質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)相對(duì)瞬心動(dòng)量矩定律摘要：在理論熱學(xué)教材中有關(guān)動(dòng)量矩定律內(nèi)容中，通常只給出矩心事固定點(diǎn)或剛體的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定律。文章從質(zhì)心動(dòng)量矩定律出發(fā)，推導(dǎo)入質(zhì)心做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)相對(duì)速率瞬心的動(dòng)量矩定律，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)對(duì)速率瞬心的動(dòng)量矩定律與對(duì)剛體的動(dòng)量矩定律具有相同方式的條件關(guān)鍵詞：速率瞬心動(dòng)量矩定律質(zhì)心平面運(yùn)動(dòng)中圖分類(lèi)號(hào)：0313.3文獻(xiàn)標(biāo)示碼：A文章編號(hào)：1672-1578（2017）04-0025-011序言動(dòng)量矩定律是熱學(xué)中一個(gè)非常重要的定律，并且教材中只是講了動(dòng)量矩定律對(duì)于質(zhì)量心創(chuàng)立。本文將證明動(dòng)量矩定律除了對(duì)固定點(diǎn)創(chuàng)立、對(duì)力偶創(chuàng)立，并且對(duì)速率瞬心創(chuàng)立，同時(shí)強(qiáng)調(diào)只有在特殊情況下對(duì)速率瞬心的動(dòng)量矩定律才具有與剛體的動(dòng)量矩定律同樣的方式2對(duì)瞬心的動(dòng)量矩定律如圖1所示C為質(zhì)點(diǎn)組的剛體，Cx′y′z′為隨質(zhì)點(diǎn)組一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)座標(biāo)系。Oxyz為慣性座標(biāo)系，O為慣性座標(biāo)系的原點(diǎn)且和質(zhì)點(diǎn)組的速率瞬心p重合。在慣性座標(biāo)系Oxyz中任意質(zhì)點(diǎn)mi的相對(duì)矢徑為ri，剛體C的相對(duì)矢心為rc。在此動(dòng)座標(biāo)系Cx′y′z′內(nèi)，任一質(zhì)點(diǎn)mi的相對(duì)矢徑ric。假如質(zhì)心只繞x軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于剛體的動(dòng)量矩定律為[1]JCε=ric×Fi（1）式中JC為質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，ε為質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度，F(xiàn)i為作用到質(zhì)點(diǎn)mi的外部荷載。
因?yàn)橘|(zhì)心對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，等于質(zhì)心對(duì)于通過(guò)剛體、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，加上質(zhì)心的質(zhì)量與兩軸寬度離平方的乘積，則相對(duì)于瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為：JP=JC+Mr（2）將式（2）代入到公式（1）并進(jìn)行整理可得：JPε=ric×Fi+Mrε（3）式中M為質(zhì)點(diǎn)組的總質(zhì)量。如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)mi在動(dòng)座標(biāo)系中的矢徑ric等于其在慣性座標(biāo)系中的矢徑rip乘以剛體在慣性座標(biāo)系中的矢徑rcp動(dòng)量定理在哪本書(shū)，即ric=rip-rcp。將其代入到公式（3）中整理可得：JPε=riP×Fi-rcp×Fi+Mrε（4）因?yàn)橛锌臻g力對(duì)瞬心p的矩MP（F）=riP×Fi，式（4）可縮寫(xiě)為：JPε=M-rcp×Fi+Mrε（5）按照剛體運(yùn)動(dòng)定律Mac=Fi，對(duì)上式中等號(hào)左側(cè)第三項(xiàng)進(jìn)行簡(jiǎn)化可得：JPε=M-rcp×Mac+Mrε（6）對(duì)于剛體C點(diǎn)處得加速度由兩部份組成，切向加速度a和OC連線(xiàn)相垂直，法向加速度a沿著OC方向。因?yàn)檎w座標(biāo)系中O點(diǎn)是物體運(yùn)動(dòng)的瞬心，所以切向速率vc=ω×rcp，式中ω為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)瞬心O的角速率。
假如結(jié)構(gòu)繞固定軸x作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)力偶C導(dǎo)數(shù)可得剛體的加速度[2]ac=ω×rcp+ε×rcp=（ω×rcp）+ω×+ε×rcp（7）（7）式中切線(xiàn)加速度a=ε×rcp+ω×，法向加速度a=ω×（ω×rcp），如圖2所示將式（7）代入到式（6）中，公式（6）中等號(hào)左側(cè)第三項(xiàng)可寫(xiě)為：rcp×Mac=Mrcp×（ω×（ω×rcp））+Mrcp×（ω×）+Mrcp×（ε×rcp）（8）因?yàn)榉ㄏ蚣铀俣萢和矢徑rcp方向相同，所以rcp×（ω×（ω×rcp））=0。三個(gè)矢量的二重叉積滿(mǎn)足公式[3]rcp×（ε×rcp）=（）ε-（rcpε）rcp，即（rcpε）rcp。公式（8）可以?寫(xiě)為：rcp×Mac=Mrε+Mr×（ω×）（9）將公式（9）代入到公式（6）中可得JPε+Mr×（ω×）=M（10）這樣我們得到了基于瞬心的動(dòng)量矩定律，其方式較為復(fù)雜。并且，當(dāng)質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體距離瞬心的距離不變時(shí)有=0，則公式（10）可以縮寫(xiě)為JPε+Mr×（ω×）=M（11）公式（11）的方式和質(zhì)心平面運(yùn)動(dòng)對(duì)力偶的動(dòng)量矩定律相同參考文獻(xiàn)：[1]王鐸動(dòng)量定理在哪本書(shū)，程靳.理論熱學(xué)[M].上海：高等教育出版社，2006.1