速度，而不改變速度。勻速圓周運動的加速度的大小垂直于圓心方向 II 1.向心加速度公式an= 或an= .2. 向心加速度公式既適用于勻速圓周運動，也適用于非勻速圓周運動。ω2r 即學即用 1.判斷下列說法正確還是錯誤。 （1）物體做勻速圓周運動，加速度一定不為0。（） （2）勻速圓周運動的加速度恒定不變。（） （3）勻速圓周運動是勻速加速運動。（） （4）勻速圓周運動的向心加速度方向始終指向圓心向心加速度課件，其大小保持不變。（） （5）由an= 可知，向心加速度an與半徑r成反比。（） （6）由an=ω2r可知，向心加速度an與半徑r成正比。（） √××√×× 2.一根長0.2米的細繩一端系著一個小球，繩子的另一端固定在水平桌子上。 讓小球在桌面上做勻速圓周運動，線速度為0.6米/秒，小球的角速度為，向心加速度的大小為.3弧度/秒1.8米/秒2 探究提高素養(yǎng)的重點 02 向心加速度及其方向 1.入門探究 如圖1A所示，地球繞太陽做勻速圓周運動（近似值）；如圖B所示，光滑桌面上一個小球在一條細線的牽引下，繞桌面上的一個圖釘做勻速圓周運動。 （1）分析地球和小球所受的力，說明地球和小球的加速度方向； 答：地球只受到太陽引力的作用，指向圓心，加速度方向指向圓心。 小球受到重力、支撐力、拉力的作用，合力指向圓心，所以加速度方向指向圓心。圖1 （2）地球和小球的加速度起什么作用？ 答：由于加速度方向指向圓心，所以加速度只改變速度方向，而不改變速度大小。 （3）地球和小球的加速度方向會改變嗎？什么樣的運動是勻速圓周運動？ 答：由于地球和小球的加速度沿半徑始終指向圓心，所以加速度的方向是變化的，勻速圓周運動是變加速度的曲線運動。 知識加深對向心加速度及其方向的理解 1、向心加速度的方向：始終指向圓心并且其方向時刻在變。 2、向心加速度的影響：向心加速度的方向永遠垂直于速度方向，所以向心加速度只改變速度方向，而不改變速度大小。 3、圓周運動的性質(zhì)： 不管向心加速度的大小是否變化，它的方向一直在變化，所以圓周運動的加速度也一直在變化。圓周運動是變加速度曲線運動。 4、變速圓周運動的加速度不指向圓心。加速度有兩個分量，一個是向心加速度，一個是切向加速度。向心加速度描述的是速度方向變化的快慢，切向加速度描述的是速度大小變化的快慢。所以在變速圓周運動中，向心加速度的方向永遠指向圓心。 例1 下列關于向心加速度的說法中，哪一個是正確的？ A.向心加速度表示做圓周運動的物體速度變化的快慢。 B.向心加速度的方向不一定指向圓心。 C.向心加速度描述的是線速度方向變化的快慢。 D.勻速圓周運動的向心加速度是恒定的√解析：做勻速圓周運動的物體速度是恒定的，向心加速度只改變速度的方向。A錯誤；向心加速度的方向沿著圓周運動軌跡的半徑永遠指向圓心，所以B錯誤；向心加速度描述的是線速度方向變化的快慢，所以C正確；向心加速度的方向會改變，所以D錯誤。 向心加速度的大小 2.向心加速度公式 2.向心加速度公式的適用范圍 向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運動，也適用于非勻速圓周運動。 v 為該位置的線速度，無論物體做勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，其向心加速度方向都是指向圓心的。 三、向心加速度與半徑的關系（如圖2所示） 圖2 例2 如圖3所示，一球面以角速度ω作勻速旋轉(zhuǎn)，球面表面兩點A、B。 下列說法正確的是：AA點與B點的角速度相等，BA點與B點的線速度相等，CA點與B點的向心加速度方向均指向球心，DA點與B點的向心加速度之比為2:1√。 圖3 分析 A、B是球面兩點。 因此，A和A點與B點的角速度與球體繞軸線O1O2旋轉(zhuǎn)的角速度相同，所以A正確；如圖所示，A以P為中心做圓周運動，B以Q為中心做圓周運動，因此A、B點的向心加速度方向分別指向P、Q，C錯誤；例三（2019年大同大學期中考試）如圖4所示的帶傳動裝置中，車輪A的軸線與車輪B、C的軸線均為水平軸線，其中車輪A、C半徑相等，車輪B的半徑為車輪C半徑的一半。點A、B、C分別為車輪A、B、C邊緣上的點。若皮帶在傳動過程中不打滑，則點AA與B的線速度比為2∶1B。點B與C的角速度比為1∶2C。 A、B點的向心加速度比為2∶1D。A、C點的向心加速度比為1∶4√圖4 分析 如果皮帶在傳動過程中不打滑，則A、B點的線速度相等，故vA＝vB，則vA∶vB＝1∶1，A錯誤；B、C點繞同一軸旋轉(zhuǎn)，所以B、C點的角速度相等，ωB＝ωC，則ωB∶ωC＝1∶1，所以B錯誤；由于B、C點的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C點的角速度為 向心加速度之比為aB∶aC=RB∶RC=1∶2，且aA∶aB=1∶2，所以aA∶aC=1∶4，所以D正確。 向心加速度公式應用技巧 向心加速度的每一個公式都涉及三個物理量的變化關系。 需要分析在一個物理量不變的情況下，另外兩個物理量之間的關系。 （1）先判斷各點的線速度是否相等，還是角速度相同。 （2）線速度相等時，向心加速度與半徑成反比，角速度相同時，向心加速度與半徑成正比。 訓練方法總結(jié)（2019·深圳中學期中考試）如圖5所示，自行車小齒輪A、大齒輪B、后輪C為三個相互聯(lián)系的旋轉(zhuǎn)部件，半徑RB＝4RA，RC＝8RA。 當自行車懸浮在空中，大齒輪 B 帶動后輪勻速旋轉(zhuǎn)時，A、B、C 三個車輪邊沿的向心加速度之比為 aA∶aB∶aC 等于 A.1∶1∶8B.4∶1∶4C.4∶1∶32D.1∶2∶4√圖5 課內(nèi)練習，逐點落實 031.（向心加速度公式的理解）關于質(zhì)點作勻速圓周運動，下列說法正確的是 A.根據(jù) an＝可知 an 與 r 成反比B。由 an＝ω2r 可知 an 與 rC 成正比。由 v＝ωr 可知 ω 與 r 成反比D。由 ω＝2πf 可知 ω 與 f 成正比√12342。 （向心加速度公式的理解）（多選題）（2019年·長峰二中下學期期末考試）物體A、B均做勻速圓周運動，下列情況下，關于向心加速度的說法正確的是A.當它們的角速度相等時，若B的線速度小，則B的向心加速度小B.當它們的周期相等時，A.當它們的線速度相等時，若B的半徑較小，則B的向心加速度較小D.當它們的線速度相等時，在同樣的時間內(nèi)，A與圓心連線轉(zhuǎn)過的角度比B的大，則A的向心加速度比B的小。√√1234解析：角速度相等，B的線速度較小。 根據(jù)公式an＝vω可知，A的向心加速度大于B的向心加速度，所以A正確；兩者線速度相等，在相同的時間內(nèi)，A與圓心連線轉(zhuǎn)過的角度比B的大，即A的角速度大 根據(jù)公式an＝ωv可知，A的向心加速度大于B的向心加速度，所以D錯誤。 12343.（向心加速度計算）（2019年·山東省實驗中學期中考試） 某變速箱內(nèi)有A、B、C三個齒輪，如圖6所示，其半徑分別為r1、r2、r3。 設車輪A的角速度為ω勻速旋轉(zhuǎn)，三輪之間不發(fā)生滑移，則車輪C邊上各點的向心加速度為√圖。（向心加速度計算）（多選題）（2019年·遂寧市中學第二學期期末考試）如圖所示如圖7所示，小球A用一條細線拴住，在水平面內(nèi)以半徑為R的勻速圓周運動。當小球A向左運動時，小球A正上方高度為R的B球以速度為水平方向飛出。忽略空氣阻力和重力加速度，為了使小球A在運動一周內(nèi)與小球B相撞，小球A的向心加速度可能是√√圖向心加速度核心能力目標物理概念向心加速度及其方向，向心加速度與線速度的關系，向心加速度與角速度的關系。
科學思維可以在實際情境中運用向心加速度的表現(xiàn)形式來分析處理相關問題。 知識點一：勻速圓周運動中加速度的方向 【看圖助學習】 通過前面的學習，我們已經(jīng)知道物體做曲線運動，速度是要改變的，也就是要有加速度。 如圖所示，在雙人花樣滑冰比賽中，女運動員繞著男運動員做勻速圓周運動。加速度的方向是什么？ 1、物體做勻速圓周運動時的總加速度方向叫向心加速度。 2、向心加速度的方向指向半徑方向，和線速度方向相同。 【思考與判斷】 （1）勻速圓周運動，加速度方向不變。（）（2）勻速圓周運動是勻速加速運動。（）（3）勻速圓周運動是加速度恒定的運動。（ ）圓心垂直于圓心。 對于做勻速圓周運動的物體來說，合力提供的是向心力，即合力指向圓心，所以加速度的方向也指向圓心。向心加速度的方向是時刻在變化的。 知識點2 勻速圓周運動中加速度的大小 向心加速度表達 √××× 重點1 對向心加速度的理解 【問題探索】如圖所示，地球繞太陽做勻速圓周運動（動畫片），小球在水平面內(nèi)繞著繩子的另一端做勻速圓周運動。請思考： （1）在勻速圓周運動過程中，地球和小球的運動狀態(tài)是否發(fā)生了變化？如果發(fā)生了變化，變化的原因是什么？ （2）向心加速度會改變物體速度的大小嗎？ 答案（1）改變。
向心加速度的作用。 （2）向心加速度只改變線速度的方向，而不改變速度大小。 【探索與總結(jié)】1、物理意義描述勻速圓周運動的線速度方向變化有多快，但不表示速度大小變化有多快。 2、方向沿圓周運動的半徑總是指向圓心，即方向總是垂直于運動方向，且時刻在變化。 3、圓周運動的性質(zhì) 不管向心加速度an的大小是否變化，an的方向總是在變化，所以圓周運動的向心加速度總是在變化，圓周運動必定是非勻速加速的曲線運動。 4、變速圓周運動的向心加速度 對于作變速圓周運動的物體，加速度一般不指向圓心，加速度有兩個分量：一個是向心加速度，另一個是切向加速度。 向心加速度表示速度方向變化的快慢，切向加速度表示速度大小變化的快慢。所以，在變速圓周運動中，向心加速度的方向始終指向圓心。 【測試用例】【例1】（多選）關于向心加速度，下列說法正確的是（） A.向心加速度的方向始終垂直于線速度方向 B.向心加速度只改變線速度方向，不改變線速度的大小 C.做圓周運動的物體的加速度方向始終指向圓心 D.做勻速圓周運動的物體的加速度方向始終指向圓心 分析：向心加速度的方向沿半徑指向圓心，線速度方向沿圓的切線方向，所以向心加速度的方向始終垂直于線速度方向，故A正確； 物體做勻速圓周運動時，只有向心加速度，加速度的方向始終指向圓心。向心加速度只改變線速度的方向，而不改變線速度的大小，故B、D正確；正常情況下，圓周運動的向心加速度與切向加速度的合成加速度的方向并不總是指向圓心，故C錯誤。
答案 ABD 【針對性訓練1】物體在做勻速圓周運動時，向心加速度是（） A.大小和方向保持不變 B.大小和方向不斷變化 C.大小和方向不斷變化 D.大小和方向保持不變 不斷變化 答案 D 重點2 向心加速度公式的理解與應用 【問題探索】如圖所示，有兩個嚙合的齒輪，其中A點為小齒輪邊上一點，B點為大齒輪邊上一點，C點為大齒輪中間一點。 （1）哪兩點的向心加速度與半徑成正比？ （2）哪兩點的向心加速度與半徑成反比？ 答案 （1）B、C點的角速度相同，由an=ω2r可知，向心加速度與半徑成正比。 【探索與總結(jié)】 1.從向心加速度方向理解圓周運動的性質(zhì) 向心加速度的方向沿著圓周運動的半徑永遠指向圓心。不管向心加速度an的大小是否變化，an的方向都在不斷變化，所以圓周運動必定是變加速度運動。 2.向心加速度的幾種表達式 3.理解向心加速度的大小與各種量的關系 【測試用例】 【例2】（多選） 如圖所示，小球做勻速圓周運動，角速度為ω，則（）意味著：小球上各點的角速度相等。小球繞中心軸OO′旋轉(zhuǎn)。 答案BCD 【針對性訓練2】（多選） 如圖所示，小球A、B做勻速圓周運動，其向心加速度隨半徑的變化而變化。 從圖中我們可以知道（） A.小球A運動時，其線速度大小不變 B.小球A運動時，其角速度大小不變 C.小球B運動時，其線速度大小不變 D.小球B運動時，其角速度大小不變 答案 AD 分析 角速度ω＝＝ rad/s＝3 rad/s，小球的向心加速度大小為an＝＝ m/s2＝1.8 m/s2。 （1）基本公式： ①an＝； ②an＝ω2r。 （2）擴展公式： ①an＝r； ②an＝4π2n2r＝4π2f?2r； ③an＝ωv.＝＝， D錯誤。 設小球的半徑為R，則A運動的半徑rA＝Rsin 60°，B運動的半徑rB＝°， ＝＝＝， B錯誤； 由于A、B點的線速度相等，半徑比為2∶1，由an＝可知A、B點的向心加速度比為aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，C錯誤；分析：小齒輪A與齒輪B由鏈條連接，邊緣線速度相等，即vA＝vB。小齒輪A與后輪C同軸旋轉(zhuǎn)，角速度相等，故ωA＝ωC。由向心加速度an＝可知aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1；由向心加速度an＝ω2R可知aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，故aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，選項C正確。線速度相等，B點的半徑較小。 根據(jù)公式an＝可知A的向心加速度小于B的向心加速度，所以C錯誤；周期相等，且A的半徑較大。根據(jù)公式an＝()2r可知A的向心加速度大于B的向心加速度，所以B正確；分析：三輪相互不打滑，所以A、C兩邊的線速度相等。根據(jù)an＝及an＝ω2r可得aC＝＝向心加速度課件，所以A正確。分析：B做水平拋射運動。在垂直方向，R＝gt2，所以t＝，則水平位移為x＝v0t＝·＝R。 設小球A在一次運動周期內(nèi)，要與小球B發(fā)生碰撞，根據(jù)幾何關系，當小球A移動或剛好能與小球B發(fā)生碰撞時，則t＝＝或t＝＝，且an＝R，則合并解為：an＝或an＝，因此A、D正確。
