力的合成和分解
一、標(biāo)量和矢量
1．將數(shù)學(xué)量分辨為矢量和標(biāo)量彰顯了用分類(lèi)方式研究化學(xué)問(wèn)題的思想。
2．矢量和標(biāo)量的根本區(qū)別在于它們遵照不同的運(yùn)算法則：標(biāo)量用代數(shù)法；矢量用平行四邊形定則或三角形定則。
矢量的合成與分解都遵照平行四邊形定則（可簡(jiǎn)化成三角形定則）。平行四邊形定則實(shí)質(zhì)上是一種等效替換的技巧。一個(gè)矢量（合矢量）的作用療效和另外幾個(gè)矢量（分矢量）共同作用的療效相同，就可以用這一個(gè)矢量取代那幾個(gè)矢量，也可以用那幾個(gè)矢量取代這一個(gè)矢量，而不改變?cè)鹊淖饔茂熜А?span style="display:none">DSP物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
3．同仍然線上矢量的合成可轉(zhuǎn)為代數(shù)法，即規(guī)定某一方向?yàn)檎较颉Ｅc正方向相同的化學(xué)量用正號(hào)代入．相反的用減號(hào)代入，之后求代數(shù)和，最后結(jié)果的正、負(fù)彰顯了方向，但有些數(shù)學(xué)量雖也有正負(fù)之分，運(yùn)算法則也一樣．但不能覺(jué)得是矢量力的正交分解，最后結(jié)果的正負(fù)也不表示方向如：功、重力勢(shì)能、電勢(shì)能、電勢(shì)等。
二、力的合成與分解
力的合成與分解彰顯了用等效的方式研究化學(xué)問(wèn)題。
合成與分解是為了研究問(wèn)題的便捷而引人的一種技巧．用合力來(lái)取代幾個(gè)力時(shí)必須把合力與各分力脫鉤，即考慮合力則不能考慮分力，同理在力的分解時(shí)只考慮分力而不能同時(shí)考慮合力。
1．力的合成
（1）力的合成的本質(zhì)就在于保證作用療效相同的前提下，用一個(gè)力的作用取代幾個(gè)力的作用，這個(gè)力就是那幾個(gè)力的“等效力”（合力）。力的平行四邊形定則是運(yùn)用“等效”觀點(diǎn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)總結(jié)下來(lái)的共點(diǎn)力的合成法則，它給出了尋求這些“等效代換”所遵守的規(guī)律。
（2）平行四邊形定則可簡(jiǎn)化成三角形定則。由三角形定則還可以得到一個(gè)有用的結(jié)論：假如n個(gè)力首尾相接組成一個(gè)封閉六邊形，則這n個(gè)力的合力為零。
（3）共點(diǎn)的兩個(gè)力合力的大小范圍是
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
（4）共點(diǎn)的三個(gè)力合力的最大值為三個(gè)力的大小之和，最小值可能為零。
【例1】物體遭到相互垂直的兩個(gè)力F1、F2的作用，若兩力大小分別為5
N、５N，求這兩個(gè)力的合力．
解析：按照平行四邊形定則做出平行四邊形，如圖所示，因?yàn)镕1、F2互相垂直，所以做出的平行四邊形為圓形，對(duì)角線分成的兩個(gè)三角形為直角三角形，由勾股定律得：
N=10N
合力的方向與F1的傾角θ為：
θ＝30°
點(diǎn)評(píng)：今后我們遇見(jiàn)的求合力的問(wèn)題，多數(shù)都用估算法，即按照平行四邊形定則做出平行四邊形后，通過(guò)解其中的三角形求合力．在這些情況下作的是示意圖，不須要很?chē)?yán)格，但要規(guī)范，明晰什么該畫(huà)虛線，什么該畫(huà)實(shí)線，箭頭應(yīng)標(biāo)在哪些位置等．
【例2】如圖甲所示，物體遭到大小相等的兩個(gè)拉力的作用，每位拉力均為200N，兩力之間的傾角為60°，求這兩個(gè)拉力的合力．
解析：按照平行四邊形定則，做出示意圖乙，它是一個(gè)矩形，我們可以借助其對(duì)角線垂直平分，通過(guò)解其中的直角三角形求合力．
N=346N
合力與F1、F2的傾角均為30°．
點(diǎn)評(píng)：
（1）求矢量時(shí)要注意除了要求出其大小，還要求出其方向，其方向一般用它與已知矢量的傾角表示．
（2）要學(xué)好化學(xué)，除把握化學(xué)概念和規(guī)律外，還要注意提升自己應(yīng)用物理知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．
2．力的分解
（1）力的分解遵守平行四邊形法則，力的分解相當(dāng)于已知對(duì)角線求鄰邊。
（2）兩個(gè)力的合力唯一確定，一個(gè)力的兩個(gè)分力在無(wú)附加條件時(shí)，從理論上講可分解為無(wú)鏈表分力，但在具體問(wèn)題中，應(yīng)按照力實(shí)際形成的療效來(lái)分解。
【例3】將置于斜面上質(zhì)量為m的物體的重力mg分解為下降力F1和對(duì)斜面的壓力F2，這些說(shuō)法正確嗎？
解析：將mg分解為下降力F1這些說(shuō)法是正確的，而且mg的另一個(gè)分力F2不是物體對(duì)斜面的壓力，而是使物體壓緊斜面的力，從力的性質(zhì)上看，F(xiàn)2是屬于重力的分力，而物體對(duì)斜面的壓力屬于彈力，所以這些說(shuō)法不正確。
【例4】將一個(gè)力分解為兩個(gè)相互垂直的力，有幾種分法？
解析：有無(wú)數(shù)種分法，只要在表示這個(gè)力的有向線段的一段任意畫(huà)一條直線，在有向線段的另一端向這條直線做垂線，就是一種技巧。如圖所示。
（3）幾種有條件的力的分解
①已知兩個(gè)分力的方向，求兩個(gè)分力的大小時(shí)，有惟一解。
②已知一個(gè)分力的大小和方向，求另一個(gè)分力的大小和方向時(shí)，有惟一解。
③已知兩個(gè)分力的大小，求兩個(gè)分力的方向時(shí)，其分解不唯一。
④已知一個(gè)分力的大小和另一個(gè)分力的方向，求這個(gè)分力的方向和另一個(gè)分力的大小時(shí)，其分解方式可能唯一，也可能不唯一。
（4）使勁的矢量三角形定則剖析力最小值的規(guī)律：
①當(dāng)已知合力F的大小、方向及一個(gè)分力F1的方向時(shí)，另一個(gè)分力F2取最小值的條件是兩分力垂直。如圖所示，F(xiàn)2的最小值為：F2min=Fsinα
②當(dāng)已知合力F的方向及一個(gè)分力F1的大小、方向時(shí)，另一個(gè)分力F2取最小值的條件是：所求分力F2與合力F垂直，如圖所示，F(xiàn)2的最小值為：F2min=F1sinα
③當(dāng)已知合力F的大小及一個(gè)分力F1的大小時(shí)，另一個(gè)分力F2取最小值的條件是：已知大小的分力F1與合力F同方向，F(xiàn)2的最小值為｜F－F1｜
（5）正交分解法：
把一個(gè)力分解成兩個(gè)相互垂直的分力，這些分解方式稱為正交分解法。
用正交分解法求合力的步驟：
①首先構(gòu)建平面直角座標(biāo)系，并確定正方向
②把各個(gè)力向x軸、y軸上投影，但應(yīng)注意的是：與確定的正方向相同的力為正，與確定的正方向相反的為負(fù)，這樣，就用正、負(fù)號(hào)表示了被正交分解的力的分力的方向
③求在x軸上的各分力的代數(shù)和Fx合和在y軸上的各分力的代數(shù)和Fy合
④求合力的大小
合力的方向：tanα=
（α為合力F與x軸的傾角）
點(diǎn)評(píng)：力的正交分解法是把作用在物體上的所有力分解到兩個(gè)相互垂直的座標(biāo)軸上，分解最終常常是為了求合力（某一方向的合力或總的合力）。
【例5】質(zhì)量為m的鐵塊在推力F作用下，在水平地面上做勻速運(yùn)動(dòng)．已知鐵塊與地面間的動(dòng)磨擦質(zhì)數(shù)為μ，這么鐵塊遭到的滑動(dòng)磨擦力為下述各值的那個(gè)?
A．μmgＢ．μ（mg+Fsinθ）
Ｃ．μ（mg+Fsinθ）Ｄ．Fcosθ
解析：鐵塊勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)遭到四個(gè)力的作用：重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力Fμ．沿水平方向構(gòu)建x軸，將F進(jìn)行正交分解如圖(這樣構(gòu)建座標(biāo)系只需分解F)，因?yàn)殍F塊做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以，在x軸上，向左的力等于往右的力（水平方向二力平衡）；在y軸上向下的力等于向上的力（豎直方向二力平衡）．即
Fcosθ＝Fμ①
FN＝mg+Fsinθ②
又因?yàn)镕μ＝μFN③
∴Fμ＝μ（mg+Fsinθ）故Ｂ、Ｄ答案是正確的．
小結(jié)：
（1）在剖析同一個(gè)問(wèn)題時(shí)，合矢量和分矢量不能同時(shí)使用。也就是說(shuō)，在剖析問(wèn)題時(shí)，考慮了合矢量就不能再考慮分矢量；考慮了分矢量就不能再考慮合矢量。
（2）矢量的合成分解，一定要認(rèn)真畫(huà)圖。在用平行四邊形定則時(shí)，分矢量和合矢量要畫(huà)成帶箭頭的虛線，平行四邊形的另外兩個(gè)邊必須畫(huà)成實(shí)線。
（3）各個(gè)矢量的大小和方向一定要畫(huà)得合理。
（4）在應(yīng)用正交分解時(shí)，兩個(gè)分矢量和合矢量的傾角一定要分清那個(gè)是大銳角，那個(gè)是小銳角，不可隨便畫(huà)成45°。（當(dāng)題目規(guī)定為45°時(shí)除外）
三、綜合應(yīng)用舉例
【例6】水平橫粱的一端A插在墻上內(nèi)，另一端裝有一小滑輪B，一輕繩的一端C固定于墻壁，另一端越過(guò)滑輪后懸掛一質(zhì)量m=10kg的重物，∠CBA＝30°，如圖甲所示，則滑輪遭到繩子的斥力為（g=10m/s2）
A．50NB．50
NC．100ND．100
解析：取小滑輪作為研究對(duì)象，懸掛重物的繩中的彈力是T＝mg=10×10N=100N，故小滑輪受繩的斥力沿BC、BD方向的大小都是100N，剖析受力如圖（乙）所示．∠CBD＝120°，∠CBF＝∠DBF，∴∠CBF=60°，⊿CBF是等腰三角形．故F＝100N。故選C。
【例7】已知質(zhì)量為m、電荷為q的小球，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中由靜止釋放后沿直線OP向斜下方運(yùn)動(dòng)（OP和豎直方向成θ角），這么所加勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E的最小值是多少？
解析：按照題意，釋放后小球所受合力的方向必為OP方向。用三角形定則從下圖中不難看出：重力矢量OG的大小方向確定后，合力F的方向確定（為OP方向），而電場(chǎng)力Eq的矢量起點(diǎn)必須在G點(diǎn)，終點(diǎn)必須在OP射線上。在圖中畫(huà)出一組可能的電場(chǎng)力，不難看出，只有當(dāng)電場(chǎng)力方向與OP方向垂直時(shí)Eq才能最小，所以E也最小，有E=
點(diǎn)評(píng)：這是一道很典型的考察力的合成的題，不少朋友只死記住“垂直”，而不剖析哪兩個(gè)矢量垂直，時(shí)常誤覺(jué)得電場(chǎng)力和重力垂直，而得出錯(cuò)誤答案。越是簡(jiǎn)單的題越要認(rèn)真畫(huà)圖。
【例8】輕繩AB總長(zhǎng)l，用輕滑輪懸掛重G的物體。繩能承受的最大拉力是2G，將A端固定，將B端平緩?fù)衣?lián)通d而使繩不斷，求d的最大可能值。
解：以與滑輪接觸的那一小段繩子為研究對(duì)象，在任何一個(gè)平衡位置都在滑輪對(duì)它的壓力（大小為G）和繩的拉力F1、F2共同作用下靜止。而同一根繩子上的拉力大小F1、F2總是相等的，它們的合力N是壓力G的平衡力，方向豎直向下。因而以F1、F2為分力做力的合成的平行四邊形一定是矩形。借助矩形對(duì)角線相互垂直平分的性質(zhì)，結(jié)合相像形知識(shí)可得
d∶l=
∶4，所以d最大為
【例9】A的質(zhì)量是m，A、B仍然相對(duì)靜止，共同沿水平面向右運(yùn)動(dòng)。當(dāng)a1=0時(shí)和a2=0.75g時(shí)，B對(duì)A的斥力FB各多大？
解析：一定要審清題：B對(duì)A的斥力FB是B對(duì)A的支持力和磨擦力的合力。而A所受重力G=mg和FB的合力是F=ma。
當(dāng)a1=0時(shí)，G與FB二力平衡，所以FB大小為mg，方向豎直向下。
當(dāng)a2=0.75g時(shí)，用平行四邊形定則畫(huà)圖：先畫(huà)出重力（包括大小和方向），再畫(huà)出A所受合力F的大小和方向，再依照平行四邊形定則畫(huà)出FB。由已知可得FB的大小FB=1.25mg，方向與豎直方向成37o角斜往右上方。
【例10】一根長(zhǎng)2m，重為G的不均勻直棒AB，用兩根細(xì)繩水平懸掛在天花板上，如圖所示力的正交分解，求直棒重心C的位置。
解析：當(dāng)一個(gè)物體受三個(gè)力作用而處于平衡狀態(tài)，假如其中兩個(gè)力的作用線相交于一點(diǎn)．則第三個(gè)力的作用線必通過(guò)前兩個(gè)力作用線的相交點(diǎn)，把O1A和O2B延長(zhǎng)相交于O點(diǎn)，則重心C一定在過(guò)O點(diǎn)的豎直線上，如圖所示由幾何知識(shí)可知：
BO=AB/2=1mBC=BO/2=0.5m
故重心應(yīng)在距B端0.5m處。
【例11】如圖（甲）所示．質(zhì)量為m的球置于夾角為α的光滑斜面上，試剖析擋板AO與斜面間的夾角β為多大時(shí)，AO所受壓力最小？
解析：盡管題目問(wèn)的是擋板AO的受力情況，但若直接以擋板為研究對(duì)象，因擋板所受力均為未知力，將難以得出推論．以球?yàn)檠芯繉?duì)象，球所受重力形成的療效有兩個(gè)：對(duì)斜面形成的壓力N1、對(duì)擋板形成的壓力N2，依據(jù)重力形成的療效將重力分解，如圖（乙）所示，
當(dāng)擋板與斜面的傾角β由圖示位置變化時(shí)，N1大小改變但方向不變，仍然與斜面垂直，N2的大小和方向均改變，如圖（乙）中實(shí)線由圖可看出擋板AO與斜面垂直時(shí)β=90°時(shí)，擋板AO所受壓力最小，最小壓力N2min=mgsinα。