流體流動、傳熱和傳熱傳質(zhì)：能量守恒能量多項式

熱力學第一定理將內(nèi)能定義敘述為：封閉系統(tǒng)的內(nèi)能變化ΔU等于系統(tǒng)吸收的熱量

除以系統(tǒng)所做的功

：

(1)

假如系統(tǒng)可以運動，則多項式可以擴充為包含系統(tǒng)動能

：

(2)

在剖析容積無限小的流體時，我們可以改寫多項式，得到總內(nèi)能守恒多項式（）：

(3)

在上式中：

總撓度張量一般寫為：

(4)

其中，

表示壓力，

表示粘性撓度張量。

等式右邊第二項表示表面力所做的功，在使用

定義后，該項可以寫為

(5)

該等式右邊第一項一般稱為壓力功焦耳定律計算工具，第二項稱為粘性功。這兩項可以通過以下方法進一步分解：

(6)

等式的第一行表示可逆效應，可以描述使內(nèi)能降低的功以及內(nèi)能做功的過程。第二行描述不可逆效應，即：功怎樣通過粘性耗散使內(nèi)能降低，以及粘性效應怎樣使動能減低。

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多項式包含動能守恒多項式。通過將速率

與動量多項式進行點積，可以推導入該多項式。執(zhí)行代數(shù)運算后，可以得到：

(7)

從上式可以看出，總能量多項式中體力做的所有功就會改變動能。多項式兩側其余的項包含等式中描述的影響動能的表面力做功部份。從等式中除以多項式，可以得到內(nèi)能多項式：

(8)

假如存在由反應或與幅射互相作用等形成的內(nèi)熱源，則須要添加一個附加的內(nèi)熱源項

，此時的內(nèi)能等式變?yōu)椋?span style="display:none">5og物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

(9)

焓多項式

內(nèi)能是一個熱力學狀態(tài)變量，極少用于實際應用。較為常用的數(shù)學量是焓

，它通過下式與內(nèi)能關聯(lián)：

(10)

將等式代入等式，經(jīng)過重新整理，可以得到焓多項式（）：

(11)

多項式為守恒方式，這些方法是通過在編撰等式右邊時，將密度和速率包含在散度運算符中來實現(xiàn)的。使用連續(xù)性等式可以推導入焓多項式的非守恒方式。等式右邊可以展開為以下方式：

(12)

等式右邊的第一項是連續(xù)性多項式除以焓，因而恒等于零。多項式由此可以寫為：

(13)

雖然多項式為非守恒方式，但仍可以描述焓守恒。

室溫多項式

相信所有工程師都熟悉氣溫概念，因而用體溫描述能量守恒十分便捷。焓與氣溫

和壓力的關系通過以下微分關系來表征：

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(14)

其中，

為恒壓潛熱，β為容積膨脹系數(shù)。

等式可用于替換多項式中的

。再度調(diào)用連續(xù)性等式，可以得到體溫多項式：

(15)

最后一步是使用傅里葉導熱定理

（

為導熱系數(shù)）來定義傳導熱通量矢量

。據(jù)此可以得到體溫多項式：

(16)

觀察上式可以發(fā)覺焦耳定律計算工具，只有在恢復焓或內(nèi)能的情況下，才會改寫守恒方式的氣溫多項式。

室溫多項式是另一種表征能量守恒的形式，在物理上等效于多項式。但是，在使用數(shù)值方式實現(xiàn)多項式時，不同的守恒多項式并不等效。許多商業(yè)軟件都基于有限容積法，并求解守恒方式的總焓輸運多項式。通過這些方法，這種商業(yè)軟件可以實現(xiàn)總能量守恒。但總焓多項式容易形成數(shù)值振蕩，因而增加數(shù)值精度。為此，求解氣溫多項式相對要穩(wěn)定、精確得多。有限元法支持求解氣溫多項式，同時能夠實現(xiàn)總能量守恒。

能量守恒的特殊情況

對于理想二氧化碳，

項等于一，此時方程變?yōu)椋?span style="display:none">5og物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

(17)

假如流體不可壓縮，則壓力功項為零，多項式可以簡化為：

(18)

對于大多數(shù)工程應用而言，假若系統(tǒng)沒有經(jīng)歷顯著的壓力變化，或則馬赫數(shù)遠大于一，則壓力功項也可以忽視不計。

在一些特殊情況下，剪切速度十分高，此時的粘性加熱就變得十分重要。軸承系統(tǒng)和油壓系統(tǒng)便是兩個典型的工程事例。但是，在大多數(shù)其他情況下，粘性加熱可以忽視不計，等式可進一步簡化為：

(19)

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能量守恒的特殊情況

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