1、自然界中常見物自然界中常見物體繞某中心運(yùn)動(dòng)體繞某中心運(yùn)動(dòng)的情況的情況.這種情這種情況下況下,僅僅用動(dòng)僅僅用動(dòng)量來描述物體的量來描述物體的運(yùn)動(dòng)是不夠的運(yùn)動(dòng)是不夠的,有必要引入另一有必要引入另一個(gè)數(shù)學(xué)量個(gè)數(shù)學(xué)量角角動(dòng)量來描述物體動(dòng)量來描述物體的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng).本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：5-1-1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量5-1角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定理5-1-2質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量5-1-3角動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量守恒定理本節(jié)內(nèi)容：本節(jié)內(nèi)容：質(zhì)點(diǎn)：慣性運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)：慣性運(yùn)動(dòng)動(dòng)量是守恒量；動(dòng)量是守恒量；勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)能是守恒量；動(dòng)能是守恒
2、量；橢圓運(yùn)動(dòng)橢圓運(yùn)動(dòng)守恒量？守恒量？1.第一定理：行星在一個(gè)平面內(nèi)做橢圓運(yùn)動(dòng)，太第一定理：行星在一個(gè)平面內(nèi)做橢圓運(yùn)動(dòng)，太陽坐落焦點(diǎn)位置。陽坐落焦點(diǎn)位置。6-1-1質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的方向：L垂直于r和p平面zyxzyxpppkjikjiL縱向速率縱向速率LL在某方向(如z軸)的投影為對(duì)該軸的角動(dòng)量:xyzypxpL)(prkLkItmrtxytyxmLZdd)dddd(2可見,Lz完全由r和p在垂直于z軸的平面內(nèi)的份量確定I=mr2稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)m繞z軸作直徑r的圓周運(yùn)動(dòng),x
3、=rcos,y=rsin,即得:例例質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)對(duì)某定點(diǎn)的角動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)對(duì)某定點(diǎn)的角動(dòng)量：大小：大?。悍较颍悍较颍核妓魉妓?哪些情況下哪些情況下L=0？Omrdv等于零嗎等于零嗎？5-1-2質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)系的LLrpiiiii各各Li對(duì)同一參考點(diǎn)而言對(duì)同一參考點(diǎn)而言當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)均繞z軸以同一角速率作圓周運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z軸的角動(dòng)量為各質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的角動(dòng)量Liz=miri2之和LmrIzii2Imrii2質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩轉(zhuǎn)動(dòng)力矩Om1m2H1r2rtd
4、pd2tdpd12211rrOHtptpdddd21由兩個(gè)互相作用質(zhì)點(diǎn)組成的孤立體系的動(dòng)量守恒。由兩個(gè)互相作用質(zhì)點(diǎn)組成的孤立體系的動(dòng)量守恒。這么該體系的角動(dòng)量是不是也是一個(gè)守恒量呢？這么該體系的角動(dòng)量是不是也是一個(gè)守恒量呢？12由動(dòng)量守恒定理由動(dòng)量守恒定理2dd2dd21OHtpOHtptd)prd(tdpdrtdpdOHtdpd21212sin2rvptprtrptprtprddddddd)d(5-1-3Om1m2H1r2
5、rtpdd1tpdd212tprtprd)d(d)d(2211注意到叉積的方向注意到叉積的方向,,所以：所以：)(dd)(dd2211prtprt0)(dd2211prprt經(jīng)常矢矢量量2211prpr由兩個(gè)互相作用的質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的孤立體系由兩個(gè)互相作用的質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的孤立體系,,不僅動(dòng)不僅動(dòng)量之外量之外,,角動(dòng)量也是一個(gè)守恒量角動(dòng)量也是一個(gè)守恒量..孤立體系對(duì)任意一點(diǎn)的弱冠動(dòng)量保持恒定孤立體系對(duì)任意一點(diǎn)的弱冠動(dòng)量保持恒定,,即即時(shí)常矢矢量量iLL互相作用過程中互相作用過程中,,角動(dòng)量等量地
6、從一個(gè)質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到角動(dòng)量等量地從一個(gè)質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)這就是這就是角動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量守恒定理..它與動(dòng)量守恒定理一樣它與動(dòng)量守恒定理一樣,,也是數(shù)學(xué)學(xué)中最基本的普適原理之一也是數(shù)學(xué)學(xué)中最基本的普適原理之一..之后將說之后將說明明,,從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度來看從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度來看,,角動(dòng)量守恒定理是空角動(dòng)量守恒定理是空間各向同性間各向同性((旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性))的直接結(jié)論的直接結(jié)論..2121LLLL)(1122LLLL5-2-1扭力扭力5-2扭力扭力質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律5-2-2質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律5-2-3
7、質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)本節(jié)內(nèi)容：本節(jié)內(nèi)容：方向用左手螺旋法規(guī)定方向用左手螺旋法規(guī)定FrMrFFrMZXYO定義為力定義為力f對(duì)對(duì)O點(diǎn)的點(diǎn)的轉(zhuǎn)矩。轉(zhuǎn)矩。有心力對(duì)力心的扭矩恒為零有心力對(duì)力心的扭矩恒為零一中的表達(dá)式：對(duì)學(xué)校的表達(dá)式：對(duì)OO點(diǎn)的扭矩點(diǎn)的扭矩MMMrFo對(duì)對(duì)ZZ軸的扭矩軸的扭矩MkMzBdtAddtBdABAdtd)(*微分公式微分公式dtLdM質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律)(vmrdtddtLd考慮：考慮：dtpdrvmrdtd)(
8、vFFr注意：（注意：（1）用于慣性系）用于慣性系（2）相對(duì)于同一點(diǎn)相對(duì)于同一點(diǎn)ML,122121LLtt點(diǎn)的沖量矩內(nèi)對(duì)為質(zhì)點(diǎn)在OtdtMtt21ILz對(duì)于繞對(duì)于繞z軸做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn))(IdtddtdLMzz5.4;5.6;5.8;5.95-3-1質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定律質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定律5-3質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定律及應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定律及應(yīng)用5-3-2質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒的條件質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒的條件5-3-3質(zhì)情系中的角動(dòng)量定律質(zhì)情系中的角動(dòng)量定律本節(jié)內(nèi)容：本節(jié)內(nèi)容：證明：一對(duì)作
9、用力、反斥力對(duì)定點(diǎn)（定軸）的證明：一對(duì)斥力、反斥力對(duì)定點(diǎn)（定軸）的合扭矩等于零。合扭矩等于零。111frM222frM21ff0)(2212frfrro2r1rr2f1fiiiPrLiiiiiiPtrPrttLddddddFFiiPPiiojrjfifirji)(內(nèi)內(nèi)外外ijijiiifFr因?yàn)橐粚?duì)斥力、反斥力的合扭矩等于零。因?yàn)橐粚?duì)斥力、反斥力的合扭矩等于零。iFiirtL外外
10、ddtLMdd外外質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率,,等等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)該點(diǎn)的扭矩于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)該點(diǎn)的扭矩的矢量和的矢量和,,稱為稱為質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定律。質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定律。tLMdd外外質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率,等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外扭矩的矢量和(1)內(nèi)扭矩的矢量和恒為零.內(nèi)扭力不改變總扭矩,但改變角動(dòng)量在質(zhì)點(diǎn)間的分配(2)外力的矢量和為零時(shí),外扭矩的矢量和可不為零質(zhì)心(3)L與M是對(duì)同一參考點(diǎn)同一時(shí)刻而言的iiiiittitt0
11、2121dd外外外外質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定律的積分方式。質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定律的積分方式。是外扭矩的矢量和對(duì)時(shí)間的累積是外扭矩的矢量和對(duì)時(shí)間的累積,,稱為稱為角沖量或沖量矩角沖量或沖量矩..21dMttt外外質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系((對(duì)質(zhì)點(diǎn)也一樣對(duì)質(zhì)點(diǎn)也一樣))角動(dòng)量的變化是扭矩的矢角動(dòng)量的變化是扭矩的矢量和對(duì)時(shí)間累積作用的結(jié)果量和對(duì)時(shí)間累積作用的結(jié)果..解解:取Oxz座標(biāo)系,轉(zhuǎn)動(dòng)為z軸方向,棒上元段dx所受磨擦力:對(duì)O點(diǎn)扭力均沿z軸的負(fù)方向:當(dāng)直棒旋轉(zhuǎn)的角速率為時(shí),它的角動(dòng)量為由角動(dòng)量定律Mz=dLz/dt可得可見棒作勻減角速率轉(zhuǎn)動(dòng).xlmgmgFd
12、ddxxlm202041d2d2llzmglxxlmgMM22020221212d2llmldxlmxmxLLzlgt3dd例例質(zhì)量為m,長為l的均勻直棒在粗糙桌面上繞中心軸旋轉(zhuǎn),棒與桌面間的磨擦系數(shù)為,求磨擦轉(zhuǎn)矩和棒的角速率的變化率.即：即：盡管似乎,但對(duì)某軸外扭力為零但對(duì)某軸外扭力為零,則弱冠則弱冠動(dòng)量不守恒動(dòng)量不守恒,但對(duì)這軸的角動(dòng)量是守恒的但對(duì)這軸的角動(dòng)量是守恒的.0iM3..由份量式：由份量式：0常量常量月球會(huì)掉到太陽起來嗎?星體為何成扁盤狀?1.孤立系。孤立系。為
13、什么星體是扁狀，盤型結(jié)構(gòu)？18世紀(jì)哲學(xué)家提出星云說，覺得太陽系是由氣云組世紀(jì)哲學(xué)家提出星云說，覺得太陽系是由氣云組成的。氣云原先很大，由自身引力而收縮，最后聚成的。氣云原先很大，由自身引力而收縮，最后聚集成一個(gè)個(gè)行星、衛(wèi)星及太陽本身。并且萬有引力集成一個(gè)個(gè)行星、衛(wèi)星及太陽本身。并且萬有引力為何不能把所有的天體吸引在一起而是產(chǎn)生一個(gè)為何不能把所有的天體吸引在一起而是產(chǎn)生一個(gè)扁平的盤狀？康德覺得不僅引力還有作用力，把向心扁平的盤狀？康德覺得不僅引力還有作用力，把向心加速的天體散射到個(gè)方向。加速的天體散射到個(gè)方向。19世紀(jì)物理家拉普拉斯世紀(jì)物理家拉普拉斯建立了康德的星云說，建立了康德的
14、星云說，強(qiáng)調(diào)旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)的動(dòng)因是強(qiáng)調(diào)旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)的動(dòng)因是角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒。我們可以把天體系統(tǒng)看成是不受外力我們可以把天體系統(tǒng)看成是不受外力的孤立系統(tǒng)。原始?xì)庠茝浡诤艽蟮姆秶鷥?nèi)具有一的孤立系統(tǒng)。原始?xì)庠茝浡诤艽蟮姆秶鷥?nèi)具有一定的初始角動(dòng)量定的初始角動(dòng)量J，當(dāng)，當(dāng)r變小的時(shí)，變小的時(shí)，在垂直在垂直J的橫方的橫方向速率要減小，而平行向速率要減小角動(dòng)量定理的實(shí)際應(yīng)用，而平行J方向沒有這個(gè)問題方向沒有這個(gè)問題，所以角動(dòng)量定理的實(shí)際應(yīng)用，所以天體就產(chǎn)生了朝同一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)的盤狀結(jié)構(gòu)。天體就產(chǎn)生了朝同一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)的盤狀結(jié)構(gòu)。例例:質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系在繩的一端，另一端通過圓孔向的小球系在繩的一端，另一端通過圓孔向下，水平
15、面光滑，開始小球作圓周運(yùn)動(dòng)（下，水平面光滑，開始小球作圓周運(yùn)動(dòng)（r1,v1)雪雪后向上拉繩，使小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為后向上拉繩，使小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為r2的圓周的圓周求：求：v2=？v1r1r2FOv2解：解：作用在小球的力始作用在小球的力始終通過終通過O點(diǎn)（有點(diǎn)（有心力）由質(zhì)點(diǎn)角心力）由質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒：動(dòng)量守恒：2211)()(12112vrrvv2.有心力場(chǎng)有心力場(chǎng),,對(duì)力心角動(dòng)量守恒對(duì)力心角動(dòng)量守恒..3.其實(shí)即使,,但對(duì)某軸外扭力為零但對(duì)某軸外扭力為零,,則弱冠動(dòng)量不則弱冠動(dòng)量不守恒守恒,,但對(duì)這軸的角動(dòng)量是守恒的但
16、對(duì)這軸的角動(dòng)量是守恒的..0iM在質(zhì)心中常常用到在質(zhì)心中常常用到例例題題直徑為直徑為r的輕滑輪的中心軸的輕滑輪的中心軸O水水平地固定在高處平地固定在高處,其上穿過一條輕繩其上穿過一條輕繩,質(zhì)質(zhì)量相同量相同的三人的三人A、B以不同的爬繩速度以不同的爬繩速度vA、vB從同一高度同時(shí)向下爬從同一高度同時(shí)向下爬,試問誰試問誰先抵達(dá)先抵達(dá)O處？處？對(duì)滑輪的軸的外扭力為零對(duì)滑輪的軸的外扭力為零,,則對(duì)該軸系統(tǒng)弱冠動(dòng)量是則對(duì)該軸系統(tǒng)弱冠動(dòng)量是守恒的守恒的..可見可見,不論不論A、B對(duì)繩的速度對(duì)繩的速度vA、vB如怎樣何,兩人對(duì)兩人對(duì)OO的速度相同的速度相同,解解:對(duì)
17、象對(duì)象:滑輪滑輪+繩繩+A+B,0BABAvv則則受外力受外力:mAg=mBg=mg,N,對(duì)對(duì)z軸的合力為軸的合力為0.對(duì)對(duì)z軸軸,系統(tǒng)角動(dòng)量守恒系統(tǒng)角動(dòng)量守恒,A,B對(duì)對(duì)OO點(diǎn)速度點(diǎn)速度vA,vB,初始時(shí)刻系統(tǒng)角動(dòng)量為零初始時(shí)刻系統(tǒng)角動(dòng)量為零,則則:z軸正向軸正向:OO點(diǎn)向外點(diǎn)向外.故將故將同時(shí)同時(shí)抵達(dá)抵達(dá)OO點(diǎn)點(diǎn).總結(jié)：總結(jié)：4.4.角動(dòng)量守恒定理只適用于慣性系。角動(dòng)量守恒定理只適用于慣性系。2.2.守港股過程中任意時(shí)刻。守港股過程中任意時(shí)刻。3.3.角動(dòng)量守恒定理是獨(dú)立于牛頓定理的自然界角動(dòng)量守恒定理是獨(dú)立于牛頓定理的自然界中
18、更普適的定理之一。中更普適的定理之一。1.1.角動(dòng)量守恒條件：合外扭力為零。外力為零，角動(dòng)量守恒條件：合外扭力為零。外力為零，扭力不一定為零，反之也然。扭力不一定為零，反之也然。CCCC)()(mmmmmmCC1.角動(dòng)量固有軌道iiii)(mMCC2.角動(dòng)量定律tMttMttdd)(dddd)(ddddCCCC固有固有LVRLVRLiiiiCii外)(外外外iitdd固有外LM方式上與慣性系一樣
19、僅受重力作用的物體,對(duì)剛體的角動(dòng)量不變(拋體),跳水:縮-快,展-慢對(duì)稱性對(duì)稱性-物體的狀態(tài)在一定的變換下具有的不變性物體的狀態(tài)在一定的變換下具有的不變性。藝術(shù)中的對(duì)稱性藝術(shù)中的對(duì)稱性5-4對(duì)稱性與守恒定理對(duì)稱性與守恒定理文學(xué)中的對(duì)稱性文學(xué)中的對(duì)稱性廣州自來水來自海上廣州自來水來自海上南山長生松生長山南南山長生松生長山南數(shù)學(xué)學(xué)中的對(duì)稱性化學(xué)學(xué)中的對(duì)稱性*狀態(tài)的對(duì)稱性狀態(tài)的對(duì)稱性*規(guī)律的對(duì)稱性規(guī)律的對(duì)稱性客上天然居，竟然天上客客上天然居，竟然天上客(乾隆下聯(lián))人過大佛殿，寺佛大過人人過大報(bào)恩寺，寺佛大過人(紀(jì)曉嵐上聯(lián))僧游云隱寺，寺隱云游僧僧游云隱寺，寺隱云游僧
20、(張璉上聯(lián))研究數(shù)學(xué)規(guī)律的對(duì)稱性的意義研究數(shù)學(xué)規(guī)律的對(duì)稱性的意義：在探求未知的數(shù)學(xué)規(guī)律的時(shí)侯在探求未知的數(shù)學(xué)規(guī)律的時(shí)侯,可以以普可以以普遍的對(duì)稱性作為指引；遍的對(duì)稱性作為指引；數(shù)學(xué)規(guī)律的對(duì)稱性數(shù)學(xué)規(guī)律的對(duì)稱性-化學(xué)規(guī)律在一定變換數(shù)學(xué)規(guī)律在一定變換下的不變性。下的不變性。即某種化學(xué)狀態(tài)或過程在一定的變換下即某種化學(xué)狀態(tài)或過程在一定的變換下(例例如轉(zhuǎn)動(dòng)、平移等等如轉(zhuǎn)動(dòng)、平移等等)，它所服從的數(shù)學(xué)規(guī)律不，它所服從的數(shù)學(xué)規(guī)律不變。變?？臻g平移不變性空間平移不變性動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒時(shí)間平移不變性時(shí)間平移不變性能量守恒能量守恒空間反演不
21、變性空間反演不變性宇稱守恒宇稱守恒整體規(guī)范不變性整體規(guī)范不變性電荷守恒電荷守恒數(shù)學(xué)規(guī)律的每一種對(duì)稱性數(shù)學(xué)規(guī)律的每一種對(duì)稱性(即不變性即不變性)一般都一般都相應(yīng)于一種守恒定理。相應(yīng)于一種守恒定理?？臻g反演不變性空間反演不變性空間反演空間反演:-，(,）（,）空間反演實(shí)質(zhì)上和存盤變換等價(jià)?？臻g反演實(shí)質(zhì)上和存盤變換等價(jià)。存盤變換把右手弄成手指，存盤變換把右手弄成手指，左左右對(duì)稱。右對(duì)稱。左右對(duì)稱的兩個(gè)狀態(tài)或兩種過程都服從同左右對(duì)稱的兩個(gè)狀態(tài)或兩種過程都服從同樣的化學(xué)規(guī)律。樣的化學(xué)規(guī)律。它們?cè)谧匀唤缰卸纪瑯舆€能存在或發(fā)生。它們?cè)谧匀唤缰卸纪瑯舆€能存在或發(fā)生。雖然在存盤變換下
22、，化學(xué)過程的狀態(tài)變雖然在存盤變換下，化學(xué)過程的狀態(tài)變化了，但它們服從的數(shù)學(xué)規(guī)律卻沒有變，化了，但它們服從的數(shù)學(xué)規(guī)律卻沒有變，這就是數(shù)學(xué)規(guī)律的空間反演不變性。這就是數(shù)學(xué)規(guī)律的空間反演不變性。f=ma-f=-ma1.1.互相作用受守恒定理的約束互相作用受守恒定理的約束;;2.2.守恒定理是對(duì)稱性的反映守恒定理是對(duì)稱性的反映;;(1).(1).平移對(duì)稱性平移對(duì)稱性--動(dòng)量守恒定理動(dòng)量守恒定理;;)()()(r,rr,rr,rpppEEpEOO)()()(1222rrr,rr,r11pppEEExppppxFxxExxxExxExxExF212212121211.)()()1()(.)(ii021FF常矢量21pp(2).(2).旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性((各向同性各向同性)-)-角動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量守恒定理;;(3).(3).時(shí)間均勻?qū)ΨQ性時(shí)間均勻?qū)ΨQ性--能量守恒定理能量守恒定理;;E..定律定律::假如運(yùn)動(dòng)規(guī)律在某一不顯著依賴于時(shí)間的變換下具有不變性,必存在與之對(duì)應(yīng)的守恒定理作業(yè)：作業(yè)：5.115.11；5.145.14；5.155.15
