質心定軸轉動時相對瞬心動量矩定律摘要：在理論熱學教材中有關動量矩定律內容中，通常只給出矩心事固定點或剛體的質點系動量矩定律。文章從質心動量矩定律出發，推導入質心做平面運動時相對速率瞬心的動量矩定律，進一步強調對速率瞬心的動量矩定律與對剛體的動量矩定律具有相同方式的條件關鍵詞：速率瞬心動量矩定律質心平面運動中圖分類號：0313.3文獻標示碼：A文章編號：1672-1578（2017）04-0025-011序言動量矩定律是熱學中一個非常重要的定律，并且教材中只是講了動量矩定律對于質量心創立。本文將證明動量矩定律除了對固定點創立、對力偶創立，并且對速率瞬心創立，同時強調只有在特殊情況下對速率瞬心的動量矩定律才具有與剛體的動量矩定律同樣的方式2對瞬心的動量矩定律如圖1所示C為質點組的剛體，Cx′y′z′為隨質點組一起運動的動座標系。Oxyz為慣性座標系，O為慣性座標系的原點且和質點組的速率瞬心p重合。在慣性座標系Oxyz中任意質點mi的相對矢徑為ri，剛體C的相對矢心為rc。在此動座標系Cx′y′z′內，任一質點mi的相對矢徑ric。假如質心只繞x軸作定軸轉動，質點系對于剛體的動量矩定律為[1]JCε=ric×Fi（1）式中JC為質點組相對剛體作定軸轉動時的轉動力矩，ε為質點組相對剛體的轉動角加速度，Fi為作用到質點mi的外部荷載。
因為質心對任意軸的轉動力矩，等于質心對于通過剛體、并與該軸平行的軸的轉動力矩，加上質心的質量與兩軸寬度離平方的乘積，則相對于瞬心的轉動力矩為：JP=JC+Mr（2）將式（2）代入到公式（1）并進行整理可得：JPε=ric×Fi+Mrε（3）式中M為質點組的總質量。如圖1所示，質點mi在動座標系中的矢徑ric等于其在慣性座標系中的矢徑rip乘以剛體在慣性座標系中的矢徑rcp動量定理在哪本書，即ric=rip-rcp。將其代入到公式（3）中整理可得：JPε=riP×Fi-rcp×Fi+Mrε（4）因為有空間力對瞬心p的矩MP（F）=riP×Fi，式（4）可縮寫為：JPε=M-rcp×Fi+Mrε（5）按照剛體運動定律Mac=Fi，對上式中等號左側第三項進行簡化可得：JPε=M-rcp×Mac+Mrε（6）對于剛體C點處得加速度由兩部份組成，切向加速度a和OC連線相垂直，法向加速度a沿著OC方向。因為整體座標系中O點是物體運動的瞬心，所以切向速率vc=ω×rcp，式中ω為質點系對瞬心O的角速率。
假如結構繞固定軸x作定軸轉動，對力偶C導數可得剛體的加速度[2]ac=ω×rcp+ε×rcp=（ω×rcp）+ω×+ε×rcp（7）（7）式中切線加速度a=ε×rcp+ω×，法向加速度a=ω×（ω×rcp），如圖2所示將式（7）代入到式（6）中，公式（6）中等號左側第三項可寫為：rcp×Mac=Mrcp×（ω×（ω×rcp））+Mrcp×（ω×）+Mrcp×（ε×rcp）（8）因為法向加速度a和矢徑rcp方向相同，所以rcp×（ω×（ω×rcp））=0。三個矢量的二重叉積滿足公式[3]rcp×（ε×rcp）=（）ε-（rcpε）rcp，即（rcpε）rcp。公式（8）可以?寫為：rcp×Mac=Mrε+Mr×（ω×）（9）將公式（9）代入到公式（6）中可得JPε+Mr×（ω×）=M（10）這樣我們得到了基于瞬心的動量矩定律，其方式較為復雜。并且，當質心定軸轉動時剛體距離瞬心的距離不變時有=0，則公式（10）可以縮寫為JPε+Mr×（ω×）=M（11）公式（11）的方式和質心平面運動對力偶的動量矩定律相同參考文獻：[1]王鐸動量定理在哪本書，程靳.理論熱學[M].上海：高等教育出版社，2006.1