一、模型建構(gòu)
1、流體問題：
"流體"通常是指液體流、氣體流等，質(zhì)量具有連續(xù)性。涉及有求解質(zhì)量、體積和力等問題。
2、兩類問題
第一類：連續(xù)流體類問題
對于該類問題流體運動,可沿流速v的方向選定一段柱形流體作微元
設(shè)在極短的時間Δt內(nèi)通過某一橫截面積為S的柱形流體的寬度為Δl,如圖所示。設(shè)流體的密度為ρ
則在Δt的時間內(nèi)流過該截面的流體的質(zhì)量Δm=ρSΔl=ρSvΔt
依據(jù)動量定律得：FΔt=ΔmΔv
分兩種情況:
(1)作用后流體微元停止，有Δv=-v，則F=-ρSv2
(2)作用后流體微元以速度v大跌，有Δv=-2v，則F=-2ρSv2
第二類：連續(xù)微粒類問題
"微粒"通常是指電子流、塵埃等，質(zhì)量具有獨立性，一般給出單位容積內(nèi)的粒子數(shù)n：
（1）構(gòu)建"柱狀"模型，沿運動速率v0的方向選定一段微元，柱體的橫截面積為S；
（2）微元研究，作用時間△t內(nèi)的一段柱體的厚度為v0△t，對應(yīng)的容積為△V=Sv0△t，則微元內(nèi)的粒子數(shù)N=nSv0△t
（3）先應(yīng)用動量定律研究單個粒子，構(gòu)建多項式，再除以N估算。
二、例題精析
例1、有一橫截面積為S的銅導(dǎo)線，流經(jīng)其中的電壓為I，設(shè)每單位容積的導(dǎo)線有n個自由電子，電子的電荷量為q，此時電子的定向聯(lián)通速度為v，在t時間內(nèi)，通過導(dǎo)線橫截面的自由電子數(shù)量可表示為（）
A．Nst
B．Nvt
C．
D．
解答：在t時間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的自由電子的電量Q＝It，
則在t時間內(nèi)，通過導(dǎo)體橫截面的自由電子的數(shù)量為：N＝
，
依照電壓的微觀表達式I＝nqvS，將I＝nevS代入得：
N＝
＝nvSt
故選：C。
例2、運動員在水上做飛行運動演出他操控噴射式漂浮飛行器將水帶豎直送上來的水反轉(zhuǎn)180°后向上噴吐，令自己懸停在空中，如圖所示。已知運動員與武器的總質(zhì)量為90kg，兩個噴管的半徑均為10cm，已知重力加速度大小g＝10m/s2，水的密度ρ＝1.0×103kg/m3，則噴管處噴水的速率大概為（）
A．2.7m/s
B．5.4m/s
C．7.6m/s
D．10.8m/s
解答：設(shè)飛行器對水的平均斥力為F，依據(jù)牛頓第三定理可知，水對飛行器的斥力的大小也等于F，對飛行器，則：F＝Mg
設(shè)水噴吐時的速率為v，選定一段柱形流體
在時間t內(nèi)噴吐的水的質(zhì)量：△m＝ρ?V＝ρ?2Svt
t時間內(nèi)質(zhì)量為△m的水獲得的沖量：I＝Ft＝△mv
聯(lián)立可得：v＝
＝
＝7.6m/s
故選：C。
三、針對訓練
1．如圖所示，一根橫截面積為S的均勻帶電長直橡膠棒沿軸線方向做速率為v的勻速直線運動。棒單位寬度所帶電荷量為﹣q，則因為棒的運動而產(chǎn)生的等效電壓大小和方向（）
A．vq重力加速度單位，方向與v的方向相反
B．vqS，方向與v的方向相反
C．
，方向與v的方向相反
D．
，方向與v的方向相同
【解答】解：棒沿軸線方向以速率v做勻速直線運動時，每秒通過的距離為v米，每秒v米長的橡膠棒上電荷都通過直棒的橫截面，每秒內(nèi)通過橫截面的電量大小為：Q＝q?v
依照電壓的定義式為：I＝
，t＝1s，
得到等效電壓為：I＝qv．
因為棒帶負電，則電壓的方向與棒運動的方向相反，即與v的方向相反。
故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
2．打開水龍頭，水順水而下，仔細觀察將會發(fā)覺在流下的過程中，連續(xù)的水流柱的半徑是逐步減少的．設(shè)進水口方向豎直向上的水龍頭半徑為1cm，g取10m/s2．假若測得水在進水口處的速率大小為1m/s，則距進水口75cm處水流柱的半徑為（）
A．1cm
B．0.5cm
C．0.75cm
D．0.25cm
【解答】解：設(shè)水在水龍頭出口處速率大小為v1，水流到距進水口75cm處的速率v2，
由
代入數(shù)據(jù)解得v2＝4m/s，
設(shè)極短時間為△t，在水龍頭出口處流出的水的容積為V1＝v1△t
①
水流進接臉盆的容積為V2＝v2△t?
②
由V1＝V2得v1△t?
＝v2△t?
代入解得??d2＝1cm
故選：A。
3．圖是某城市廣場噴泉噴吐火柱的場景。從遠處看，噴泉噴吐的火柱超過了40層樓的高度；緊靠看，機翼的半徑約為10cm。請你據(jù)此恐怕用于給機翼噴水的電動機輸出功率起碼有多大？
【解答】解：管口的方形外徑約有10cm，則直徑r＝5cm＝0.05m
依據(jù)實際情況，每層樓高h＝3m，所以噴水的高度H＝40h＝120m，
則水離開管口的速率為：v＝
＝
設(shè)給機翼噴水的電動機輸出功率為P，在接近管口很短一段時間△t內(nèi)火柱的質(zhì)量為：
m＝ρ?v△tS＝ρπr2v△t
按照動能定律可得：P△t＝
mv2，
解得：P＝
代入數(shù)據(jù)解得：P＝4.62×105W，
答：給機翼噴水的電動機輸出功率起碼4.62×105W。
4．某市有一風力發(fā)電機如圖所示，它的莖稈轉(zhuǎn)動時可產(chǎn)生直徑為20m的圓面。某時間內(nèi)該地區(qū)的風速是6.0m/s，風向正好跟莖稈轉(zhuǎn)動的圓面垂直，已知空氣的密度為1.2kg/m3，如果這個風力發(fā)電機能將空氣動能的10%轉(zhuǎn)化為電能。（保留兩位有效數(shù)字）
（1）求一秒內(nèi)沖擊風力發(fā)電機莖稈圓面的氣流的容積；
（2）求一秒內(nèi)沖擊風力發(fā)電機莖稈圓面的氣流的動能；
（3）求此風力發(fā)電機發(fā)電的功率。
【解答】解：（1）一秒沖擊風車車葉的二氧化碳容積為：
V＝SL＝πr2vt＝3.14×400×6×1m3＝7.5×103m3；
（2）1s內(nèi)氣流的質(zhì)量：m＝ρV＝1.2×7.5×103kg＝9×103kg；
氣流的動能：E動＝
mv2＝
×9×103×36J＝1.6×105J；
（3）一秒風的動能轉(zhuǎn)化為的電能：
E電＝ηE動＝10%×1.6×105J≈1.6×104J；
則功率P＝
＝1.6×104W。
答：（1）一秒內(nèi)沖擊風力發(fā)電機莖稈圓面的氣流的容積為7.5×103m3；
（2）一秒內(nèi)沖擊風力發(fā)電機莖稈圓面的氣流的動能為1.6×105J；
（3）此風力發(fā)電機發(fā)電的功率1.6×104W。
5．新型冠狀病毒主要傳播形式為飛沫傳播。有關(guān)專家研究得出打噴嚏時氣流噴吐的速率可達50m/s，假定一次打噴嚏人遭到的平均反沖力約為0.16N，時間大概0.03s，計算打一次噴嚏噴吐空氣的質(zhì)量約為（）
A．9.6×10﹣3kg
B．9.6×10﹣5kg
C．1.92×10﹣3kg
D．1.92×10﹣5kg
【解答】解：設(shè)打一次噴嚏噴吐空氣的質(zhì)量為m，由動量定律可得：F×Δt＝mv
代入數(shù)據(jù)解得：m＝9.6×10﹣5kg。故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
6．如圖所示為某市一風力發(fā)電機，它的莖稈轉(zhuǎn)動時可產(chǎn)生直徑為20m的圓面。某時間內(nèi)該地區(qū)的風速是5.0m/s，風向正好跟莖稈轉(zhuǎn)動的圓面垂直，已知空氣的密度為1.2kg/m3，如果這個風力發(fā)電機能將此圓內(nèi)10%的空氣動能轉(zhuǎn)化為電能，π取3。下述說法正確的是（）
A．單位時間內(nèi)沖擊風力發(fā)電機莖稈圓面的氣流的容積為
B．單位時間內(nèi)沖擊風力發(fā)電機莖稈圓面的氣流的動能為900J
C．單位時間內(nèi)沖擊風力發(fā)電機莖稈圓面的氣流的動量為900kg?m/s
D．此風力發(fā)電機發(fā)電的功率為900W
【解答】解：A、單位時間內(nèi)沖擊風力發(fā)電機莖稈圓面的氣流的容積為
，故A正確；
B、單位時間內(nèi)沖擊風力發(fā)電機莖稈圓面的氣流的動能為
，故B錯誤；
C、單位時間內(nèi)沖擊風力發(fā)電機莖稈圓面的氣流的動量為
p＝mv＝ρV0v＝1.2×6000×5kg?m/s＝3.6×104kg?m/s，故C錯誤；
D、依題意，此風力發(fā)電機發(fā)電的功率為
，故D錯誤。
故選：A。
7．近年大型無人機發(fā)展迅速，在交通管理，航拍攝影、安防搜救等方面都有廣泛的應(yīng)用。如圖所示為某機型的無人機，它通過4個涵道螺旋槳向外推進空氣獲得升力，假定質(zhì)量為M無人機在某次無風狀態(tài)下飛行時，處于水平懸停狀態(tài)下，被推進空氣獲得速率為v，空氣的密度為ρ。忽視推出空氣對機身的斥力，則下邊說法正確的是（）
A．無人機的動能為
B．無人機的功率Mgv
C．單位時間內(nèi)推出空氣的總質(zhì)量為
D．每位螺旋槳轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生空氣流動的圓面面積
【解答】解：AB、由于客機靜止，所以空氣對客機的斥力為：F＝Mg
客機對空氣斥力為：F′＝F＝Mg
對被推向下的空氣應(yīng)用動量定律可得：F't＝Mgt＝mv
得：m＝
空氣獲得的動能為：Ek＝
，解得：Ek＝
Mgvt
無人機做功使空氣獲得動能，無人機的功率為：P＝
＝
＝
Mgv，故AB錯誤；
C、由上可知：m＝
，單位時間內(nèi)推出空氣的總質(zhì)量為m0＝
＝
，故C正確；
D、螺旋槳轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生空氣流動的圓面面積為S，則有：Sρv＝
，
每位螺旋槳轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生空氣流動的圓面面積：S′＝
聯(lián)立解得：S′＝
，故D錯誤。
故選：C。
8．水面上有帆船正以速率v1勻速順風航行。已知：該船帆的有效受風面積為S，水平風速恒為v2，且v1＜v2，水面上空氣密度為ρ。則風對船帆的推力的功率為（）
A．ρSv22
B．ρS（v2﹣v1）2
C．ρS（v2﹣v1）2v1
D．ρS（v2﹣v1）2v2
【解答】解：單位時間t內(nèi)沖擊船帆的空氣的容積
V＝SL＝S（v2﹣v1）t
單位時間t內(nèi)沖擊船帆的空氣質(zhì)量
m＝ρV＝ρS（v2﹣v1）t
空氣的動量改變量
Δp＝m（v2﹣v1）
帆對空氣的斥力F，由動量定律
Ft＝Δp
解得：F＝ρS
依據(jù)牛頓第三定理，帆船在航行過程中遭到的風的水平推力大小
F'＝F＝ρS
風對船帆的推力的功率為
P＝F'v1＝ρS
v1，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
9．如圖，橫截面積為5cm2的火柱以10m/s的速率垂直沖到墻面上，已知水的密度為1×103kg/m3，假定水沖到墻壁后不大跌而順墻上流下，則墻上所受火柱沖擊力為（）
A．5×105N
B．50N
C．5×103N
D．5×102N
【解答】解：ts時間內(nèi)噴水質(zhì)量為：m＝ρSvt＝1000×0.0005×10tkg＝5tkg，
水在時間ts內(nèi)遭到墻的沖量為：I＝0﹣mv＝Ft
所以：
減號表示水遭到的墻的斥力的方向與運動的方向相反。
故選：B。
10．2021年9月24日，中國用長征5號運載湖人成功將太空飛船貨物艙送入預(yù)定軌道。運載湖人打火時向上噴氣，會對地面形成力道。假定湖人噴氣口的橫截面積為s，噴吐二氧化碳的速率為v（相對于地面），二氧化碳垂直射向地面后，豎直速率變?yōu)榱?，已知二氧化碳的密度為ρ，重力加速度大小為g，忽視二氧化碳自身重力，則二氧化碳對地面的平均力道是（）
A．sv2ρ
B．
sv2ρ
C．svgρ
D．
svρ
【解答】解：設(shè)Δt時間內(nèi)雄鹿噴吐二氧化碳的質(zhì)量為Δm，則Δm＝ρsv?Δt
以Δt此時間內(nèi)噴吐的二氧化碳Δm為研究對象，設(shè)地面對二氧化碳的斥力為F，取噴吐二氧化碳速率的方向為正方向，由動量定律得：
﹣F?Δt＝0﹣Δmv
聯(lián)立解得：F＝ρsv2
由牛頓第三定理知，二氧化碳對地面的沖擊力為：F′＝F＝ρsv2，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
11．用豆粒模擬二氧化碳分子，可以模擬二氧化碳浮力形成的原理。如圖所示，從距秤盤80cm高度把1000粒的豆粒連續(xù)均勻地倒在秤盤上，持續(xù)作用時間為1s，豆粒彈起時豎直方向的速率變?yōu)榕銮暗囊话?。若每位豆粒只與秤盤碰撞一次，且碰撞時間極短（在豆粒與秤盤碰撞極短時間內(nèi)，碰撞力遠小于豆粒遭到的重力），已知1000粒的豆粒的總質(zhì)量為100g。則在碰撞過程中秤盤遭到的壓力大小約為（）
A．0.2N
B．0.6N
C．1.0N
D．1.6N
【解答】解：豆粒下落到秤盤上的速率v＝
＝
＝4m/s；大跌后速率為v'＝﹣2m/s，設(shè)向上為正方向，則依據(jù)動量定律可知：
Ft＝mv'﹣mv
解得：F＝0.6N；由牛頓第三定理可知，在碰撞過程中秤盤遭到的壓力大小為0.6N；
故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
12．高壓水槍是世界上公認的最科學、經(jīng)濟、環(huán)保的清潔工具之一。如圖所示為某高壓水槍工作時的場景?？紤]能量耗損，可近似覺得高壓水槍工作時電動機所做功的80%轉(zhuǎn)化為噴吐水的動能，已知水槍進水口半徑為d，水從槍口噴吐時的速率為v，水的密度為ρ，求：
（1）單位時間從槍口噴吐的水的質(zhì)量；
（2）這個水槍工作時電動機做功的功率；
（3）用高壓水槍沖洗物體時，在物體表面將形成一定的壓力。若水從槍口噴吐時的速率大小v＝100m/s，近距離垂直噴射到物體表面，水槍進水口半徑d＝5mm。忽視水從槍口噴吐后的發(fā)散效應(yīng)，水噴射到物體表面時速率在短時間內(nèi)變?yōu)榱?。因為火柱后端的水與物體表面互相作用時間很短，因而在剖析水對物體表面的斥力時可忽視這部份水所受的重力。已知水的密度ρ＝1.0×103kg/m3，g＝10m/s2，計算水槍在物體表面形成的沖擊力的大小。
【解答】解：（1）Δt時間內(nèi)，水槍噴吐的水的質(zhì)量為：Δm＝ρSvΔt＝ρ?
πd2vΔt
則單位時間從槍口噴吐的水的質(zhì)量為：
＝
ρπd2v
（2）水槍在時間Δt內(nèi)做功轉(zhuǎn)化為火柱的動能為：W＝
這個水槍工作時電動機做功的功率為：P電＝
＝
＝
＝
ρπd2v3
（3）取很短的時間Δt'重力加速度單位，則Δt'時間內(nèi)打到物體表面的水的質(zhì)量為m'，則有：m'＝ρ
πd2vΔt'
以這部份水為研究對象，設(shè)物體表面對其斥力為F'，以水流速率方向為正方向，由動量定律可得：
﹣F'Δt'＝0﹣m'v
代入數(shù)據(jù)解得：F′＝196.25N
依據(jù)牛頓第三定理可得水槍在物體表面形成的沖擊力大小：F＝F'＝196.25N
答：（1）單位時間從槍口噴吐的水的質(zhì)量為
ρπd2v；
（2）這個水槍工作時電動機做功的功率為
ρπd2v3；
（3）水槍在物體表面形成的沖擊力的大小為196.25N。
13．某游樂園入口旁有一噴泉，水槍噴吐的火柱將一玩具紙盒穩(wěn)定地懸停在相對于噴管高度為h的空中，如圖所示。為估算便捷起見，假定火柱從橫截面積為S的噴管持續(xù)以恒定的速率v0豎直向下噴吐；紙盒頂部為平板（面積略小于S）；火柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速率變?yōu)榱?，在水平方向朝四周均勻飄動。忽視空氣阻力。已知水的密度為ρ，重力加速度為g。求
（1）水槍單位時間噴吐的水的質(zhì)量
（2）玩具紙盒的質(zhì)量M。
【解答】解：（1）設(shè)△t內(nèi)噴水的質(zhì)量為△m，則：△m＝ρSv0△t
單位時間噴吐的水的質(zhì)量：
；
（2）設(shè)△t內(nèi)，木盒對△m的水的平均斥力為F，沖擊紙盒時水的速率為v，取向下為正
動量定律有：（F+△mg）△t＝△mv
又△mg＜＜F
所以F＝ρSv0v
由運動學公式有：
由平衡條件及牛頓第三定理有：F'＝Mg，F(xiàn)'＝F
聯(lián)立解得：
。
答：（1）水槍單位時間噴吐的水的質(zhì)量為ρSv0；
（2）玩具紙盒的質(zhì)量為
。
14．高壓掘進水槍進水口的橫截面積為S，水的射程為v，火柱水平垂直地射到礦體后，速度變?yōu)?，若水的密度為ρ，假設(shè)火柱截面不變，則水對礦體的沖擊力是多大？
【解答】解：設(shè)t時間內(nèi)有V容積的水打在礦體上，則這種水的質(zhì)量為：m＝ρV＝ρSvt，
以這部份水為研究對象，它深受礦體的斥力為F，以水運動的方向為正方向，由動量定律有：Ft＝0﹣mv，
即：F＝﹣
＝﹣ρSv2，減號表示水遭到的斥力的方向與水運動的方向相反；
由牛頓第三定理可以曉得，水對礦體的沖擊力大小也為ρSv2．
答：水對礦體的沖擊力是ρSv2．
15．某游樂園入口旁有一海豚噴泉，在電機作用下會從海豚模型頭部噴吐豎直向下的火柱，將站在滑水板上的公仔模型托起，懸停在空中，伴隨著音樂曲調(diào)，公仔模型還能上下運動，特別引人佇足，如圖所示。這一水景可做如下簡化，假定火柱從橫截面積為S的噴管持續(xù)以速率v0豎直向下噴出；設(shè)同一高度火柱橫截面上各處水的速度都相同，滑水板頂部為平板且其面積小于火柱的橫截面積，保證所有水都能噴到滑水板的頂部。火柱沖擊滑水板前其水平方向的速率可忽視不計，沖擊滑水板后，水在豎直方向的速率立刻變?yōu)榱?，在水平方向朝四周均勻飄動。已知公仔模型和滑水板的總質(zhì)量為M，水的密度為ρ，重力加速度大小為g，空氣阻力及水的粘滯阻力均可忽視不計。
（1）試估算公仔模型在空中懸停時，水對沖浪板的沖擊力大小和噴泉單位時間內(nèi)噴吐的水的質(zhì)量；
（2）實際上當我們仔細觀察發(fā)覺噴吐的火柱在空中上升階段并不是粗細均勻的，而是在豎直方向上一端粗一端細，請你剖析上升階段的火柱是下端較粗還是上端較粗，并說明火柱呈現(xiàn)該形態(tài)的誘因。
（3）因為火柱底部的水與滑水板互相作用的時間很短，因而在剖析水對沖浪板的斥力時可忽視這部份水所受的重力作用。求公仔在空中懸停時，其底面相對于噴管的高度。
【解答】解：（1）公仔處在空中靜止，此時受重力與水向下的推力，由二力平衡可知F＝Mg
設(shè)△t時間內(nèi)，從噴管噴吐的水的容積為△V，質(zhì)量為△m，
則△m＝ρ△V，△V＝v0S△t由以上兩式得，單位時間內(nèi)從噴管噴吐的水的質(zhì)量為
（2）火柱下端較粗，上端較細。
緣由是：任意橫截面流速相等，上端火柱速率較下端火柱的速率大，由Q＝Sv，（S為火柱截面積，v為火柱中水的流速）可知，下端火柱截面較大。
（3）設(shè)玩具懸停時其底面相對于噴管的高度為h，水從噴管噴吐后抵達玩具底面時的速率大小為v。
對于△t時間內(nèi)噴吐的水，由能量守恒定理得
；
在h高度處，△t時間內(nèi)噴射到玩具底面的水沿豎直方向的動量變化量的大小為△p＝（△m）v設(shè)水對玩具的斥力的大小為F，依據(jù)動量定律有F?△t＝△p因為玩具在空中懸停，
由力的平衡條件得F＝Mg
聯(lián)立以上各色得
答：（1）水對沖浪板的沖擊力大小和噴泉單位時間內(nèi)噴吐的水的質(zhì)量為ρv0S；
（2）火柱下端較粗，上端較細。任意橫截面流速相等，上端火柱速率較下端火柱的速率大，由Q＝Sv，（S為火柱截面積，v為火柱中水的流速）可知，下端火柱截面較大。
（3）公仔在空中懸停時，其底面相對于噴管的高度
。
16．如圖所示，靜止在光滑水平面上的貨車質(zhì)量為M＝20kg．從水槍中噴吐的火柱的橫截面積為S＝10cmcm2，速率為v＝10m/s，水的密度為ρ＝1.0×103kg/m3．若用水槍噴吐的水從車后沿水平方向沖擊貨車的前壁，且沖擊到貨車前壁的水全部沿前壁流進貨車中．當有質(zhì)量為m＝5kg的水步入貨車時，試求：
（1）貨車的速率大??；
（2）貨車的加速度大小．
【解答】解：（1）流進貨車的水與貨車組成的系統(tǒng)動量守恒，當淌入質(zhì)量為m的水后，貨車速率為v1，
則mv＝（m+M）v1，
解得：
（2）質(zhì)量為m水流進面包車后，在極短的時間△t內(nèi)，沖擊貨車的水的質(zhì)量為△m＝ρS（v﹣v1）△t
此時，水對車的沖擊力為F，則車對水的斥力也為F，
據(jù)動量定律有
﹣F△t＝△mv1﹣△mv
解得：
依據(jù)牛頓第二定理得：
答：（1）貨車的速率大小為2m/s；
（2）貨車的加速度大小為2.56m/s2．