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一、凸透鏡，物距、像距、焦距、三者關(guān)系
物距為u，像距為v，焦距為f，兩者的關(guān)系為：1/v+1/u=1/f。
依據(jù)該關(guān)系，不同的物距、像距、焦距的關(guān)系促使成像特性不同：
1、當(dāng)物距小于2倍焦距時，則像距在1倍焦距和2倍焦距之間，成倒立、縮小的虛像。此時像距大于物距，像比物小，物像異側(cè)。應(yīng)用：拍照機(jī)、攝像機(jī)。
2、當(dāng)物距等于2倍焦距時，則像距也在2倍焦距，成倒立、等大的虛像。此時物距等于像距，像與物大小相等，物像異側(cè)。應(yīng)用：測焦距。
3、當(dāng)物距大于2倍焦距、大于1倍焦距時，則像距小于2倍焦距初中凸透鏡成像規(guī)律表格，成倒立、放大的虛像。此時像距小于物距，像比物大，物像異側(cè)。應(yīng)用：投影儀、幻燈機(jī)、電影放映機(jī)。
4、當(dāng)物距等于1倍焦距時，則不成像，成平行光射出。
5、當(dāng)物距大于1倍焦距時，則成正立、放大的實像。此時像距小于物距，像比物大，物像同側(cè)。應(yīng)用：放大鏡。
二、凸透鏡光學(xué)成像模型
最上面一條從物體發(fā)出并平行于透鏡的光軸，經(jīng)過透鏡折射后穿過另一側(cè)的焦點。
第二條光束穿過透鏡左側(cè)的焦點，經(jīng)過折射，與光軸平行。
第三條光束直接穿過透鏡中心。因為透鏡垂直于主光軸并且厚度很小，當(dāng)光透過其中心時，折射可以忽略不計。
其中u為物距，f為焦距，v為相距。兩者滿足關(guān)系式：
三、相機(jī)小孔成像模型
單反的鏡頭是一組透鏡，當(dāng)平行于主光軸的光線穿過透鏡時，會聚到一點上，這個點稱作焦點，焦點到透鏡中心的距離稱作焦距f。數(shù)碼單反的鏡頭相當(dāng)于一個凸透鏡，感光器件就處在這個凸透鏡的焦點附近，將焦距近似為凸透鏡中心到感光器件的距離時就成為小孔成像模型。小孔成像模型如圖所示。
四、相機(jī)模型四個座標(biāo)系
數(shù)碼相機(jī)圖像拍攝的過程實際上是一個光學(xué)成像的過程。相機(jī)的成像過程涉及到四個坐標(biāo)系：
世界座標(biāo)系、相機(jī)座標(biāo)系、圖像座標(biāo)系、像素座標(biāo)系以及這四個座標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。
①世界座標(biāo)系：是客觀三維世界的絕對座標(biāo)系，亦稱客觀座標(biāo)系。由于數(shù)碼單反安放到三維空間中，我們須要世界座標(biāo)系這個基準(zhǔn)座標(biāo)系來描述數(shù)碼單反的位置，而且用它來描述安放到此三維環(huán)境中的其它任何物體的位置，用（Xw,Yw,Zw）表示其座標(biāo)值。
②相機(jī)座標(biāo)系（光心座標(biāo)系）：以單反的光心為座標(biāo)原點，X軸和Y軸分別平行于圖象座標(biāo)系的X軸和Y軸，單反的光軸為Z軸，用（Xc,Yc,Zc）表示其座標(biāo)值。
③圖像座標(biāo)系：以CCD圖象平面的中心為座標(biāo)原點，X軸和Y軸分別平行于圖象平面的兩條垂直邊，用(x,y)表示其座標(biāo)值。圖象座標(biāo)系是用化學(xué)單位（比如毫米）表示象素在圖象中的位置。
④像素座標(biāo)系：以CCD圖象平面的左上角頂點為原點，X軸和Y軸分別平行于圖象座標(biāo)系的X軸和Y軸，用(u,v)表示其座標(biāo)值。數(shù)碼單反采集的圖象首先是產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)通號的方式，之后再通過模數(shù)轉(zhuǎn)換變換為數(shù)字圖象。每幅圖象的儲存方式是M×N的字段，M行N列的圖象中的每一個元素的數(shù)值代表的是圖象點的灰度。這樣的每位元素叫象素，象素座標(biāo)系就是以象素為單位的圖象座標(biāo)系
1）、模型一
四個座標(biāo)系的關(guān)系圖如右圖所示，其中M為三維空間點，m為M在圖象平面投影成的像點。
2）、模型二
四個座標(biāo)系的關(guān)系圖如右圖所示，其中M為三維空間點，m為M在圖象平面投影成的像點。
3）、模型三
四個座標(biāo)系的關(guān)系圖如右圖所示，其中P為三維空間點，p為P在圖象平面投影成的像點。
4）、模型四
四個座標(biāo)系的關(guān)系圖如右圖所示，其中P為三維空間點，p為P在圖象平面投影成的像點。真實世界中的空間點
Pw(Xw，Yw，Zw)，其對應(yīng)的單反座標(biāo)系座標(biāo)為Pc(Xw，Yw，Zw），對應(yīng)的圖象座標(biāo)
系座標(biāo)為P(x,y),對應(yīng)的象素座標(biāo)為p(u，v）。
五、像素座標(biāo)系與圖象座標(biāo)系
她們間的轉(zhuǎn)換公式，其中（u0,v0）是圖象座標(biāo)系原點在象素座標(biāo)系中的座標(biāo)，dx和dy分別是每位象素在圖象平面x和y方向上的數(shù)學(xué)規(guī)格。
1、采用齊次座標(biāo)再用矩陣方式將上式表示為
2、也可以寫成下邊
六、圖像座標(biāo)系與單反座標(biāo)系
其中f為焦距（像平面與單反座標(biāo)系原點的距離）。用齊次座標(biāo)系和矩陣表示上述關(guān)系：
七、相機(jī)座標(biāo)系與世界座標(biāo)系
單反座標(biāo)系與世界座標(biāo)系的變換為：
其中R為3×3正交旋轉(zhuǎn)矩陣，t為三維平移向量，綜合上去：
ax,ay分別是圖象水平軸和垂直軸的尺度因子。K的參數(shù)中只包含焦距、主點座標(biāo)等只由單反的內(nèi)部結(jié)構(gòu)決定，因而稱K為內(nèi)部參數(shù)矩陣，ax,ay,u0,v0稱作內(nèi)部參數(shù)。M1中包含的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量是由單反座標(biāo)系相對于世界座標(biāo)系的位置決定的，因而稱M1為單反的外部參數(shù)矩陣，R和t稱作外部參數(shù)，M叫投影矩陣。單反標(biāo)定就是確定單反的內(nèi)部參數(shù)和外部參數(shù)。
也可以寫成下邊的公式。
八、畸變標(biāo)定
實際成像模型
理想的透視模型是針眼成像模型，物和像會滿足相像三角形的關(guān)系。并且實際上因為單反光學(xué)系統(tǒng)存在加工和裝配的偏差，透鏡就并不能滿足物和像成相像三角形的關(guān)系，所以單反圖象平面上實際所成的像與理想成像之間會存在畸變?；儗儆诔上竦膸缀问д?，是因為焦平面上不同區(qū)域?qū)D象的放大率不同產(chǎn)生的畫面扭曲變型的現(xiàn)象，這些變型的程度從畫面中心至畫面邊沿依次遞增，主要在畫面邊沿反映比較顯著。為了減少畸變，拍攝圖片時應(yīng)盡量避開用鏡頭焦距的最廣角端或最遠(yuǎn)端拍攝。實際的單反成像模型如右圖所示。
其中mr(xr,yr)表示實際投影點的像平面座標(biāo)系下的化學(xué)座標(biāo)，mi(xi,yi)表示理想投影點的像平面座標(biāo)系下的化學(xué)座標(biāo)。鏡頭的畸變模型可表示為：
σx和σy是非線性畸變值，它包括徑向畸變和偏心畸變和薄棱鏡畸變等。
理論上來說鏡頭都存在徑向和切向畸變，而且一般徑向畸變較大，切向畸變較小。徑向畸變的模型可由下邊的模型來表示：
其中k1k2k3……示徑向畸變系數(shù)，，一般情況下徑向畸變系數(shù)只考慮到一階或二階就可以滿足精度需求了。
偏心畸變模型是因為多個光學(xué)鏡頭的光軸不能完全共線形成的，這些畸變是由徑向和切向畸變共同構(gòu)成的，物理模型可表示如下：
其中p1,p2為切向畸變系數(shù)。薄棱鏡畸變是因為鏡頭設(shè)計制造缺陷和加工安裝所引起的，如鏡頭與單反成像平面有一個很小的夾角等。由于薄棱鏡畸變特別小，一般不考慮，這兒只考慮徑向畸變和偏心畸變，畸變總的可以表示為：
實際的成像模型為：
下邊的是另一個博客參考的，覺得不是這樣，我實際開發(fā)項目用的模型是里面的，采用opcv庫，獲取標(biāo)定參數(shù)（下章節(jié)將提到怎樣標(biāo)定，畸變校準(zhǔn)）
，并且公式可以參考一下。
里面推論了單反投影成像的物理模型，這是在理想狀況下推論的，實際上因為單反
光學(xué)系統(tǒng)存在加工和裝配的偏差，透鏡就并不能滿足物和像成相像三角形的關(guān)系，所以
單反圖象平面上實際所成的像與理想成像之間會存在畸變。畸變屬于成像的幾何失真，
是因為焦平面上不同區(qū)域?qū)D象的放大率不同產(chǎn)生的畫面扭曲變型的現(xiàn)象，這些變型的
程度從畫面中心至畫面邊沿依次遞增，主要在畫面邊沿反映比較顯著。
單反的畸變可以由非線性模型來表示，因為公式比較復(fù)雜，對于推論過程，此處將
不再贅言，最后給出簡化后的畸變模型：
其中(X,Y,Z)為世界座標(biāo)系下的座標(biāo)，(x,y,x)為單反座標(biāo)系下的座標(biāo)初中凸透鏡成像規(guī)律表格，歸一化為(x’,y’)，
(x’’,y’’)為加入畸變參數(shù)的歸一化座標(biāo)，(u,v)為畸變模型下的象素座標(biāo)。?K1,?2,?3,?4,?5,?6,為徑向畸變參數(shù)，?1,?2為切向畸變參數(shù)。