1、自然界中常見物自然界中常見物體繞某中心運動體繞某中心運動的情況的情況.這種情這種情況下況下,僅僅用動僅僅用動量來描述物體的量來描述物體的運動是不夠的運動是不夠的,有必要引入另一有必要引入另一個數學量個數學量角角動量來描述物體動量來描述物體的轉動的轉動.本章內容：本章內容：5-1-1質點的角動量質點的角動量5-1角動量與角動量守恒定理角動量與角動量守恒定理5-1-2質點系的角動量質點系的角動量5-1-3角動量守恒定理角動量守恒定理本節內容：本節內容：質點：慣性運動質點：慣性運動動量是守恒量；動量是守恒量；勻速圓周運動勻速圓周運動動能是守恒量；動能是守恒
2、量；橢圓運動橢圓運動守恒量？守恒量？1.第一定理：行星在一個平面內做橢圓運動，太第一定理：行星在一個平面內做橢圓運動，太陽坐落焦點位置。陽坐落焦點位置。6-1-1質點的質點的方向：L垂直于r和p平面zyxzyxpppkjikjiL縱向速率縱向速率LL在某方向(如z軸)的投影為對該軸的角動量:xyzypxpL)(prkLkItmrtxytyxmLZdd)dddd(2可見,Lz完全由r和p在垂直于z軸的平面內的份量確定I=mr2稱為質點對z軸的轉動力矩.當質點m繞z軸作直徑r的圓周運動,x
3、=rcos,y=rsin,即得:例例質點直線運動對某定點的角動量：質點直線運動對某定點的角動量：大小：大小：方向：方向：思索思索:哪些情況下哪些情況下L=0？Omrdv等于零嗎等于零嗎？5-1-2質點系的質點系的LLrpiiiii各各Li對同一參考點而言對同一參考點而言當質點系中任一質點均繞z軸以同一角速率作圓周運動,質點系對z軸的角動量為各質點對z軸的角動量Liz=miri2之和LmrIzii2Imrii2質點系對z軸的轉動力矩轉動力矩Om1m2H1r2rtd
4、pd2tdpd12211rrOHtptpdddd21由兩個互相作用質點組成的孤立體系的動量守恒。由兩個互相作用質點組成的孤立體系的動量守恒。這么該體系的角動量是不是也是一個守恒量呢？這么該體系的角動量是不是也是一個守恒量呢？12由動量守恒定理由動量守恒定理2dd2dd21OHtpOHtptd)prd(tdpdrtdpdOHtdpd21212sin2rvptprtrptprtprddddddd)d(5-1-3Om1m2H1r2
5、rtpdd1tpdd212tprtprd)d(d)d(2211注意到叉積的方向注意到叉積的方向,,所以：所以：)(dd)(dd2211prtprt0)(dd2211prprt經常矢矢量量2211prpr由兩個互相作用的質點構成的孤立體系由兩個互相作用的質點構成的孤立體系,,不僅動不僅動量之外量之外,,角動量也是一個守恒量角動量也是一個守恒量..孤立體系對任意一點的弱冠動量保持恒定孤立體系對任意一點的弱冠動量保持恒定,,即即時常矢矢量量iLL互相作用過程中互相作用過程中,,角動量等量地
6、從一個質點轉移到角動量等量地從一個質點轉移到另一個質點另一個質點這就是這就是角動量守恒定理角動量守恒定理..它與動量守恒定理一樣它與動量守恒定理一樣,,也是數學學中最基本的普適原理之一也是數學學中最基本的普適原理之一..之后將說之后將說明明,,從現代數學的高度來看從現代數學的高度來看,,角動量守恒定理是空角動量守恒定理是空間各向同性間各向同性((旋轉對稱性旋轉對稱性))的直接結論的直接結論..2121LLLL)(1122LLLL5-2-1扭力扭力5-2扭力扭力質點的角動量定律質點的角動量定律5-2-2質點的角動量定律質點的角動量定律5-2-3
7、質點在有心力作用下的運動質點在有心力作用下的運動本節內容：本節內容：方向用左手螺旋法規定方向用左手螺旋法規定FrMrFFrMZXYO定義為力定義為力f對對O點的點的轉矩。轉矩。有心力對力心的扭矩恒為零有心力對力心的扭矩恒為零一中的表達式：對學校的表達式：對OO點的扭矩點的扭矩MMMrFo對對ZZ軸的扭矩軸的扭矩MkMzBdtAddtBdABAdtd)(*微分公式微分公式dtLdM質點的角動量定律質點的角動量定律)(vmrdtddtLd考慮：考慮：dtpdrvmrdtd)(
8、vFFr注意：（注意：（1）用于慣性系）用于慣性系（2）相對于同一點相對于同一點ML,122121LLtt點的沖量矩內對為質點在OtdtMtt21ILz對于繞對于繞z軸做圓周運動的質點軸做圓周運動的質點)(IdtddtdLMzz5.4;5.6;5.8;5.95-3-1質點系的角動量定律質點系的角動量定律5-3質點系的角動量定律及應用質點系的角動量定律及應用5-3-2質點系角動量守恒的條件質點系角動量守恒的條件5-3-3質情系中的角動量定律質情系中的角動量定律本節內容：本節內容：證明：一對作
9、用力、反斥力對定點（定軸）的證明：一對斥力、反斥力對定點（定軸）的合扭矩等于零。合扭矩等于零。111frM222frM21ff0)(2212frfrro2r1rr2f1fiiiPrLiiiiiiPtrPrttLddddddFFiiPPiiojrjfifirji)(內內外外ijijiiifFr因為一對斥力、反斥力的合扭矩等于零。因為一對斥力、反斥力的合扭矩等于零。iFiirtL外外
10、ddtLMdd外外質點系對某定點的角動量對時間的變化率質點系對某定點的角動量對時間的變化率,,等等于作用于該質點系上所有外力對該點的扭矩于作用于該質點系上所有外力對該點的扭矩的矢量和的矢量和,,稱為稱為質點系的角動量定律。質點系的角動量定律。tLMdd外外質點系對某定點的角動量對時間的變化率,等于作用于質點系的外扭矩的矢量和(1)內扭矩的矢量和恒為零.內扭力不改變總扭矩,但改變角動量在質點間的分配(2)外力的矢量和為零時,外扭矩的矢量和可不為零質心(3)L與M是對同一參考點同一時刻而言的iiiiittitt0
11、2121dd外外外外質點系角動量定律的積分方式。質點系角動量定律的積分方式。是外扭矩的矢量和對時間的累積是外扭矩的矢量和對時間的累積,,稱為稱為角沖量或沖量矩角沖量或沖量矩..21dMttt外外質點系質點系((對質點也一樣對質點也一樣))角動量的變化是扭矩的矢角動量的變化是扭矩的矢量和對時間累積作用的結果量和對時間累積作用的結果..解解:取Oxz座標系,轉動為z軸方向,棒上元段dx所受磨擦力:對O點扭力均沿z軸的負方向:當直棒旋轉的角速率為時,它的角動量為由角動量定律Mz=dLz/dt可得可見棒作勻減角速率轉動.xlmgmgFd
12、ddxxlm202041d2d2llzmglxxlmgMM22020221212d2llmldxlmxmxLLzlgt3dd例例質量為m,長為l的均勻直棒在粗糙桌面上繞中心軸旋轉,棒與桌面間的磨擦系數為,求磨擦轉矩和棒的角速率的變化率.即：即：盡管似乎,但對某軸外扭力為零但對某軸外扭力為零,則弱冠則弱冠動量不守恒動量不守恒,但對這軸的角動量是守恒的但對這軸的角動量是守恒的.0iM3..由份量式：由份量式：0常量常量月球會掉到太陽起來嗎?星體為何成扁盤狀?1.孤立系。孤立系。為
13、什么星體是扁狀，盤型結構？18世紀哲學家提出星云說，覺得太陽系是由氣云組世紀哲學家提出星云說，覺得太陽系是由氣云組成的。氣云原先很大，由自身引力而收縮，最后聚成的。氣云原先很大，由自身引力而收縮，最后聚集成一個個行星、衛星及太陽本身。并且萬有引力集成一個個行星、衛星及太陽本身。并且萬有引力為何不能把所有的天體吸引在一起而是產生一個為何不能把所有的天體吸引在一起而是產生一個扁平的盤狀？康德覺得不僅引力還有作用力，把向心扁平的盤狀？康德覺得不僅引力還有作用力，把向心加速的天體散射到個方向。加速的天體散射到個方向。19世紀物理家拉普拉斯世紀物理家拉普拉斯建立了康德的星云說，建立了康德的
14、星云說，強調旋轉盤狀結構的動因是強調旋轉盤狀結構的動因是角動量守恒。角動量守恒。我們可以把天體系統看成是不受外力我們可以把天體系統看成是不受外力的孤立系統。原始氣云彌漫在很大的范圍內具有一的孤立系統。原始氣云彌漫在很大的范圍內具有一定的初始角動量定的初始角動量J，當，當r變小的時，變小的時，在垂直在垂直J的橫方的橫方向速率要減小，而平行向速率要減小角動量定理的實際應用，而平行J方向沒有這個問題方向沒有這個問題，所以角動量定理的實際應用，所以天體就產生了朝同一個方向旋轉的盤狀結構。天體就產生了朝同一個方向旋轉的盤狀結構。例例:質量為質量為m的小球系在繩的一端，另一端通過圓孔向的小球系在繩的一端，另一端通過圓孔向下，水平
15、面光滑，開始小球作圓周運動（下，水平面光滑，開始小球作圓周運動（r1,v1)雪雪后向上拉繩，使小球的運動軌跡為后向上拉繩，使小球的運動軌跡為r2的圓周的圓周求：求：v2=？v1r1r2FOv2解：解：作用在小球的力始作用在小球的力始終通過終通過O點（有點（有心力）由質點角心力）由質點角動量守恒：動量守恒：2211)()(12112vrrvv2.有心力場有心力場,,對力心角動量守恒對力心角動量守恒..3.其實即使,,但對某軸外扭力為零但對某軸外扭力為零,,則弱冠動量不則弱冠動量不守恒守恒,,但對這軸的角動量是守恒的但
16、對這軸的角動量是守恒的..0iM在質心中常常用到在質心中常常用到例例題題直徑為直徑為r的輕滑輪的中心軸的輕滑輪的中心軸O水水平地固定在高處平地固定在高處,其上穿過一條輕繩其上穿過一條輕繩,質質量相同量相同的三人的三人A、B以不同的爬繩速度以不同的爬繩速度vA、vB從同一高度同時向下爬從同一高度同時向下爬,試問誰試問誰先抵達先抵達O處？處？對滑輪的軸的外扭力為零對滑輪的軸的外扭力為零,,則對該軸系統弱冠動量是則對該軸系統弱冠動量是守恒的守恒的..可見可見,不論不論A、B對繩的速度對繩的速度vA、vB如怎樣何,兩人對兩人對OO的速度相同的速度相同,解解:對
17、象對象:滑輪滑輪+繩繩+A+B,0BABAvv則則受外力受外力:mAg=mBg=mg,N,對對z軸的合力為軸的合力為0.對對z軸軸,系統角動量守恒系統角動量守恒,A,B對對OO點速度點速度vA,vB,初始時刻系統角動量為零初始時刻系統角動量為零,則則:z軸正向軸正向:OO點向外點向外.故將故將同時同時抵達抵達OO點點.總結：總結：4.4.角動量守恒定理只適用于慣性系。角動量守恒定理只適用于慣性系。2.2.守港股過程中任意時刻。守港股過程中任意時刻。3.3.角動量守恒定理是獨立于牛頓定理的自然界角動量守恒定理是獨立于牛頓定理的自然界中
18、更普適的定理之一。中更普適的定理之一。1.1.角動量守恒條件：合外扭力為零。外力為零，角動量守恒條件：合外扭力為零。外力為零，扭力不一定為零，反之也然。扭力不一定為零，反之也然。CCCC)()(mmmmmmCC1.角動量固有軌道iiii)(mMCC2.角動量定律tMttMttdd)(dddd)(ddddCCCC固有固有LVRLVRLiiiiCii外)(外外外iitdd固有外LM方式上與慣性系一樣
19、僅受重力作用的物體,對剛體的角動量不變(拋體),跳水:縮-快,展-慢對稱性對稱性-物體的狀態在一定的變換下具有的不變性物體的狀態在一定的變換下具有的不變性。藝術中的對稱性藝術中的對稱性5-4對稱性與守恒定理對稱性與守恒定理文學中的對稱性文學中的對稱性廣州自來水來自海上廣州自來水來自海上南山長生松生長山南南山長生松生長山南數學學中的對稱性化學學中的對稱性*狀態的對稱性狀態的對稱性*規律的對稱性規律的對稱性客上天然居，竟然天上客客上天然居，竟然天上客(乾隆下聯)人過大佛殿，寺佛大過人人過大報恩寺，寺佛大過人(紀曉嵐上聯)僧游云隱寺，寺隱云游僧僧游云隱寺，寺隱云游僧
20、(張璉上聯)研究數學規律的對稱性的意義研究數學規律的對稱性的意義：在探求未知的數學規律的時侯在探求未知的數學規律的時侯,可以以普可以以普遍的對稱性作為指引；遍的對稱性作為指引；數學規律的對稱性數學規律的對稱性-化學規律在一定變換數學規律在一定變換下的不變性。下的不變性。即某種化學狀態或過程在一定的變換下即某種化學狀態或過程在一定的變換下(例例如轉動、平移等等如轉動、平移等等)，它所服從的數學規律不，它所服從的數學規律不變。變。空間平移不變性空間平移不變性動量守恒動量守恒空間轉動不變性空間轉動不變性角動量守恒角動量守恒時間平移不變性時間平移不變性能量守恒能量守恒空間反演不
21、變性空間反演不變性宇稱守恒宇稱守恒整體規范不變性整體規范不變性電荷守恒電荷守恒數學規律的每一種對稱性數學規律的每一種對稱性(即不變性即不變性)一般都一般都相應于一種守恒定理。相應于一種守恒定理。空間反演不變性空間反演不變性空間反演空間反演:-，(,）（,）空間反演實質上和存盤變換等價。空間反演實質上和存盤變換等價。存盤變換把右手弄成手指，存盤變換把右手弄成手指，左左右對稱。右對稱。左右對稱的兩個狀態或兩種過程都服從同左右對稱的兩個狀態或兩種過程都服從同樣的化學規律。樣的化學規律。它們在自然界中都同樣還能存在或發生。它們在自然界中都同樣還能存在或發生。雖然在存盤變換下
22、，化學過程的狀態變雖然在存盤變換下，化學過程的狀態變化了，但它們服從的數學規律卻沒有變，化了，但它們服從的數學規律卻沒有變，這就是數學規律的空間反演不變性。這就是數學規律的空間反演不變性。f=ma-f=-ma1.1.互相作用受守恒定理的約束互相作用受守恒定理的約束;;2.2.守恒定理是對稱性的反映守恒定理是對稱性的反映;;(1).(1).平移對稱性平移對稱性--動量守恒定理動量守恒定理;;)()()(r,rr,rr,rpppEEpEOO)()()(1222rrr,rr,r11pppEEExppppxFxxExxxExxExxExF212212121211.)()()1()(.)(ii021FF常矢量21pp(2).(2).旋轉對稱性旋轉對稱性((各向同性各向同性)-)-角動量守恒定理角動量守恒定理;;(3).(3).時間均勻對稱性時間均勻對稱性--能量守恒定理能量守恒定理;;E..定律定律::假如運動規律在某一不顯著依賴于時間的變換下具有不變性,必存在與之對應的守恒定理作業：作業：5.115.11；5.145.14；5.155.15
