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人教版八年級(jí)下冊(cè)化學(xué)《凸透鏡成像的規(guī)律》教案
教學(xué)目標(biāo)
1.通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究凸透鏡成像的基本規(guī)律。
2.初步學(xué)習(xí)按照探究目的擬定的探究計(jì)劃和選擇實(shí)驗(yàn)須要的器材。
3.通過(guò)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)中學(xué)生的實(shí)驗(yàn)操作能力和對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，數(shù)據(jù)的初步剖析能力。
4.初步培養(yǎng)中學(xué)生對(duì)探究結(jié)果進(jìn)行交流，評(píng)價(jià)的能力。
教學(xué)重難點(diǎn)
1.重點(diǎn)
(1)實(shí)驗(yàn)探究凸透鏡成像規(guī)律。
(2)讓中學(xué)生曉得科學(xué)探究中擬定計(jì)劃與設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的意義、方法。
2.難點(diǎn)
(1)實(shí)驗(yàn)探究凸透鏡成像規(guī)律。
(2)讓中學(xué)生曉得科學(xué)探究中擬定計(jì)劃與設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的意義、方法。
教學(xué)工具
多媒體
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)提問(wèn)
1.透鏡有幾種?分別叫哪些?它們對(duì)光線有哪些作用?
2.哪些叫凸透鏡的焦點(diǎn)?焦距?
二、科學(xué)探究
1.提出問(wèn)題。
師：你們先進(jìn)行分組實(shí)驗(yàn)：用一凸透鏡在燈泡與墻面之間聯(lián)通，大家可觀察到哪些?
中學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)：用一凸透鏡在燈泡與墻之間聯(lián)通。
生甲：可在墻壁得到放大、縮小或等大的鎢絲的像，也可能在墻壁看不見(jiàn)像。
生乙：可在墻壁得到正立或倒立的像。
師：對(duì)于凸透鏡成像，你想曉得哪些?(或你想提出哪些問(wèn)題?)
生甲：凸透鏡成像有何規(guī)律?
生乙：物體與凸透鏡之間的距離是否就是影響凸透鏡成像情況的主要誘因?
2.假定或推測(cè)。
師：大家的猜測(cè)是哪些?
生甲：凸透鏡成像可能與物體到凸透鏡的距離有關(guān)。
生乙：與焦距有關(guān)。
生丙：與物距與像距的大小有關(guān)。
生丁：與像距有關(guān)。
3.設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)。
師：如何驗(yàn)證大家的推測(cè)是否正確?
生：實(shí)驗(yàn)
師：挺好，你們都想到了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)是探究化學(xué)知識(shí)最基本的一種技巧。大家打算設(shè)計(jì)一個(gè)哪些樣的實(shí)驗(yàn)方案來(lái)否認(rèn)大家的猜測(cè)是正確的?
生：觀察光源和凸透鏡不同距離時(shí)成像的情況，以研究影響凸透鏡成像的誘因。
演示實(shí)驗(yàn)：班主任出示兩個(gè)焦距相差較大的凸透鏡做一次簡(jiǎn)單的演示，讓蠟燭與兩個(gè)凸透鏡距離相同，所成的像不同。
師：大家觀察到了哪些現(xiàn)象。
生：蠟燭到兩個(gè)凸透鏡的距離相同，所成像不同。
師：這個(gè)現(xiàn)象說(shuō)明了哪些?
生：說(shuō)明了物體通過(guò)凸透鏡成像情況除了與物體到凸透鏡距離有關(guān)，還與凸透鏡的焦距有關(guān)。
師：下邊向你們介紹一個(gè)專用的光學(xué)實(shí)驗(yàn)器材—一光具座。光具座上可以固定凸透鏡、光屏、放置蠟燭，還可以調(diào)節(jié)蠟燭、凸透鏡、光屏的位置和高度，并有刻度尺，可直接讀出蠟燭與凸透鏡，光屏與凸透鏡的距離，使用便捷。
班主任邊介紹邊示范，并強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)時(shí)僅供選用。
師：實(shí)驗(yàn)時(shí)需什么器材?
生：蠟燭、火柴、凸透鏡、光具座、白板
師：還須要曉得哪些數(shù)據(jù)?
生：凸透鏡的焦距。
師：你想通過(guò)哪些辦法得悉凸透鏡的焦距?
生甲：用實(shí)驗(yàn)測(cè)得。
生乙：查閱說(shuō)明書(shū)。
生丙：?jiǎn)柪蠋煛?span style="display:none">o3o物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
師：大家想的這幾種方式都可以，不同組的桌面上的凸透鏡焦距不同，因?yàn)闀r(shí)間有限請(qǐng)大家查閱桌面上的說(shuō)明書(shū)，弄清凸透鏡的焦距。
中學(xué)生查閱并交流凸透鏡的焦距。
師：實(shí)驗(yàn)時(shí)大家打算的蠟燭、凸透鏡、光具座和白板，它們起哪些作用?
生：凸透鏡拿來(lái)成像，蠟燭作為物體，白板作為光屏，光具座起到支架作用，還可直接讀出物距u和像距V。
師：下邊請(qǐng)朋友們打開(kāi)課本P66，注意觀察表格中的各個(gè)項(xiàng)目做到對(duì)實(shí)驗(yàn)中要檢測(cè)數(shù)據(jù)，觀察的現(xiàn)象心里有數(shù)。由表格可知，有8行空格，說(shuō)明我們要取8次以上數(shù)據(jù)。另外，實(shí)驗(yàn)中還須要注意幾點(diǎn)，如今請(qǐng)問(wèn)學(xué)們看投影。
班主任調(diào)節(jié)實(shí)物投影，演示實(shí)驗(yàn)中的注意事項(xiàng)，邊演示邊講解。
師：朋友們面向光具座上的刻度尺，從左至右依次放好蠟燭、凸透鏡、光屏，燃起蠟燭，調(diào)整燭焰、透鏡、光屏兩者中心大致在同一高度，由于我們觀察的是燭焰的像，這樣就能在光屏亡得到完整的像。第一次實(shí)驗(yàn)先把蠟燭移到離透鏡盡量遠(yuǎn)的位置，使它們基座上的紅線對(duì)準(zhǔn)整數(shù)刻度平面鏡成像教案人教版，如使它們之間的距離為750px，定好物距后，只能聯(lián)通光屏找燭焰的像。
這時(shí)觀察光屏，輪廓模糊的不是真正的像，當(dāng)找到清晰的像時(shí)，記下像的大小、倒正及物距、像距，填人表格第一空行，第二次減短蠟燭到透鏡的距離，如到625px，再聯(lián)通光屏找燭焰的像，記錄數(shù)據(jù)，總共改變物距8次，最后一定要讓蠟燭離凸透鏡較近，在光屏上找不到像為止。請(qǐng)朋友們將光屏拆掉，耳朵透過(guò)凸透鏡觀察蠟燭的像，將觀察到的像情況填入表格。現(xiàn)今朋友們對(duì)實(shí)驗(yàn)的目的和技巧、步驟清楚了嗎?
生：清楚了。
師：請(qǐng)朋友們分組討論，擬定出實(shí)驗(yàn)步驟，并寫(xiě)在紙上打算全班交流。
生：討淪、制定實(shí)驗(yàn)步驟。
師：請(qǐng)第5小組的向全班朋友交流大家的實(shí)驗(yàn)步驟。
我們小組擬定的實(shí)驗(yàn)步驟是：
生：(1)用查資料法獲得凸透鏡的焦距。
(2)認(rèn)識(shí)光具座，將實(shí)驗(yàn)器材按蠟燭，凸透鏡，光屏次序放置，調(diào)整燭焰，凸透鏡，光屏的高度，使它們的中心大致在同一高度。
(3)將蠟燭置于離凸透鏡750px、625px、375px、300px、lOcm、200px、75px處，聯(lián)通光屏，使光屏上燭焰的像最亮，最清晰，觀察像的大小、倒正、虛實(shí)，讀出物距，像距并計(jì)入表格。假如蠟燭離凸透鏡較近，聯(lián)通光屏.承接不到像，可拆掉光屏，耳朵透過(guò)凸透鏡觀察像的大小，倒正、虛實(shí)，記下物距。
(4)將以上實(shí)驗(yàn)重復(fù)一遍。
以上實(shí)驗(yàn)步驟，是在班主任補(bǔ)充、完善的基礎(chǔ)上用字幕打出。
4.進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。
師：好，我們來(lái)比一比，那個(gè)小組做得最快、最好，注意分工合作。
中學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)探究，班主任巡回檢測(cè)，答題，指導(dǎo)。夸獎(jiǎng)做得快，做得好的中學(xué)生，同時(shí)也鼓勵(lì)做得慢和做錯(cuò)的中學(xué)生，對(duì)不會(huì)做的某些中學(xué)生當(dāng)場(chǎng)指導(dǎo)。
5.剖析論證。
師：現(xiàn)今朋友們完成了實(shí)驗(yàn)，按照實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合上面的猜測(cè)，大家得到哪些推論?分組討論后回答。
班主任投影一組較標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，讓中學(xué)生討論。
生甲：我們組得到的推論是：凸透鏡所成像的大小、倒正與物距有關(guān)，由于我們每次實(shí)驗(yàn)前都先改變物距，再找燭焰的像，物距不同，像也不同，像距也不同。
師：說(shuō)得挺好。否認(rèn)我們的第一個(gè)推測(cè)是正確的，同時(shí)可推翻第三個(gè)猜測(cè)，由于像距也是由物距決定的。
生乙：我們組覺(jué)得與物距和像距的大小關(guān)系有關(guān)。當(dāng)物距小于像距時(shí)，成倒立、縮小的像，當(dāng)物距大于像距時(shí)，成倒立、放大的像。
師：朋友們總結(jié)得挺好，說(shuō)明朋友們除了認(rèn)真做實(shí)驗(yàn)，還動(dòng)腦筋思索了，這是十分好的一種學(xué)習(xí)方式，假如養(yǎng)成習(xí)慣，相信朋友們會(huì)越學(xué)越好。
假如我們曉得的凸透鏡的焦距是lOcm，請(qǐng)朋友再仔細(xì)觀察投影的數(shù)據(jù)，凸透鏡成像具體還有什么規(guī)律?再討論一下。
提示：物體與凸透鏡的距離用凸透鏡的焦距來(lái)表示。
師：請(qǐng)第6小組的代表向全班朋友交流大家的討論結(jié)果。
生：當(dāng)物體坐落凸透鏡兩倍焦距之外時(shí)，成縮小、倒立的(實(shí))像。
當(dāng)物體坐落凸透鏡兩倍焦距處時(shí)，成等大、倒立的(實(shí))像。
當(dāng)物體坐落凸透鏡焦距與兩倍焦距之間時(shí)，成放大，倒立的(實(shí))像。
當(dāng)物體坐落凸透鏡的焦距以內(nèi)時(shí)，成放大、正立的(虛)像。
班主任應(yīng)給與啟發(fā)，幫助中學(xué)生歸納總結(jié)并將該推論投影在屏幕上。
括弧內(nèi)留著待全面補(bǔ)充是虛像還是實(shí)像。
板書(shū)：凸透鏡成像規(guī)律
6.評(píng)估。
班主任投影兩組不太理想的數(shù)據(jù)，讓中學(xué)生評(píng)估。
師：請(qǐng)朋友們觀察屏幕上的數(shù)據(jù)，那個(gè)數(shù)據(jù)有問(wèn)題?為何會(huì)這樣?
生甲：第4組的物距小于焦距，成的像是縮小的，可能讀數(shù)錯(cuò)誤。
生乙：可能蠟燭燒短了，在光屏上沒(méi)得到完整的像。
師：請(qǐng)朋友們追憶一下，在實(shí)驗(yàn)中當(dāng)蠟燭離凸透鏡很近時(shí)，為何在光屏上找不到像?而看見(jiàn)的是一塊模糊的光斑。
生：由于光線沒(méi)有在光屏上會(huì)聚。
師：回答得挺好，平面鏡成像，像是如何產(chǎn)生的?是虛像還是實(shí)像?
生：是由反射光線的反向延長(zhǎng)線會(huì)聚而成的，是實(shí)像。
師：對(duì)。實(shí)像不是實(shí)際光線會(huì)聚而成的。當(dāng)蠟燭離凸透鏡很近時(shí)，蠟燭射向凸透鏡的光線經(jīng)凸透鏡折射后，在光屏上不能會(huì)聚，其反向延長(zhǎng)線在物體同側(cè)會(huì)聚而成，所以是實(shí)像。我們只能透過(guò)凸透鏡，逆著折射光線看過(guò)去，能夠觀察到，所以不能用光屏承接的是實(shí)像，能用光屏承接的是實(shí)像。
板書(shū)：2.虛像和實(shí)像
并補(bǔ)充以上凸透鏡成像規(guī)律中()內(nèi)的內(nèi)容，得到完整的推論。
三、歸納小結(jié)及學(xué)習(xí)過(guò)程評(píng)估
師：通過(guò)這節(jié)課科學(xué)探究，大家有哪些收獲?學(xué)到了哪些?有哪些感受?
生甲：我學(xué)到了凸透鏡成像規(guī)律。
生乙：我曉得了虛像和實(shí)像的區(qū)別。
生丙：我在探究凸透鏡成像規(guī)律學(xué)校到了科學(xué)探究的過(guò)程和技巧。
師：朋友們說(shuō)得挺好，下邊請(qǐng)每個(gè)朋友對(duì)自己在本節(jié)課的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行評(píng)估。
凸透鏡成像的規(guī)律教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
(一)、知識(shí)與技能
1.曉得凸透鏡的成像規(guī)律。曉得凸透鏡成放大、縮小虛像和實(shí)像的條件。
2.能用凸透鏡的成像規(guī)律解釋簡(jiǎn)單現(xiàn)象、解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。
(二)、過(guò)程與技巧
1.能在探究活動(dòng)中，初步獲得提出問(wèn)題的能力。
2.通過(guò)對(duì)凸透鏡成像現(xiàn)象的觀察剖析，總結(jié)出凸透鏡成像規(guī)律，并用列表的方式歸納出凸透鏡成放大或縮小、正立或倒立、實(shí)像或?qū)嵪竦臈l件。培養(yǎng)從化學(xué)現(xiàn)象中歸納科學(xué)規(guī)律的技巧。
(三)、情感心態(tài)與價(jià)值觀
1.通過(guò)研究凸透鏡成像的實(shí)驗(yàn)，以及對(duì)其成像規(guī)律的剖析有意識(shí)地滲透辯證唯心主義觀點(diǎn)。
2.注意培養(yǎng)中學(xué)生樂(lè)于參與觀察、試驗(yàn)、制作的興趣。
教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：凸透鏡成像規(guī)律。
教學(xué)難點(diǎn)：在探究過(guò)程中，完善實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)模型之間的必然聯(lián)系。
教學(xué)工具
講義
教學(xué)過(guò)程
一、引入新課
通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們曉得照像機(jī)投影儀上面都有凸透鏡，放大鏡本身就是凸透鏡，但是照像機(jī)能使景物在照片上成倒立的像，所成的像比物體小，投影儀能把小的膠卷上的畫(huà)面放大到屏幕上，供你們觀看，這就說(shuō)明所成的像比物體大，是倒立的;放大鏡能把小小的物體放大，使我們認(rèn)清楚它們，所成的像是正立、放大的。
二、新課教學(xué)
(一)引導(dǎo)中學(xué)生提問(wèn)
大家想進(jìn)一步了解它們嗎?想了解哪些?
中學(xué)生可能提出的問(wèn)題：
1.凸透鏡在哪些條件下成正立的像，哪些情況下成倒立的像?
2.哪些情況下成放大的像，哪些情況成縮小的像?
3.哪些情況下用光屏能收到像，哪些情況下在光屏上不成像?
4.哪些條件下像與物在凸透鏡后側(cè)，哪些條件下在同側(cè)?
(二)進(jìn)行猜測(cè)和假定
朋友們提出那么多問(wèn)題，說(shuō)明朋友們認(rèn)真思索了，這樣特別好，既然提出問(wèn)題，我們就要解決它。如今，我們就按照上節(jié)學(xué)的知識(shí)大膽推測(cè)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)和探究活動(dòng)來(lái)解決。
中學(xué)生可能提出的推測(cè)和假定
拍照時(shí)物體到凸透鏡的距離比投影儀上膠卷到凸透鏡的距離大，看來(lái)像是放大還是縮小的與物體到凸透鏡的距離有關(guān)。
拍照時(shí)底片到凸透鏡的距離比投影儀的屏幕到凸透鏡的距離小，看來(lái)像是放大還是縮小的與像到凸透鏡的距離有關(guān)。
照像機(jī)中鏡頭的凸透鏡比投影儀鏡頭小，看來(lái)像是放大還是縮小的與凸透鏡的大小有關(guān)。
照像機(jī)和投影儀的物體和像在凸透鏡的一側(cè)，放大鏡的像與物體在同側(cè)。這說(shuō)明像成倒立和正立與像和物在同側(cè)還是左側(cè)有關(guān)系。
放大鏡要認(rèn)清物體平面鏡成像教案人教版，離物體的距離通常要比照單反、投影儀中凸透鏡離物體的距離小，說(shuō)明物體成正立、倒立的像與物體到凸透鏡的距離有關(guān)。
[師]朋友們推測(cè)得挺好。現(xiàn)今逐一討論瞧瞧有沒(méi)有那個(gè)能排除掉。
像是放大還是縮小與凸透鏡的大小有關(guān)，可以排除。由于有的放大鏡半徑比照單反鏡頭半徑小，也能成放大像，再有攝影師拿大焦距的鏡頭比投影的鏡頭大，成的像還是縮小的，所以可以排除掉。
(三)擬定實(shí)驗(yàn)方案，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)
[師]如今我們椅子上有光具座(里面的座可以插蠟燭、光屏、透鏡，能來(lái)回聯(lián)通，從刻度尺上能觀察出它們之間的距離關(guān)系)、蠟燭(做物體用)、光屏(黑色的硬紙板作屏)、凸透鏡(焦距已知)
方案一：
①把透鏡置于光具座標(biāo)尺中央，從透鏡的位置開(kāi)始在左右兩側(cè)的標(biāo)尺上用粉筆標(biāo)出等于焦距和2倍焦距的位置。
②點(diǎn)燃蠟燭，調(diào)整它們的高度，使?fàn)T焰、凸透鏡、光屏的中心大致在同一高度。
③把蠟燭置于離凸透鏡盡量遠(yuǎn)的位置上，調(diào)整光屏到透鏡的距離，使?fàn)T焰在屏上成一個(gè)清晰的像，觀察像的大小、正倒，測(cè)出蠟燭與凸透鏡、凸透鏡與光屏間的距離。把數(shù)據(jù)記錄成表。
④繼續(xù)把蠟燭向凸透鏡緊靠，觀察像的變化是放大還是縮小，是正立還是倒立，蠟燭與凸透鏡、凸透鏡與光屏的距離測(cè)出，將數(shù)據(jù)記錄成表。
⑤當(dāng)蠟燭到一定位置上時(shí)，光屏沒(méi)有像，用耳朵直接對(duì)著凸透鏡觀察蠟燭的像，把蠟燭與凸透鏡、像與凸透鏡的距離，像是放大還是縮小的，像的正倒，填入表格。
方案二：
①把透鏡置于椅子中央，把蠟燭、光屏置于其右側(cè)，刻度尺置于椅子上，如課本圖3.3-2所示。
②點(diǎn)燃蠟燭，調(diào)整它們的高度，使?fàn)T焰、凸透鏡、光屏的中心大致在同一高度。
③移動(dòng)蠟燭，調(diào)整光屏到透鏡的距離，使?fàn)T焰在屏上成一個(gè)清晰的像，觀察像的大小、正倒、測(cè)出蠟燭與凸透鏡、光屏與凸透鏡的距離。把數(shù)據(jù)計(jì)入表格。
④繼續(xù)把蠟燭向凸透鏡緊靠，觀察像的變化，是放大、等大還是縮小，是正立還是倒立，將蠟燭與凸透鏡的距離，光屏與凸透鏡的距離數(shù)據(jù)計(jì)入表格。
⑤當(dāng)蠟燭移到透鏡的焦點(diǎn)時(shí)，在光屏上看不到蠟燭的像，繼續(xù)把蠟燭向凸透鏡緊靠，這時(shí)在光屏上看不到蠟燭的像，拿去光屏，用嘴巴直接對(duì)著凸透鏡觀察蠟燭的像。把蠟燭與凸透鏡的距離，像與凸透鏡的距離，像是放大還是縮小、正立還是倒立的填入表格。
[師]以上方案都可行，現(xiàn)今用椅子上的儀器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并記下結(jié)果，總結(jié)凸透鏡成像的規(guī)律。
[中學(xué)生們做實(shí)驗(yàn)，班主任巡回并進(jìn)行指導(dǎo)]
(四)剖析論證
實(shí)驗(yàn)結(jié)束，班主任組織討論，進(jìn)行總結(jié)
當(dāng)把蠟燭置于2倍焦距以外的位置，像在凸透鏡的另左側(cè)，成倒立、縮小的像。像與凸透鏡的距離在1倍焦距和2倍焦距之間。
當(dāng)把蠟燭置于2倍焦距的位置，像在凸透鏡的另左側(cè)，像的大小與物體大小相等。是倒立的，像與凸透鏡的距離也等于2倍焦距。
當(dāng)把蠟燭置于1倍焦距和2倍焦距之間的位置時(shí)，像在凸透鏡的另左側(cè)，成倒立放大的像，像與凸透鏡的距離小于2倍焦距。
當(dāng)把蠟燭置于1倍焦距的位置時(shí)，光屏不成像。
當(dāng)把蠟燭置于1倍焦距之內(nèi)，光屏上不成像，像與蠟燭在凸透鏡同側(cè)，成正立、放大的像。
當(dāng)把蠟燭置于小于凸透鏡焦距的位置時(shí)，物體成倒立的像。當(dāng)物體從較遠(yuǎn)處向透鏡緊靠時(shí)像逐步變大，像到透鏡的距離也逐步變大。
當(dāng)物體與透鏡的距離大于焦距時(shí)，物體成正立、放大的像。這個(gè)像光屏上得不到。
[師]朋友們把規(guī)律都總結(jié)下來(lái)，物體與凸透鏡的距離叫物距，用u表示，像與凸透鏡的距離叫像距，用v表示。
一、凸透鏡成像的規(guī)律(板書(shū))
二、虛像和虛像(板書(shū))
由實(shí)際光線會(huì)聚成的像稱作虛像。
像不是由實(shí)際光線會(huì)聚成的，而是它們的反向延長(zhǎng)線的交點(diǎn)成的像叫實(shí)像。
[想想議議]
[師]我們曉得哪些是虛像、什么是實(shí)像以后，請(qǐng)大家進(jìn)一步推測(cè)并按照前面探究所得的資料進(jìn)行剖析，哪些情況下凸透鏡成虛像、什么情況下成實(shí)像。
中學(xué)生們仔細(xì)剖析、思考、相互討論。
物體在1倍焦距以外時(shí)，成倒立的虛像。
物體在1倍焦距內(nèi)時(shí)，成正立的實(shí)像。
拍照機(jī)和投影儀能在光屏上成虛像，放大鏡成的像在光屏上得不到，但雙眼能看見(jiàn)成實(shí)像。
像與物在凸透鏡同側(cè)成實(shí)像，像與物在凸透鏡后側(cè)成虛像。
三、課堂小結(jié)
本節(jié)課我們曉得了以下內(nèi)容;
1.拍照機(jī)的原理
u>2ff
2.投影儀的原理
f2f成倒立、放大的虛像
3.放大鏡的原理
四、布置作業(yè)
P62動(dòng)手動(dòng)腦學(xué)數(shù)學(xué)。
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