流體流動、傳熱和傳熱傳質：能量守恒能量多項式
熱力學第一定理將內能定義敘述為：封閉系統的內能變化ΔU等于系統吸收的熱量
除以系統所做的功
：
(1)
假如系統可以運動，則多項式可以擴充為包含系統動能
：
(2)
在剖析容積無限小的流體時，我們可以改寫多項式，得到總內能守恒多項式（）：
(3)
在上式中：
總撓度張量一般寫為：
(4)
其中，
表示壓力，
表示粘性撓度張量。
等式右邊第二項表示表面力所做的功，在使用
定義后，該項可以寫為
(5)
該等式右邊第一項一般稱為壓力功焦耳定律計算工具，第二項稱為粘性功。這兩項可以通過以下方法進一步分解：
(6)
等式的第一行表示可逆效應，可以描述使內能降低的功以及內能做功的過程。第二行描述不可逆效應，即：功怎樣通過粘性耗散使內能降低，以及粘性效應怎樣使動能減低。
多項式包含動能守恒多項式。通過將速率
與動量多項式進行點積，可以推導入該多項式。執行代數運算后，可以得到：
(7)
從上式可以看出，總能量多項式中體力做的所有功就會改變動能。多項式兩側其余的項包含等式中描述的影響動能的表面力做功部份。從等式中除以多項式，可以得到內能多項式：
(8)
假如存在由反應或與幅射互相作用等形成的內熱源，則須要添加一個附加的內熱源項
，此時的內能等式變為：
(9)
焓多項式
內能是一個熱力學狀態變量，極少用于實際應用。較為常用的數學量是焓
，它通過下式與內能關聯：
(10)
將等式代入等式，經過重新整理，可以得到焓多項式（）：
(11)
多項式為守恒方式，這些方法是通過在編撰等式右邊時，將密度和速率包含在散度運算符中來實現的。使用連續性等式可以推導入焓多項式的非守恒方式。等式右邊可以展開為以下方式：
(12)
等式右邊的第一項是連續性多項式除以焓，因而恒等于零。多項式由此可以寫為：
(13)
雖然多項式為非守恒方式，但仍可以描述焓守恒。
室溫多項式
相信所有工程師都熟悉氣溫概念，因而用體溫描述能量守恒十分便捷。焓與氣溫
和壓力的關系通過以下微分關系來表征：
(14)
其中，
為恒壓潛熱，β為容積膨脹系數。
等式可用于替換多項式中的
。再度調用連續性等式，可以得到體溫多項式：
(15)
最后一步是使用傅里葉導熱定理
（
為導熱系數）來定義傳導熱通量矢量
。據此可以得到體溫多項式：
(16)
觀察上式可以發覺焦耳定律計算工具，只有在恢復焓或內能的情況下，才會改寫守恒方式的氣溫多項式。
室溫多項式是另一種表征能量守恒的形式，在物理上等效于多項式。但是，在使用數值方式實現多項式時，不同的守恒多項式并不等效。許多商業軟件都基于有限容積法，并求解守恒方式的總焓輸運多項式。通過這些方法，這種商業軟件可以實現總能量守恒。但總焓多項式容易形成數值振蕩，因而增加數值精度。為此，求解氣溫多項式相對要穩定、精確得多。有限元法支持求解氣溫多項式，同時能夠實現總能量守恒。
能量守恒的特殊情況
對于理想二氧化碳，
項等于一，此時方程變為：
(17)
假如流體不可壓縮，則壓力功項為零，多項式可以簡化為：
(18)
對于大多數工程應用而言，假若系統沒有經歷顯著的壓力變化，或則馬赫數遠大于一，則壓力功項也可以忽視不計。
在一些特殊情況下，剪切速度十分高，此時的粘性加熱就變得十分重要。軸承系統和油壓系統便是兩個典型的工程事例。但是，在大多數其他情況下，粘性加熱可以忽視不計，等式可進一步簡化為：
(19)