2021年10月1日是楊振寧先生誕辰100周年。 （楊先生的實際年齡是99歲，也就是100歲，官方文件上的生日是9月22日。）我們特發此文，向楊先生表示祝賀。
撰寫者 |倪一
楊振寧先生（1922.10.1-）從來不認為自己是數學家。事實上，楊先生曾說過：“現在的數學著作只有兩種，一種是讀完第一頁就不想再讀，另一種是讀完就不想再看。”讀完第一句話后再讀。”然而楊振寧先生對現代數學卻產生了廣泛而深遠的影響。在20世紀下半葉的物理學家中，或許只有威滕（1951-）對數學的影響能與楊先生相媲美。本文試圖簡要介紹楊先生的數學貢獻。需要注意的是，這涉及到很多非常高深的數學，而作者本人只了解其中的一小部分。錯誤和遺漏在所難免，還望方老師指正。
楊振寧題為“20世紀數學與物理的分野與結合”講座的一頁圖片
楊-米爾斯理論
楊振寧先生最重要的成就是楊-米爾斯理論，它是一種非阿貝爾規范場理論。規范場論的思想已經出現在麥克斯韋（James，1831-1879）的電磁理論中。 1918年，Weyl（1885-1955）試圖統一電磁場和引力場，并將比例因子引入場論。這個比例因子帶來了一定程度的冗余，需要選擇一個“量規”來消除這種冗余。韋爾的嘗試沒有成功。愛因斯坦（1879-1955）高度評價數學，但強烈批評物理學。 [1]
20 世紀 40 年代在普林斯頓高等研究院舉行的一次會議，與會者包括愛因斯坦（左三）和韋爾（右二）（來源：高等研究院檔案）
韋爾最初引入的比例因子是正實數。量子力學興起后，韋爾于1929年修改了他的規范場理論，將比例因子改為模數為1的復數來描述電磁場。福克（1898-1974）和倫敦（弗里茨，1900-1954）在此期間也有類似的發現。 1941年，泡利（1900-1958）向物理學界推廣了規范場理論。
在數學中，所有模長度為 1 的復數形成群 U(1)。這個群在外爾規范理論中被稱為規范群。如果群中的乘法是可交換的，則該群稱為阿貝爾群，否則稱為非阿貝爾群。例如，大多數矩陣群都是非阿貝爾矩陣，因為乘法交換律對于矩陣乘法不成立。外爾理論中的規范群是阿貝爾群，因此外爾理論是阿貝爾規范場理論。
我們知道自然界存在四種基本力：電磁力、弱相互作用、強相互作用、萬有引力。韋爾等人的工作用U(1)規范場理論描述了電磁力，而引力物理理論則是愛因斯坦的廣義相對論。 1954年，楊振寧和米爾斯（1927-1999）將規范場理論中的規范群從U(1)改為二階正交酉矩陣群SU(2)，建立了第一個非阿貝爾規范場理論。楊和米爾斯原本想用這個理論來描述強相互作用，但這是錯誤的。后來經過許多物理學家的努力，SU(2)規范場理論成功地用于描述弱相互作用。強相互作用需要使用規范群為SU(3)的規范場理論，通常也稱為Yang-Mills理論。
1999年，楊振寧與米爾斯在楊振寧退休慶祝會上丨圖片來源：
統計學家斯蒂格勒（1941-）曾提出“斯蒂格勒定律”，即“沒有任何科學發現是以最初發現者的名字命名的”。斯蒂格勒定律本身與這條定律是一致的，因為斯蒂格勒認為這條定律首先是由默頓（1910-2003）提出的。楊-米爾斯理論也與斯蒂格勒定律一致——泡利在1953年也有類似的理論。日本物理學家內山龍夫（1916-1990）在1954年獨立提出了非交換規范場理論，以統一重力和電磁學。他曾在京都大學做過演講，但沒有得到聽眾的積極回應。在了解楊-米爾斯的工作后，內山于1955年將其論文修改為更廣泛的規范場理論，并于1956年發表。比楊振寧和米爾斯稍晚，肖（1929-2016）是阿卜杜勒·薩拉姆（Abdus Salam）（1926-2016）的學生。 1996），并于1955年獨立發現了楊-米爾斯理論。
雖然泡利、內山和肖都獨立于楊和米爾斯獲得了非交換規范場論，但楊和米爾斯無疑應該獲得最大的榮譽。泡利和肖的作品都沒有出版，因為他們不理解物理圖片。內山在楊米爾斯之后發表了他的論文，并受到楊米爾斯的影響。只有楊振寧和米爾斯最先發表了這個有缺陷的理論，讓后來者可以在此基礎上進行研究。
一個經常流傳的故事是，楊振寧在普林斯頓大學講授楊米爾斯理論時，聽眾中的泡利一直問他非阿貝爾規范玻色子的質量是多少。泡利深入研究了這個問題，知道質量應該為零，這是不可能的。楊振寧回答說不知道，保利卻一再追問。楊振寧認為泡利的敵意太嚴重，干脆不再說話，坐在觀眾席上。一時間場面十分尷尬。最后，奧本海默（J.，1904-1967）說：“我們應該讓楊振寧繼續發言。”楊振寧回到講臺上，保利沒有再問什么。 [2] 楊-米爾斯理論中的質量問題直到20世紀60年代才被希格斯機制解決。
1945 年，泡利在普林斯頓高等研究院慶祝了他的 45 歲生日 |資料來源：歐洲核子研究中心
楊振寧和米爾斯建立了楊-米爾斯理論的數學形式，其物理應用應歸功于后人。然而，與楊-米爾斯理論相關的數學成為現代數學的重要組成部分。 1969年愛因斯坦物理學家演講，楊振寧在紐約州立大學石溪分校教授廣義相對論課程。有一天，他在黑板上寫下了廣義相對論所需的黎曼曲率張量公式，突然發現這個公式與楊-米爾斯理論中的一個公式非常相似。他非常震驚，于是去咨詢數學系主任西蒙斯（James，1938-）。西蒙斯告訴他，這兩個公式是纖維束（纖維）上的連接（）。楊振寧被這奇妙的聯系深深震撼了。 [3]
楊振寧與西蒙斯丨來源：《石溪》雜志
1975年，楊振寧和吳大軍（1933-）發表論文，將纖維叢的數學語言翻譯成楊-米爾斯理論的物理語言，引起了數學界和物理界對彼此工作的濃厚興趣。這就是著名的五陽詞典（Wu-Yang）。事實上，在《五陽詞典》之前就有人提到過纖維束與楊-米爾斯理論的關系。例如，赫爾曼（，1931-2020）在 1970 年的一本專著中詳細闡述了這一點。但這樣的工作并沒有產生《吳楊詞典》的影響，《吳楊詞典》也可以算作斯蒂格勒定律的一個例子。
五陽詞典丨來源：IM，部分在量規和）
20世紀70年代末，辛格（1924-2021）將五陽詞典引入數學界愛因斯坦物理學家演講，引發了數學家學習楊-米爾斯理論的熱潮。大量新的數學著作誕生，為數學的發展提供了新的動力。下面簡要介紹其中一些。
楊-米爾斯理論中出現偏微分方程
稱為楊-米爾斯方程。 1974年，楊振寧訪問其父親楊武之（1896-1973）生前任教的復旦大學。他與顧朝豪（1926-2012）、胡和聲（1928-）等人討論了楊-米爾斯理論中的數學問題。雙方合作，在國際上率先研究了楊-米爾斯方程，解決了方程的許多基本問題。
1974年，顧朝豪（左一）、胡和聲（左二）與楊振寧開始在規范場論方面合作（來源：中國科學報）
1977-1978年，Atiya（1929-2019）、（Nigel，1946-）和證明了四維球面上Yang-Mills方程解的模空間是流形，并用指數計算出來定理其維數。 1978年，Atiya、、（1954-）和Yuri Manin（1937-）共同撰寫了一篇論文，徹底確定了這個模空間。
1982年，凱倫·烏倫貝克（Karen ，1942-）證明了楊-米爾斯方程解的許多基本性質，包括非奇異性定理（在四個維度上）和緊致性定理（在任何維度上）。田罡（1958-）和陶哲軒（1975-）后來將非奇點定理推廣到高維。
1969 年烏倫貝克在伯克利 |來源：照片
1982年，（1954-）發現了一種構造Yang-Mills方程解的新方法，并證明了一大類四維流形解的存在性。
復流形上的 Yang-Mills 方程的研究始于 和 Raoul Bott (1923-2005) 在 20 世紀 80 年代初的工作。 （1932-2012）和推測復流形上Yang-Mills方程的解與向量叢的穩定性有關。這一猜想被唐納森（Simon，1957-）、烏倫貝克和丘成桐（1949-）采納。 ）解決。受此啟發，丘成桐對復流形的凱勒-愛因斯坦度量做出了類似的猜想。田鋼和唐納森進一步闡述了丘成桐猜想，引入了K-穩定性概念，在復幾何和代數幾何領域發揮了核心作用。
1982年，丘成桐、阿提亞、希欽丨圖源：照片
希欽于1987年在一維復流形上定義了希格斯叢，并研究了其楊-米爾斯方程。辛普森（，1962-）將希欽的工作擴展到了更高的維度。希格斯叢是近年來幾何拓撲領域的研究熱點，在數論和表示論中都有意想不到的應用。吳寶珠（1972-）利用希欽的工作證明了朗蘭茲綱領的“基本引理”，并因此獲得了2010年菲爾茲獎。法爾廷斯（Gerd，1954-），1986 年菲爾茲獎獲得者，開創了 p 進數域希格斯叢的研究。 (Anton, 1971-) 和 使用希欽的工作（及其擴展）來研究幾何朗蘭茲綱領。
楊-米爾斯方程最著名的數學應用是在低維拓撲領域。 1983年，在和工作的基礎上，利用Yang-Mills方程研究了四維流形的微分拓撲，取得了令人驚訝的結果。結合和（1951-）的工作，可以證明四維空間R^4中存在奇怪的微分結構，但這對于其他維度的歐幾里得空間并不成立。唐納森后來進一步發展了他的理論，定義了平滑四維流形的不變量。唐納森因這項工作獲得了 1986 年菲爾茲獎。
2009年，唐納森（右二）和陶布斯（右三）榮獲邵逸夫數學獎丨來源：中國政府網
1988年，Floer（1956-1991）將唐納森的理論發展到三維流形上，并定義了瞬子同調理論。 1998年，和他的學生 ( )利用SU(4)規范場理論研究了-Yau三維復流形。 2006年菲爾茲獎獲得者奧孔科夫（1969-）和他的合作者對唐納森-托馬斯理論做出了重要貢獻。
唐納森理論的思想現在在低維拓撲、辛幾何、代數幾何、復幾何等許多領域占據主導地位，其后續發展包括格羅莫夫-維滕理論、塞伯格-維滕理論等，盡管楊-米爾斯方程不再出現在這些理論中。
Yang-Mills方程在低維拓撲中的另一個應用與瓊斯多項式有關，它是Jones（1952-2020）在1984年發現的一個新的結不變量。在1989年指出瓊斯多項式可以用Yang來解釋-米爾斯理論。威滕的思想被 (1958-)和 (1952-)發展成為嚴格的數學理論，可以用來構造一般三維流形的不變量。在過去的二十年里，瓊斯多項式的推廣——同調理論（ ）——已成為低維拓撲學的研究熱點。威滕還用Yang-Mills理論對的同調理論給出了解釋，引起了許多數學家的關注。
楊-巴克斯特方程
楊振寧另一項對數學產生深遠影響的著作是楊-巴克斯特方程。這是一個類似的形式
的矩陣方程涉及非線性可積物理模型的嚴格解。
Yang-方程可以追溯到（Lars，1903-1976）1944年對二維Ising模型的工作，其中使用了星三角方程。 [4] 1963年，加州大學洛杉磯分校博士生麥奎爾（James B.，1934-2019）在研究一維量子多體問題時發現了類似的矩陣方程。 1963年楊振寧訪問加州大學洛杉磯分校時，與麥奎爾討論了一維量子多體問題。當時，楊振寧已經是舉世聞名的諾貝爾獎獲得者，而麥奎爾還只是一個尚未獲得博士學位的無名之輩。不過，楊振寧并沒有鄙視麥奎爾的工作。受麥奎爾的啟發，楊振寧在1967年和1968年的兩篇論文中提出了楊-巴克斯特方程的現行形式。后來，巴克斯特（1940-）在1971年和1972年的兩篇統計力學論文中獨立發現了這個方程。
楊振寧與巴克斯特在楊振寧退休慶祝會上丨來源：和-楊，1999
20世紀70年代末，法捷耶夫（1934-2017）領導的蘇聯數學物理學院將這個方程命名為楊-巴克斯特方程，并對其在數學和物理中的應用進行了深入研究。受他們工作的影響， 和 Jimbo（1951-）開始了“量子群”的研究。德林菲爾德甚至將一種量子群命名為“楊代數”（）以紀念楊振寧的貢獻。
Yang-方程可以看作是數學中“辮子群”的基本關系，可以用下面的“辮子”圖像來表示。
上圖中的辮子關系在打結瓊斯多項式中起著重要作用。圖拉耶夫發現許多結不變量，包括瓊斯多項式，都可以從楊-巴克斯特方程的解中獲得。 和 的進一步工作使用量子群來構造結不變量。
西蒙斯幾何和物理中心的墻上刻著一些基本的物理公式。圖左下角是Yang-方程 |資料來源：西蒙斯幾何與物理中心
1990年四位菲爾茲獎獲得者中，德林菲爾德、瓊斯和威滕（部分）的獲獎工作與楊-米爾斯理論和楊-巴克斯特方程密切相關。森重文（1951- ）是一位代數幾何學家，其獲獎作品與物理學沒有直接關系。近年來，徐晨陽（1981-）等人的工作將森重文首創的最小模型程序與K穩定性相結合，很大程度上受到Yang-Mills理論的啟發。
1990年四位菲爾茲獎獲得者，左起：威滕、森重文、瓊斯、德林菲爾德 |來源：
李楊單位圓定理
1952年，李政道和楊振寧發表了兩篇統計力學論文，證明了某類配分函數的零點都在單位圓上。這就是著名的李陽單位圓定理。愛因斯坦對這項工作非常感興趣，并邀請李和楊到他的辦公室討論了一個半小時。 [5]
李楊定理依賴于純數學結果，即某類多項式的所有零點都位于單位圓上。為了證明這個結果，李和楊閱讀了GH Hardy（1877-1947）、John （1885-1977）和Pólya（1887-1985）寫的《不平等》。書中，還咨詢了約翰·馮·諾伊曼（John von (1903-1957)）和塞爾伯格（Atle (1917-2007)）等同事。馬克·卡克（Mark Kac，1914-1984）當時正在普林斯頓高等研究院訪問。聽到李陽的問題，他立刻就想到了波利亞那篇關于黎曼猜想的論文，并利用其中的方法來證明李陽所需要的東西。最簡單的情況結果。卡茨將此事告知了李陽。受此啟發，楊振寧和李政道持續研究了數周，最終利用卡茨方法和數學歸納法證明了最廣泛的情況。 [6]
1957 年，李政道和楊振寧在普林斯頓高等研究院 |來源：國際會計準則
李-楊單位圓定理是統計力學中的重要著作，但其對數學的影響遠非楊-米爾斯理論和楊-巴克斯特方程可比。然而，這個定理的陳述與黎曼假設非常相似。如果替換一個變量，李楊定理可以表述為：某類配分函數的零點都在虛軸上。黎曼假設是指黎曼zeta函數
的非平凡零點都在直線Re(s)=1/2上。因此，一些數學家希望將黎曼zeta函數表示為某個物理系統的配分函數來研究黎曼假設。 （利用物理方法研究黎曼假設是當前的趨勢，該領域更常見的工作是將量子力學與黎曼zeta函數聯系起來。）
楊振寧的純數學著作
楊振寧多次說過，如果他不做物理，他一定會做數學。 [5,7]事實上，除了數學物理方面的諸多成就外，楊振寧還發表了一些純數學論文。這些任務對于楊振寧這樣的科學巨人來說是微不足道的。不過，從這些論文中可以看出，與許多其他理論物理學家不同，楊振寧也能與數學家有相同的品味、使用相同的語言。
楊振寧發表的第一篇論文是一篇純數學論文。這是他在西南聯大時寫的貝語網校，題為《論楊氏微分的獨特性》，發表于1944年的《美國數學會通報》（下）。紙質不高，楊振寧也很不滿意。楊振寧最初將其視為學習微積分的課外練習。幾年后，他在老師曾元戎（1903-1994）的建議下才將其發表。 [8]
楊振寧的父親楊五之教授獲得芝加哥大學博士學位。回國后任教于清華大學數學系，是中國數論研究的先驅。在楊五之的博士論文中，他考慮了華林問題的一個變體：找到最小k，使得任何自然數都可以表示為最多k個“金字塔數”的總和。這里的“金字塔數”指的是
數字。楊無知證明了k不超過9，這個結果后來被改進為8。
童年的楊振寧和父母丨來源：香港中文大學
1993年，楊振寧和鄧岳凡（1962-）用計算機研究這個問題，發現十億以內的自然數最多可以表示為5個金字塔數的和，足夠大的數可以表示為和最多 4 個金字塔數字。和。據此，他們推測任何足夠大的自然數都可以表示為至多4個金字塔數的和。他們進一步猜想了可以表示為最多 k 個金字塔數之和的自然數個數的漸近公式。
楊振寧、陳省身
陳省身先生（1911-2004）、楊振寧先生是20世紀中國科學家的領軍人物。兩人私交密切，學術聯系也密切。陳省身1930年至1934年在清華大學任助教、研究生，與楊五之教授有師生關系。陳省身與妻子鄭世寧的婚姻是由楊無知夫婦介紹的。陳勝深曾多次在楊武家吃飯，并見過年僅八歲的楊振寧，但楊振寧對陳勝深沒有任何印象。 [3,9]后來，楊振寧在西南聯大讀書時，選修了陳省身開設的許多課程，其中包括微分幾何。 [3]
陳省身是纖維束和接觸理論的主要推動者。他的陳-韋爾理論將楊-米爾斯方程中的曲率項與聲明類聯系起來，陳-西蒙斯理論也與楊-米爾斯理論密不可分。 1975年，在了解了楊-米爾斯理論與纖維束的關系后，楊振寧開車來到陳省生家，與他談論此事，他說：“這既讓我驚訝，又讓我困惑，因為這些概念都是你們數學家憑空想象出來的。”憑空。”陳省身立即反對：“不不，這些概念不是憑空想象出來的，它們是自然的、真實的。”[3]
陳省身、楊振寧丨來源：楊振寧文集
1985年，陳省身先生在南開大學創辦了南開數學研究所。1986年，他邀請楊振寧在研究所內建立理論物理實驗室。經楊振寧推薦，葛墨林（1938-）具體負責數學研究所的工作。理論物理研究實驗室。本實驗室的主要研究方向是楊-米爾斯理論和楊-巴克斯特方程相關的數學。
楊振寧在20世紀70年代寫下一首詩《贊美陳班》，在數學界和物理學界廣為流傳：
天衣渾然一體，匠心剪裁而成。
融為一體，博大精深。
創造熱愛幾何學和纖維能量的四種力量。
永恒的思念，歐高麗嘉辰。
最后一句稱贊陳省身可以與歐幾里得（公元前3世紀）、卡爾·高斯（1777-1855）、黎曼（1826-1866）、嘉當（埃利，1869-1951）相媲美。幾何學家。
2002年，蔣才健出版了《楊辰寧傳——標準對稱之美》。陳省身先生還題詩作序：
以詩作序
艾翁首先打開了幾何之門，而楊子則開始開啟了深路。物理幾何是一家，炎黃子孫是西方圣賢之列。注：愛因斯坦的廣義相對論將物理學解釋為幾何學。規范場論是一條偉大的道路，令人鼓舞。
兩位大師雖身處不同領域，但其佳作卻相得益彰，可謂佳話。
楊振寧丨攝影：鄧偉
參考
[1]張天榮、韋爾、楊振寧——物理的真理與數學的美麗|量子英雄會議
[2]，非阿貝爾規范場的起源與爭議：泡利和楊振寧的軼事
[3] 張殿周和楊振寧如何看待數學和物理？
[4] Helen Au-Yang 和 HH Perk，《明星-：關鍵》，載于 Pure 19，1989 年，收錄于 Field 和
[5]劉盾、王浩強編《愛因斯坦、物理與生活——楊振寧先生訪談錄》
[6] Mark Kac，談 G. Pólya 的“uber die der zeta-”
[7]華東師范大學數學科學學院楊振寧專程拜訪數學科學學院張殿周先生
[8]石宇、楊振寧對西南聯大的新回憶
[9]陳省身，我與楊家兩代人的關系